Equação de Kuramoto–Sivashinsky

Nesta página apresentamos uma simulação de Dinâmica Molecular utilizando o potencial de Lennard-Jones como potencial de interação entre as partículas.

Equação

A equação de Kuramoto-Sivashinsky (KS) foi inicialmente proposta por Yoshiki Kuramoto e Gregory Sivashinsky para a modelagem das instabilidades da frente de uma chama laminar.

$u_{t}+u_{xx}+u_{xxxx}+{\frac {1}{2}}u_{x}^{2}=0$

No entanto, a forma diferencial $v=u_{x}$ da equação foi descoberta independentemente na área de dinâmica de fluidos, onde ficou mais conhecida para a modelagem de filmes finos.

$v_{t}+v_{xx}+v_{xxxx}+vv_{x}=0$

A equação apresenta comportamentos caóticos ao ser estudada em geometrias anelares, ou seja, condições de contorno periódicas; por isso esse será o caso estudado aqui.

Métodos de Solução

Diferenças Finitas (FTCS)

O método mais simples foi aplicado a fim de entender o comportamento da equação. Tentativas de linearização resultaram em uma equação de comportamento muito distinto do descrito na literatura; e portanto, não é de nosso interesse estudá-la. É importante relembrar que a aplicação do método FTCS não é recomendado no caso de não linearidades pois o método tem baixa precisão e pode acumular erros.

Como esperado, a solução numérica teve sua estabilidade atrelada à suas condições iniciais; ou seja, a solução é instável (exceto em casos bem específicos, onde ela se comporta de forma análoga à equação da difusão).

Solução FTCS de condição inicial $\sin {\left({\frac {\pi }{20}}x\right)}^{2}$

Solução FTCS de condição inicial $\sin {\left({\frac {\pi }{10}}x\right)}^{2}$

Método Espectral (FFT)

Utilizando o método fft em conjunto com as propriedades da transformada de fourier, pode-se resolver a EDP utilizando a forma de derivada espectral. Esse método possui alta precisão e é capaz de incorporar o comportamento ondulatório de soluções, algo característico da equação de Kuramoto-Sivashinsky.

A derivada espectral é caracterizada pela transformada de fourier de uma derivada, o que facilita a resolução de equações diferenciais parciais:

${\mathcal {F}}(v_{x})=ik{\mathcal {F}}(v)\longrightarrow v_{x}={\mathcal {F^{-1}}}\left(ik{\mathcal {F}}(v)\right)$.

Essa propriedade permite que a resolução da parte espacial da equação de Kuramoto-Sivashinsky diferencial seja dada por

$v_{t}={\mathcal {F^{-1}}}(k^{2}{\hat {v}})-{\mathcal {F^{-1}}}(k^{4}{\hat {v}})-{\frac {v{\mathcal {F^{-1}}}(ik{\hat {v}})}{2}}$,

onde ${\hat {v}}\equiv {\mathcal {F}}(v)$. A parte temporal também pode ser resolvida da mesma forma, mas o método de Runge-Kutta (RK45) foi aplicado em seu lugar por sua maior simplicidade e velocidade de processamento.

Soluções

Através do método espectral foi possível estudar o comportamento da Equação de Kuramoto-Sivashinsky em sua forma diferencial. Para uma melhor interpretação das soluções, os dados são dispostos em dois modelos de gráfico: um gif em que a passagem de tempo é representada pela mudança de frames, e um gráfico com escala de cores; onde os eixos representam o tempo e o espaço.

Solução espectral de condição inicial $\sin {\left({\frac {2\pi }{3}}x\right)}^{2}$

Mapa temporal de condição inicial $\sin {\left({\frac {2\pi }{3}}x\right)}^{2}$

Ao partir de uma condição inicial senoidal, a equação se mantém estável por longos períodos de tempo, o que atrasa a chegada de seu comportamento mais característico: a formação de faixas. Esse comportamento é mais perceptível ao se analisar o mapa temporal da solução, deixando clara a tendência da equação de concentrar mínimos e máximos próximos, gerando picos e vales que se relacionam de forma complexa. No entanto, é fácil perceber que o comportamento simulado não é caótico e sim quase periódico. Isso está atrelado a um fator muito importante para o estudo da equação, o tamanho da periodicidade simulada, ou seja, seu domínio (L).