Grupo : Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.
Pêndulo Simples
Equação de movimento
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento , sem massa e rígida que contém uma massa pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.
Esquema de um pêndulos simples em um campo gravitacional constante.
Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é , a equação de movimento é dada por:
Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em (), que pode ser modelada por um ruído branco gaussiano da seguinte forma
em que é a intensidade do ruído. é caracterizado pelas seguintes propriedades:
Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com
A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que , então
Método de integração
Vamos montar um métodos para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável , então ficamos com o seguinte sistema
que pode ser escrito na forma diferencial
mas é o incremento do processo de Wiener (), então
Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de para tem desvio padrão igual a
em que é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.
Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para ) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:
- Calcular um theta intermediário:
- Com calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
- Em que é a expressão do método de Euler visto logo acima.
- Recalcular theta utilizando um omega intermediário
- Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
- OBS: No cálculo de e foi utilizado o mesmo .