Equação de Lotka-Volterra Competitiva Estocástica

Introdução

As Equações de Lotka-Volterra fornecem um modelo para a previsão de sistemas biológicos considerando diversas relações entre populações. Exploraremos no vigente trabalho a relação de competitividade, juntamente da adição de um termo estocástico multiplicativo. Dividiremos, para tanto, o trabalho em três partes principais, considerando duas e três populações, mostrando os gráficos de evolução temporal do número de indivíduos de cada espécie e os espaços de fase, e generalizando para N populações. Em todas as etapas serão mostrados os resultados considerando e desconsiderando o ruído para fins comparativos.

Equações para Duas Populações

Como uma primeira análise, considerando somente duas populações distintas, vamos explorar o modelo logístico, partindo das Equações de Lotka-Volterra, de duas espécies disputando um território, que pode ser descrito pelo seguinte par de relações:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx_1}{dt} = r_1x_1\left(1 - \frac{x_1 + \alpha_{12}x_2}{K_1}\right) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx_2}{dt} = r_2x_2\left(1 - \frac{x_2 + \alpha_{21}x_1}{K_2}\right) }

Nesse par, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_2} representam as duas populações consideradas; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_1} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_2} indicam o crescimento inerente per-capita, a capacidade de uma espécie em se reproduzir; $K_{1}$ e $K_{2}$ retratam a capacidade de carga, o número de indivíduos limite que o meio ambiente consegue suportar considerando o nicho ecológico ao que a espécie pertence; e $\alpha _{12}$ e $\alpha _{21}$, o efeito que a espécie um tem na espécie dois e vice-versa.

Equações para Três Populações

${\frac {dx_{1}}{dt}}=r_{1}x_{1}\left(1-{\frac {x_{1}+\alpha _{12}x_{2}+\alpha _{13}x_{3}}{K_{1}}}\right)$

${\frac {dx_{2}}{dt}}=r_{2}x_{2}\left(1-{\frac {x_{2}+\alpha _{21}x_{1}+\alpha _{23}x_{3}}{K_{2}}}\right)$

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx_3}{dt} = r_3x_3\left(1 - \frac{x_3 + \alpha_{31}x_1 + \alpha_{32}x_2}{K_1}\right)}

Equações para N Populações

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx_i}{dt} = r_ix_i\left(1 - \frac{\sum_{j=1}^{N}\alpha_{ij}x_j}{K_i}\right) }

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