Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

Equação de Liouville-bratu-Gelfand

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

$\nabla ^{2}\psi +\lambda e^{\psi }=0$

Essa equação aparece em problemas de Avalanche térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

A solução de Liouville

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

$\lambda e^{\psi }(u^{2}+v^{2}+1)^{2}=2\left[\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}\right]$

onde $u=u(x)$, $v=v(x)$, e $f(z)=u+iv$ é uma função analítica arbitrária com $z=x+iy$. Em 1915, G.W. Walker encontrou uma solução assumindo uma forma para $f(z)$. Se $r^{2}=x^{2}+y^{2}$, então a solução de Walker é

$8e^{-\psi }=\lambda \left[\left({\frac {r}{a}}\right)^{n}+\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}\right]^{2}$

onde $a$ é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer $n$, mas vai ao infinito na origem $n<1$ , finito na origem para $n=1$ e vai a zero na origem para $n>1$. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

Formas radialmente simétricas

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em $n$ dimensões torna-se

$\psi ''+{\frac {n-1}{r}}\psi '+\lambda e^{\psi }=0$

onde $r$ é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

$\psi '(0)=0,\quad \psi (1)=0$

e para $\lambda \geq 0$, uma solução real existe apenas para $\lambda \in [0,\lambda _{c}]$, onde $\lambda _{c}$ é o parâmetro crítico chamado de parâmetro de Frank-Kamenetskii. O parâmetro crítico é $\lambda _{c}=0.8785$ para $n=1$, $\lambda _{c}=2$ para $n=2$ e $\lambda _{c}=3.32$ para $n=3$. Para $n=1,\ 2$, existem duas soluções e para $3\leq n\leq 9$ existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto $\lambda =2(n-2)$. Para $n\geq 10$, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por $\lambda _{c}=2(n-2)$. A multiplicidade de soluções para $n=3$ foi descoberta por Israel Gelfand em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os $n$ por Daniel D. Joseph e Thomas S. Lundgren.

A solução para $n=1$ que é válida no intervalo $\lambda \in [0,0.8785]$ é dada por

$\psi =-2\ln \left[e^{-\psi _{m}/2}\cosh \left({\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {2}}}e^{-\psi _{m}/2}r\right)\right]$

onde $\psi _{m}=\psi (0)$ está relacionada a $\lambda$ como

$e^{\psi _{m}/2}=\cosh \left({\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {2}}}e^{-\psi _{m}/2}\right).$

A solução para $n=2$ que é válida no intervalo $\lambda \in [0,2]$ é dada por

$\psi =\ln \left[{\frac {64e^{\psi _{m}}}{(\lambda e^{\psi _{m}}r^{2}+8)^{2}}}\right]$

onde $\psi _{m}=\psi (0)$ está relacionada a $\lambda$ como

$(\lambda e^{\psi _{m}}+8)^{2}-64e^{\psi _{m}}=0.$

Método Crank-Nicolson

Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

${\frac {\psi _{j,i}^{n+1}-\psi _{j,i}^{n}}{\Delta t}}=\theta .implicito+(1-\theta ).explicito$

onde $\theta ={\frac {1}{2}}$.

Método Explícito FTCS

Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:

$\psi _{j,i}^{n+1}=\psi _{j,i}^{n}+\Delta t\left({\frac {\psi _{i-1,j}^{n}-2\psi _{i,j}^{n}+\psi _{i+1,j}^{n}}{{(\Delta x)}^{2}}}+{\frac {\psi _{i,j-1}^{n}-2\psi _{i,j}^{n}+\psi _{i,j+1}^{n}}{{(\Delta y)}^{2}}}+\lambda e^{\psi _{i,j}^{n}}\right)$

considerando $\Delta x=\Delta y$ resulta em:

$\psi _{j,i}^{n+1}=\psi _{j,i}^{n}+{\frac {\Delta t}{{(\Delta x)}^{2}}}\left(\psi _{i-1,j}^{n}+\psi _{i+1,j}^{n}+\psi _{i,j-1}^{n}+\psi _{i,j+1}^{n}-4\psi _{i,j}^{n}\right)+\Delta t\lambda e^{\psi _{i,j}^{n}}$

Método Implícito FTCS

Para o método implícito a equação é discretizada da mesma forma, porém a derivada é "para trás", resultando em:

$\psi _{j,i}^{n+1}=\psi _{j,i}^{n}+{\frac {\Delta t}{{(\Delta x)}^{2}}}\left(\psi _{i-1,j}^{n+1}+\psi _{i+1,j}^{n+1}+\psi _{i,j-1}^{n+1}+\psi _{i,j+1}^{n+1}-4\psi _{i,j}^{n+1}\right)+\Delta t\lambda e^{\psi _{i,j}^{n+1}}$

Substituindo ambos os métodos na equação do método de Crank-Nicolson obtemos:

$\psi _{j,i}^{n+1}=\psi _{j,i}^{n}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Delta t}{{(\Delta x)}^{2}}}\left(\psi _{i-1,j}^{n+1}+\psi _{i+1,j}^{n+1}+\psi _{i,j-1}^{n+1}+\psi _{i,j+1}^{n+1}-4\psi _{i,j}^{n+1}\right)+\Delta t\lambda e^{\psi _{i,j}^{n+1}}+{\frac {\Delta t}{{(\Delta x)}^{2}}}\left(\psi _{i-1,j}^{n}+\psi _{i+1,j}^{n}+\psi _{i,j-1}^{n}+\psi _{i,j+1}^{n}-4\psi _{i,j}^{n}\right)+\Delta t\lambda e^{\psi _{i,j}^{n}}\right)$

Método de Relaxação

Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente ($t\rightarrow \infty$).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

${\frac {\partial \psi }{dt}}=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+\lambda e^{\psi }\right)$.

Onde $\alpha$ é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

Referências

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
2. Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.