Lançamento Oblíquo Estocástico

O lançamento oblíquo é um clásico problema da mecanica, onde um projétil e lançado com velocidade inicial $v$ em uma direção que faz um angulo $\theta$ com a horizontal. Nesse casso iremos considerar o movimento com arrasto em que a força de resistencia do ar é oposta ao movimento e proporcional a velocidade

$F_{Ar}=-kmv$

O objetivo é descrever o movimento do projétil em duas dimensões, levando em consideração tanto a força da gravidade quanto a resistência do ar então adicionar um termo de ruido no sistema e analizar seu comportamento.

Equações de Movimento

Começamos decompondo as velocidades nas direções x e y

$v_x=v\cos (\theta )$

$v_y=v\sin (\theta )$

Para as equações de movimento usamos a segunda lei de Newton nas componentes horizontais e verticais

$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-km{v}_x$

$m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-mg-km{v}_y$

onde:

• $m$ é a massa do projétil

• $g$ é a aceleração da gravidade

• $k$ é o coeficiente de arrasto

Introduzindo $v_x=\frac{dx}{dt}$ e $v_y=\frac{dy}{dt}$ podemos reescrever as equações como diferenciais de primeira ordem.

$\frac{d{v}_x}{dt}=-k{v}_x$

$\frac{d{v}_y}{dt}=-g-k{v}_y$

Essas E.D. possuem solução analitica bastando integrar nos limites adequados. A integração numérica por Euler é dirta a partir das relações a cima e nos da uma trajetoria para comparação quando adicionar o termo de ruido:

$v_{x,j+1}=v_{x,j}-k{v}_{x,j}dt$

$v_{y,j+1}=v_{y,j}-gdt-k{v}_{y,j}dt$

Utilizando as seguintes condições iniciais $x_0=0$ e $y_0=0$ podemos atualizar a posição

$v_x=\frac{dx}{dt}$

$x_{j+1}=x_j+v_{x,j}dt$

$v_y=\frac{dy}{dt}$

$y_{j+1}=y_j+v_{y,j}dt$

Equação diferencial estocástica

A equação diferencial estocástica a ser resolvida é:

$\frac{dX}{dt}=A(X(t))+B(X(t))\xi (t).$

Caso o termo $B(X,t)$ for uma constante, exemplo em que a densidade do ar não muda significativamente, o ruído é dito aditivo. Então, a integração da equação é direta, resultando em:

$dX(t)=A(X(t))dt+BdW(t),$

onde $\xi (t)dt=dW(t)$ é o incremento de Wiener, um processo estocástico com distribuição gaussiana de largura $\sqrt{t}dt$.

Entretanto, quando o termo $B(X,t)$ depende do processo estocástico, o ruído é dito multiplicativo e devemos utilizar um cálculo estocástco especial, por exemplo o cálculo de Itô e de Stratonovich. No cálculo de Stratonovich, as regras de integração, diferenciação, mudança de variáveis, etc se mantém as mesmas do cálculo usual, e a equação é escrita como:

$dX(t)=A(X(t))dt+B(X(t))dW(t),$

com o detalhe que o argumento de $B(X(t))$ é, na realidade, cálculado na média de X entre os limites do intervalo de integração. Ou seja, ao escrever a equação em diferenças finitas, obtém-se:

$\mathrm{\Delta }X(t)=A(X(t))\mathrm{\Delta }t+B(X(t)+\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }X(t))\mathrm{\Delta }W(t).$

Agora, é necessário explicitar $\mathrm{\Delta }X(t)$ na equação acima, porém, a dependência de $B(X(t))$ não é linear em relação à altura, o que torna inviável esse procedimento. Com isso, a atenção volta-se para o cálculo de Itô, dado por:

$dX(t)=[A(X(t))+\frac{1}{2}\frac{\partial B}{\partial X}B(X(t))]dt+B(X(t))\bullet dW(t)$