Fórmula de Lagrange

Interpolação polinimial & Polinômios de Lagrange

Baseado no fato de que sobre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X_1,Y_1), (X_2,Y_2), \cdots, (X_N,Y_N)} passa um único polinômio de grau Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N-1} , o Polinômio de Lagrange pode ser usado como fórmula de interpolação ou extrapolação:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(x)=\sum_{i=1}^N Y_i L_i(x) }

onde

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_i(x)=\prod_{j=1,j\ne i}^N\frac{x-X_j}{X_i-X_j}=\frac{x-X_1}{X_i-X_1}\cdots\frac{x-X_{i-1}}{X_i-X_{i-1}} \frac{x-X_{i+1}}{X_i-X_{i+1}}\cdots\frac{x-X_N}{X_i-X_N} }

é um polinômio de grau Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;N-1} em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;x} . Tendo em vista que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_i(X_j)=\delta_{i,j}\;,} onde o delta de Kronecker

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{se } i=j \\ 0, & \mbox{se } i \ne j \end{matrix}\right. }

é fácil verificar que, de fato,Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;P(X_i)=Y_i} . Assim,Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;P(x)} pode ser empregado para se estimar o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;Y(x)} em pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;x} não tabulados.

Exemplo 1

Fórmula de Lagrange para N=2.

Para exemplificar a fórmula de Lagrange, consideramos primeiramente uma reta que passa pelos pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X_1,Y_1) = (1,9)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X_2,Y_2) = (2,13)} , tendo assim Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N = 2} . Aplicando a fórmula de Lagrange, temos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_1 = \frac{x-X_2}{X_1-X_2} = \frac{x-2}{1-2} = -(x-2)}

e

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_2 = \frac{x-X_1}{X_2-X_1} = \frac{x-1}{2-1} = (x-1)} ,

assim, o polinômio de Lagrange que passa pelos pontos desejados é dado por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(x)=\sum_{i=1}^N Y_i L_i(x) = Y_1L_1 + Y_2L_2 = 9(-x+2) + 13(x-1) = 4x + 5 } .

Note que substituindo na equação acima, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(1) = 9} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(2) = 13} .

Exemplo 2

Fórmula de Lagrange para N=3.

Verificando a fórmula de Lagrange para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N = 3} . Suponhamos que desejamos encontrar qual é o polinômio que passa pelos pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X_1,Y_1) = (2,4)} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X_2,Y_2) = (3,9)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X_3,Y_3) = (6,36)} . Temos que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_1 = \left(\frac{x-X_2}{X_1-X_2}\right) \left(\frac{x-X_3}{X_1-X_3}\right) = \left(\frac{x-3}{2-3}\right) \left(\frac{x-6}{2-6}\right) = \frac{x^2-9x+18}{4}} ,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_2 = \left(\frac{x-X_1}{X_2-X_1}\right) \left(\frac{x-X_3}{X_2-X_3}\right) = \left(\frac{x-2}{3-2}\right) \left(\frac{x-6}{3-6}\right) = -\frac{x^2-8x+12}{3}}

e

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_3 = \left(\frac{x-X_1}{X_3-X_1}\right) \left(\frac{x-X_2}{X_3-X_2}\right) = \left(\frac{x-2}{6-2}\right) \left(\frac{x-3}{6-3}\right) = \frac{x^2-5x+6}{12}} ,

assim

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(x)=\sum_{i=1}^N Y_i L_i(x) = Y_1L_1 + Y_2L_2 + Y_3L_3 = 4\frac{x^2-9x+18}{4} - 9\frac{x^2-8x+12}{3} + 36\frac{x^2-5x+6}{12} = x^2 } .

Exemplo 3

Para ilustrar graficamente o método da fórmula de Lagrange, usaremos um exemplo com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=4} . Considerando os quatro pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X_1,Y_1) = (-1,5)} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X_2,Y_3) = (1,2)} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X_3,Y_3) = (-3,5)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X_4,Y_4) = (7,4)} , as equações Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_i} ficam

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_1 = -\frac{1}{64}(x^3-11x^2+31x-21)} ,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_2 = \frac{1}{24}(x^3-9x^2+11x+21)} ,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_3 = -\frac{1}{32}(x^3-7x^2-x+7)}

e

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_4 = \frac{1}{192}(x^3-3x^2-x+3)} .

O gráfico abaixo mostra os quatro pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X_i,Y_i)} , as curvas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_iY_i} e a curva final Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(x)} . Lembre-se que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(x)} é a curva gerada pela soma dos polinômios Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_iY_i} . Note que a curva Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_1Y_1} passa pelo ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X_1,Y_1)} , assim como as demais e a curva Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(x)} passa por todos os pontos.

Numericamente

Na prática, a implementação numérica do polinômio de Lagrange é complicada. Computacionalmente não é possível fazer um programa geral para interpolação de ordem arbitrária, isto é fazer um programa que, com os N pontos de entrada Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {X_i,Y_i}} , devolva um polinômio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(x)} interpolador de grau N. Isto envolve computação simbólica (do tipo utilizada em programas proprietários como o Mathematica, Maple, ou livres como Maxima). Por outro lado a implementação numérica do método na força bruta envolve um duplo laço de ordem N: devem ser somados N termos (os Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_i(x)} ) onde cada um deles é construído como um produto de N-1 termos; ao todo $N^{2}$ cálculos para cada ponto x (isto fica como exercício a partir da fórmula geral do $P(x)$).

O Algoritmo de Neville [1] é muito útil na realização desta tarefa.Ao final, veremos que o polinômio interpolador de grau n pode ser reconstruído com polinômios de grau n-1. Este processo gera uma fórmula de recorrência, que é um recurso bastante comum em algoritmos computacionais.

Para deduzirmos esta fórmula de recorrência, começamos aproximando cada intervalo por um valor constante. Podemos representar esta aproximação por $P_{1}(x)=Y_{1},\;P_{2}(x)=Y_{2},\;\cdots \,\;P_{N}(x)=Y_{N}$. Melhorando a descrição, empregando agora uma aproximação linear em cada intervalo $[X_{i},\;X_{i+1}]$, denotamos por $P_{12}(x),\;P_{23}(x),\;\cdots ,\;P_{N-1,N}(x)$, onde $P_{i,i+1}(x)\;$é o polinômio que passa exatamente sobre $(X_{i},Y_{i})\;$e$\;(X_{i+1},Y_{i+1})$:

$P_{i,i+1}(x)={\frac {x-X_{i+1}}{X_{i}-X_{i+1}}}Y_{i}+{\frac {x-X_{i}}{X_{i+1}-X_{i}}}Y_{i+1}\;.$

Vemos que $P_{i,i+1}(x)\;$pode ser escrito como:

$P_{i,i+1}(x)={\frac {(x-X_{i+1})P_{i}(x)-(x-X_{i})P_{i+1}(x)}{X_{i}-X_{i+1}}}$

Isto sugere que há uma relação entre os polinômios de ordem $\;n$ com os de ordem $\;n+1$. Para verificar isto, vamos considerar, agora, uma parábola passando exatamente sobre $(X_{i},Y_{i})\;,(X_{i+1},Y_{i+1})$ e$\;(X_{i+2},Y_{i+2})$, que denotaremos por,$\;P_{i,i+1,i+2}(x)$:

$P_{i,i+1,i+2}(x)={\frac {x-X_{i+1}}{X_{i}-X_{i+1}}}{\frac {x-X_{i+2}}{X_{i}-X_{i+2}}}Y_{i}+{\frac {x-X_{i}}{X_{i+1}-X_{i}}}{\frac {x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i+2}}}Y_{i+1}+{\frac {x-X_{i}}{X_{i+2}-X_{i}}}{\frac {x-X_{i+1}}{X_{i+2}-X_{i+1}}}Y_{i+2}$

Fatorando $\;1/(X_{i}-X_{i+2})$ e somando e subtraindo ${\frac {x-X_{i}}{X_{i+1}-X_{i}}}(x-X_{i+2})Y_{i+1}$, obtemos:

$P_{i,i+1,i+2}(x)={\frac {1}{X_{i}-X_{i+2}}}\left[(x-X_{i+2})P_{i,i+1}(x)-F(x)\right]$

onde

$F(x)=(x-X_{i})\left[{\frac {x-X_{i+1}}{X_{i+2}-X_{i+1}}}Y_{i+2}-{\frac {X_{i}-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i}}}{\frac {x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i+2}}}Y_{i+1}+{\frac {x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i}}}Y_{i+1}\right]\;.$

Note que o último termo desta expressão corresponde àquele que foi subtraído após seu termo de sinal contrário ter sido somado à expressão que levou a$\;P_{i,i+1}(x)$ na equação para$\;P_{i,i+1,i+2}(x)$. Rearranjando os termos acima, encontramos:

$F(x)=(x-X_{i})\left[{\frac {x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i+2}}}Y_{i+1}+{\frac {x-X_{i+1}}{X_{i+2}-X_{i+1}}}Y_{i+2}\right]=(x-X_{i})P_{i+1,i+2}(x)\;.$

Substituindo este resultado na equação para$\;P_{i,i+1,i+2}(x)$, obtemos finalmente:

$P_{i,i+1,i+2}(x)={\frac {1}{X_{i}-X_{i+2}}}\left[(x-X_{i+2})P_{i,i+1}(x)-(x-X_{i})P_{i+1,i+2}(x)\right]$

Assim, notamos que, de fato, há uma relação de recorrência bastante simples entre os polinômios que envolvem $\;n$ e $\;n+1$ pontos, cuja forma geral é dada por:

$P_{i,i+1,\cdots ,i+k}(x)={\frac {1}{X_{i}-X_{i+k}}}\left[(x-X_{i+k})P_{i,i+1,\cdots ,i+k-1}(x)-(x-X_{i})P_{i+1,i+2,\cdots ,i+k}(x)\right]$

Por ser muito mais simples de se implementar numericamente do que a expressão original para $\;P(x)$, é esta relação de recorrência que é, de fato, utilizada em cálculos numéricos. Os erros cometidos podem ser estimados calculando-se as diferenças entre as diferentes ordens do polinômio:

$D_{k,i}^{(1)}(x)=P_{i,i+1,\cdots ,i+k}(x)-P_{i,i+1,\cdots ,i+k-1}(x)$

e

$D_{k,i}^{(2)}(x)=P_{i,i+1,\cdots ,i+k}(x)-P_{i+1,i+2,\cdots ,i+k}(x)\;.$

Ao invés de se gerar $\;P(x)$ a partir da relação de recorrência para $P_{i,i+1,\cdots ,i+k}(x)$, pode-se utilizar as equações acima e obter relações de recorrência para $\;D^{(1)}{\mbox{ e }}D^{(2)}$. No final, obtemos $\;P(x)$ a partir destas quantidades. Este desenvolvimento é deixado como exercício.

É importante notar que em nenhum ponto da discussão foi evocada a necessidade dos pontos $\;\{X_{i}\}$ serem igualmente espaçados. Portanto, as fórmulas apresentadas aqui podem ser aplicadas em situações bastante gerais.

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Como discutido na seção Interpolação e extrapolação, é desaconselhável o uso de polinômios de grau elevado. Por isto, apenas um pequeno subconjunto dos valores tabulados, nas vizinhanças do ponto de interesse $\;X$, deve ser empregado. Por exemplo, digamos que temos uma tabela com 100 pontos $\;\{(X_{i},Y_{i})\}$. Se desejamos estimar o valor de $\;Y$ no interior da região $[X_{1},\;X_{N}]$, ao invés de construir um polinômio de grau 99, podemos, por exemplo, dividir o espaço em 25 sub-regiões e usar polinômios cúbicos em cada uma delas, utilizando apenas $(X_{i-1},Y_{i-1}),\;(X_{i},Y_{i}),\;(X_{i+1},Y_{i+1})$ e$\;(X_{i+2},Y_{i+2})$.

Contudo, devemos notar que, embora a interpolação seja contínua nas interfaces das regiões, a continuidade das derivadas 1^a e 2^a não é garantida. Em situações em que estas propriedades importam, outras aproximações devem ser adotadas (veja, por exemplo, Spline cúbico).

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