Integração Numérica: mudanças entre as edições
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# funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função) | # funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função) | ||
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:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = F(x + \Delta x) - F(x) </math> | :<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = F(x + \Delta x) - F(x) </math> | ||
Pela definição da integral entre limites definidos podemos | Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrevê-la como: | ||
:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = f(x'') \Delta x = F(x + \Delta x) - F(x) </math> | :<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = f(x'') \Delta x = F(x + \Delta x) - F(x) </math> | ||
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== Cálculo Numérico == | == Cálculo Numérico == | ||
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:<math> | O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima. | ||
Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor.<br> | |||
-Temos que pelos retângulos definidos pelo extremo esquerdo de cada subintervalo: | |||
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_e = \sum_{i=0}^{N-1} f(x_i) \Delta x </math> | |||
-E pelos retângulos definidos pelo extremo direito de cada subintervalo: | |||
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_d = \sum_{i=1}^{N} f(x_i) \Delta x </math> | |||
-[[Regra do Trapézio]]: | |||
:<math>\int_a^b f(x)dx \approx S_t = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f(x_i)+f(x_i+\Delta x)}{2}\Delta x</math> | |||
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:<math>\Delta x = \frac{b-a}{N}</math> | :<math>x_i = a + i \Delta x,\;\; \Delta x = \frac{b-a}{N}</math> | ||
Esta última pode ser reescrita como: | |||
:<math>\left(\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{N-1} f(x_i)\right)\Delta x</math> | |||
Também pode se verificar que a integral calculada com os trapézios é a média das integrais calculadas com retângulos: | |||
:<math>S_t = (S_e + S_d)/2</math> | |||
-[[Regra de Simpson]]: | |||
Notemos que o método do trapézio é baseado na ideia de passar uma reta por 2 pontos e aproximar a área da função f(x) pela área sob a curva definida pelo trapézio. | |||
A regra de Simpson é uma extensão disto: a ideia é passar uma parábola por três pontos consecutivos e calcular a área definida por ela. Se tivermos apenas 3 pontos, a integral da parábola que passa entre <math> x_{1} , x_{3}</math> é dada por: | |||
:<math>S= \int_{x_1}^{x_3} f(x) \, dx \approx \frac{x_3-x_1}{6}\left[f(x_1) + 4f\left(\frac{x_1+x_3}{2}\right)+f(x_3)\right]</math> | |||
No entanto, para integrarmos sobre toda o intervalo <math>\left[ x_{1} ; x_{n}\right]</math> com boa precisão, é necessário dividi-lo em N intervalos, com N grande. Assim, é preciso traçar uma parábola a cada três pontos consecutivo e a expressão final da fórmula de Simpson é então a soma da área sob todas as parábolas do intervalo <math>\left[ x_{1} ; x_{n}\right]</math> : | |||
:<math>S= \int_{x_1}^{x_n} f(x)dx \simeq \frac{h}{3}\left[f(x_1)+4f(x_2)+2f(x_3)+4f(x_4)+\ldots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]</math>, | |||
onde <math> h = (x_{n} - x_{1} )/N </math> . | |||
A dedução da regra de Simpson pode ser encontrada por exemplo em [http://davinci.if.ufrgs.br/wiki/index.php/Regra_de_Simpson] | |||
== Programação == | == Programação == | ||
A seguir um trecho do programa para cálculo da integral da função f(x) (''external function f(x)'')<br/> | |||
entre a e b com N pontos, usando o método dos retângulos pela esquerda: | |||
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Os outros métodos se programam de maneira similar mudando limites (índice do laço)<br /> | |||
e/ou tratando de forma diferente os valores das pontas. | |||
== Erro associado ao método numérico == | |||
O método de integração numérico não retorna o valor exato de uma função, visto que não podemos ter no computador <math>N\to\infty</math>. O erro aqui discutido estará vinculado ao número de divisões <math>N</math> realizada na função <math>f(x)</math> dentro do intervalo que se quer saber o valor da integral. Assim, o erro é definido como | |||
:<math>erro=\frac{Int(N)-Int(N-1)}{Int(N)}</math>, | |||
onde <math>Int(N)</math> é o valor retornado pelo método numérico utilizado utilizando <math>N</math> divisões e <math>Int(N-1)</math> utilizando <math>N-1</math> divisões. Note que um teste simples para verificar quando a resposta está convergindo é aumentar <math>N</math> e calcular o erro a cada incremento no seu valor. | |||
Edição das 08h42min de 13 de outubro de 2011
Integração numérica é um termo amplo que abrange até a integração de equações diferenciais como é discutido em Métodos Computacionais B. Aqui nos referimos exclusivamente ao cálculo numérico da integral definida:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S = \int_{a}^{b} f(x) dx}
O termo definida, quer dizer que a integral se faz entre limites definidos, no caso a e b.
O interesse de fazer esse cálculo numericamente se deve a:
- existência de funções contínuas sem primitiva, o que inviabiliza a conta analítica.
- funções descontinuas ou definidas por trechos mas para as quais a integral não existe (no fundo é a falta de uma primitiva)
- funções (ou tabelas) provenientes de experimentos
- funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função)
Definição
Revisemos o conceito de integral do cálculo: A integral definida de uma função f(x) no intervalo [a, b] se define como:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S = \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x }
A integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo.
A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva.
Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x. }
onde:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{N}}
é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x_i)}
é o valor da função em algum ponto deste intervalo.
Quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N \to \infty}
o valor da soma acima é igual a área abaixo da curva.
A integral também é conhecida como antiderivada:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int f(x)dx = F(x) \Leftrightarrow \frac{dF(x)}{dx}= f(x)}
Relembremos porque:
Teorema Fundamental do Cálculo
Se resolvermos a integral acima entre os limites a e b, o resultado pode ser escrito como dependendo só dos extremos:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) }
Vamos ver agora como se isso for válido, então F(x) é a primitiva procurada.
Calculando a integral entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x + \Delta x} :
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = F(x + \Delta x) - F(x) }
Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrevê-la como:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = f(x'') \Delta x = F(x + \Delta x) - F(x) }
onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x''} é um valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} entre os extremos do intervalo.
Passando o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x} para a direita e tomando o limite quando ele vai para zero:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0 } f(x'') = \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \Rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x) }
Demonstramos que a derivada de F(x) resulta ser a função f(x) que queremos integrar. Em outras palavras, o Teorema fundamental do Cálculo diz que resolver uma integral se resume a achar a primitiva, ou seja uma função cuja derivada seja o integrando.
O problema prático é que não todas as funções tem primitiva.. Vejamos então.
Cálculo Numérico
O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima.
Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor.
-Temos que pelos retângulos definidos pelo extremo esquerdo de cada subintervalo:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_a^b f(x)\, dx \approx S_e = \sum_{i=0}^{N-1} f(x_i) \Delta x }
-E pelos retângulos definidos pelo extremo direito de cada subintervalo:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_a^b f(x)\, dx \approx S_d = \sum_{i=1}^{N} f(x_i) \Delta x }
-Regra do Trapézio:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_a^b f(x)dx \approx S_t = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f(x_i)+f(x_i+\Delta x)}{2}\Delta x}
onde:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i = a + i \Delta x,\;\; \Delta x = \frac{b-a}{N}}
Esta última pode ser reescrita como:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{N-1} f(x_i)\right)\Delta x}
Também pode se verificar que a integral calculada com os trapézios é a média das integrais calculadas com retângulos:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_t = (S_e + S_d)/2}
-Regra de Simpson:
Notemos que o método do trapézio é baseado na ideia de passar uma reta por 2 pontos e aproximar a área da função f(x) pela área sob a curva definida pelo trapézio.
A regra de Simpson é uma extensão disto: a ideia é passar uma parábola por três pontos consecutivos e calcular a área definida por ela. Se tivermos apenas 3 pontos, a integral da parábola que passa entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{1} , x_{3}} é dada por:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S= \int_{x_1}^{x_3} f(x) \, dx \approx \frac{x_3-x_1}{6}\left[f(x_1) + 4f\left(\frac{x_1+x_3}{2}\right)+f(x_3)\right]}
No entanto, para integrarmos sobre toda o intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[ x_{1} ; x_{n}\right]}
com boa precisão, é necessário dividi-lo em N intervalos, com N grande. Assim, é preciso traçar uma parábola a cada três pontos consecutivo e a expressão final da fórmula de Simpson é então a soma da área sob todas as parábolas do intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[ x_{1} ; x_{n}\right]}
:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S= \int_{x_1}^{x_n} f(x)dx \simeq \frac{h}{3}\left[f(x_1)+4f(x_2)+2f(x_3)+4f(x_4)+\ldots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]} ,
onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h = (x_{n} - x_{1} )/N } .
A dedução da regra de Simpson pode ser encontrada por exemplo em [1]
Programação
A seguir um trecho do programa para cálculo da integral da função f(x) (external function f(x))
entre a e b com N pontos, usando o método dos retângulos pela esquerda:
... Read*, a, b, N dx = (b-a)/N; S=0 Do i = 0, N-1 x = a + i*dx S = S + f(x) EndDo Print*, "Integral S=", S*dx ...
Os outros métodos se programam de maneira similar mudando limites (índice do laço)
e/ou tratando de forma diferente os valores das pontas.
Erro associado ao método numérico
O método de integração numérico não retorna o valor exato de uma função, visto que não podemos ter no computador Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N\to\infty} . O erro aqui discutido estará vinculado ao número de divisões Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} realizada na função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} dentro do intervalo que se quer saber o valor da integral. Assim, o erro é definido como
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle erro=\frac{Int(N)-Int(N-1)}{Int(N)}} ,
onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Int(N)} é o valor retornado pelo método numérico utilizado utilizando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} divisões e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Int(N-1)} utilizando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N-1} divisões. Note que um teste simples para verificar quando a resposta está convergindo é aumentar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} e calcular o erro a cada incremento no seu valor.