Corda Vibrante

Análise espectral

Uma possível forma para quantitativamente analisar o som gerado por uma corda vibrante é estudar as frequências que compõem o seu movimento, técnica essa chamada de análise espectral. Antes de prosseguirmos vamos recapitular alguns resultados da álgebra linear

Supremacia da álgebra linear

O seguinte conjunto $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }=\{f~|~f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}$ é o espaço de funções reais de uma variável. Esse conjunto é um espaço vetorial, logo podemos utilizar toda a artilharia da álgebra linear, em especial, estamos interessados no sub-espaço gerado pela base $B=\{sen(\omega t)/{\sqrt {\pi }},cos(\omega t)/{\sqrt {\pi }}\}_{\omega \in \mathbb {R^{+}} }$ , pois elementos de $B$, interpretados como sinais sonoros, representam um frequência pura de valor $f=\omega /(2\pi )$. Dessa forma, um sinal arbitrário $s(t)$ pode ser escrito em termos das frequências puras que o formam

$s(t)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }[a(\omega )cos(\omega t)+b(\omega )sen(\omega t]d\omega$

E podemos extrair suas coordenadas ($a(\omega )$ e $b(\omega )$), fazendo o produto escalar com os elementos da base

${\begin{aligned}a(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }s(t){\frac {1}{\sqrt {\pi }}}cos(\omega t)dt\\b(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }s(t){\frac {1}{\sqrt {\pi }}}sen(\omega t)dt\end{aligned}}$

Se o domínio de $s(t)$ é limitado, digamos $t\in [0,T]$, então uma base infinita com cardinalidade enumerável (em contraste com a base anterior, que possui cardinalidade não enumerável) é suficiente para representar $s(t)$, uma possível base ortonormal é a seguinte: ${\bigg \{}{\sqrt {\frac {1}{T}}},{\sqrt {\frac {2}{T}}}sen(\omega _{n}t),{\sqrt {\frac {2}{T}}}cos(\omega _{n}t){\bigg \}}_{n\in \mathbb {N^{*}} }$, em que $\omega _{n}={\frac {n\pi }{T}}$. Dessa forma, a representação e coordenadas de $s(t)$ ficam

${\begin{aligned}s(t)&=a_{0}{\sqrt {\frac {1}{T}}}+{\sqrt {\frac {2}{T}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\bigg [}a_{n}cos(\omega _{n}t)+b_{n}sen(\omega _{n}){\bigg ]}\\a_{0}&=\int _{0}^{T}s(t){\sqrt {\frac {1}{T}}}dt\\a_{n}&=\int _{0}^{T}s(t){\sqrt {\frac {2}{T}}}cos(\omega _{n}t)dt\\b_{n}&=\int _{0}^{T}s(t){\sqrt {\frac {2}{T}}}sen(\omega _{n}t)dt\\\end{aligned}}$

É impossível falar sobre bases enumeráveis de um sub-espaço de $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ sem representar esse canhão matemático com uma animação. Abaixo segue uma animação que calcula as primeiras $N$ coordenadas ($a_{0},\dots ,a_{N}$ e $b_{1},\dots ,b_{N}$) de um sinal qualquer e sobrepõem a série obtida incrementando $N$ até as duas curvas serem indistinguíveis a olho nu.

Agora, considerando uma corda vibrante, o nosso sinal sonoro provém da vibração de um ponto específico da corda, digamos em $x=x_{o}$, então a função que representa esse sinal é $y(x_{o},t)$