Shooting method e Método de Crank-Nicolson

O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson.

Equação de Schrödinger

A equação de Schrödinger unidimensional pode ser escrita da seguinte maneira:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+V\Psi.}

Para resolvê-la é necessário efetuar uma separação de variáveis:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi(x,t)=\psi(x)\varphi(t).}

Aplicando na primeira equação e separando os termos espaciais dos termos temporais, chega-se a uma equação com o seguinte formato:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i\hbar\frac{1}{\varphi}\frac{d\varphi}{dt}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\psi}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V. }

Pelo fato da parte da esquerda ser dependente de t e a parte da direita ser dependente de x e de ambas estarem relacionadas por uma igualdade, é necessário que ambos os lados sejam constantes: em outras palavras, não é possível modificar um lado sem necessariamente alterar o outro. Através de um raciocínio perspicaz, a constante em questão será denominada E.

Parte temporal

A parte que diz respeito à evolução temporal:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d\varphi}{dt}=-\frac{iE}{\hbar}\varphi.}

A solução geral possui o seguinte formato

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi(t)=Ce^{-\frac{-iEt}{\hbar}} ,}

cuja constante C pode, neste caso, ser absorvida, de modo que

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi(t)=e^{-\frac{-iEt}{\hbar}} . }

Parte espacial

Quanto à parte espacial, utilizando o mesmo raciocínio empregado anteriormente, a equação pode ser escrita como

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V\psi=E\psi }

Para este caso, no entanto, não há uma única solução, pois esta depende do potencial V escolhido. Para o presente trabalho optou-se por trabalhar com o caso do poço infinito de potencial pelo fato das soluções analíticas já serem conhecidas, de modo a tornar possível avaliar os resultados numéricos obtidos à luz da solução analítica.

Poço de potencial infinito

Esquematicamente, tem-se:

Poço de potencial infinito

O potencial pode ser descrito como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{se } 0\leq x\leq L, \\ \infty, & \mbox{de outra forma.} \end{cases} }

Dentro do poço, onde $V=0$, o problema pode ser modelado da seguinte maneira

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi , }

ou

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d^2\psi}{dx^2}=-k^2\psi,}

onde

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k\equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.}

A solução é dada por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(x)=Asen(kx)+Bcos(kx).}

Aplicando as condições de contorno Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(0)=\psi(L)=0 } e efetuando a normalização da função de onda, obtém-se a solução geral

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}sen\left(\frac{n\pi}{L}x\right), }

cujas energias discretizadas são

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_n=\frac{\hbar^2k_n^2}{2m}=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}.}

Utilizando a equação acima, pode-se calcular os valores da energia de cada estado estacionário. Para o caso de um elétron, as energias referentes aos três estados estacionários são Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_1=0,376} eV, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_2=1,504} eV e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_3=3,384} eV.

Na próxima seção será feita uma estimativa dos valores acima expostos através do "Shooting method".

Shooting Method

Muitos métodos numéricos (e.g. Runge-Kutta, Forward Euler) requerem os valores da função e de sua derivada no ponto inicial. Acontece que podem haver problemas em que estes valores não estarão disponíveis, principalmente o valor da derivada em questão. Uma alternativa seria conjecturar o valor da condição inicial e integrar, através de um método apropriado, em direção à outra condição de contorno: um "chute" apropriado faria com que a integração evoluísse e retornasse um valor muito próximo, a depender da acurácia necessária, ao da condição de contorno. A ideia seria executar os seguintes passos:

1. Supor um valor para a condição de contorno desconhecida (e.g. Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y(0)} ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y'(0)} );
2. Integrar o problema através de um método conhecido até a próxima condição de contorno (e.g., Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y(L)} );
3. Se o chute inicial não fez com que o sistema evoluísse até Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y(L)} , então deve-se supor outro valor para a condição inicial e repetir o procedimento.

O método descrito acima de forma simplificada recebe o nome, em inglês, de Shooting method, o que em português seria algo como "Método do tiro" ou "Método do chute". Na próxima seção esse método será aplicado para o caso do poço infinito de potencial.

Poço de potencial infinito

Seja a equação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d^2\psi}{dx^2}=-k\psi E} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k=\frac{2m}{\hbar^2}} .

Escrevendo com outra notação: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ddot{\psi}=-k\psi E} .

Dividindo o problema em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x } 's pequenos, pode-se reescrever a equação acima da seguinte forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ddot{\psi}=\frac{\Delta \dot{\psi}}{\Delta x}=\frac{\dot{\psi_2}-\dot{\psi_1}}{\Delta x} \implies \dot{\psi_2}=\ddot{\psi} \Delta x + \dot{\psi_1}}

.

Também:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{\psi}=\frac{\Delta \psi}{\Delta x}=\frac{\psi_2-\psi_1}{\Delta x} \implies \psi_2 = \dot{\psi}\Delta x + \psi_1}

.

Além disso:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x = x_2-x_1 \implies x_2 = x_1 +\Delta{x}}

.

A integração, então, é realizada utilizando as relações 8, 9, 10 e 11, até que se atinja a borda do poço, isto é, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=L} .

Com a discretização acima, foi possível implementar o algoritmo. Das condições de contorno do problema, sabe-se que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(0)=0} , de modo que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_1=0} . No entanto, o valor da derivada Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{\psi_1}} não é conhecido, de modo que supõe-se que seja uma constante, a saber, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{\psi_1}=1} . Chutando que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E=0} , utilizando a massa do elétron e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L=1} , obtém-se a primeira solução estacionária:

Solução estacionária (n=1)

Pode-se observar que o valor de energia obtido numericamente é cerca de 2% menor do que aquele obtido analiticamente.

Para o caso n=2:

Solução estacionária (n=2)

Aqui, o valor obtido numericamente é aproximadamente 5% maior do que o valor obtido analiticamente.

Para o caso n=3:

Solução estacionária (n=3)

Para este caso, o valor numérico é cerca de 1% menor do que o valor analítico.

Método de Crank-Nicolson

Seja a equação diferencial

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}=L_1{\textbf{r}}f(\textbf{r},t)}

,

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_{\textbf{r}}} é um operador diferencial linear em r.

Em forma discretizada no tempo, pode-se escrever

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{n+1}(\textbf{r})-f^{n}(\textbf{r})= L_{\textbf{r}}f^{n}(\textbf{r})dt }

.

Por simetria, pode-se escrever a equação acima utilizando um f à direita:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{n+1}(\textbf{r})-f^{n}(\textbf{r})= L_{\textbf{r}}f^{n+1}(\textbf{r})dt . }

A equação acima é dita "explícita" pois, para o cálculo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{n+1}} , só é utilizado o valor já explicitamente calculado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{n}} . Já a equação anterior é chamada implícita pois Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{n+1}} está presente explicitamente. Em termos numéricos, um método peca pelo excesso enquanto o outro o faz pela falta, de modo que um resultado mais satisfatório pode ser obtido ao tomar-se a média dos dois:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{n+1}(\textbf{r})-f^{n}(\textbf{r})=\frac{dt}{2}(L_{\textbf{r}}f^{n+1}(\textbf{r})+L_{\textbf{r}}f^n(\textbf{r})). }

Após alguma álgebra:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{n+1}(\textbf{r})=\left(1-\frac{dt}{2}L_{\textbf{r}}\right)^{-1}\left(1+\frac{dt}{2}L_{\textbf{r}}\right)f^{n}(\textbf{r}) }

.

Chamando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M=I+\frac{dt}{2}L_{\textbf{r}} } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E=I-\frac{dt}{2}L_{\textbf{r}} } , onde I indica a matriz identidade, pode-se reescrever a equação acima na seguinte maneira:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{n+1}=E^{-1}Mf^{n} }

.

Trata-se do método de Crank-Nicolson, mais estável e preciso do que os métodos implícito e explícito. Caso o problema apresentar condições de contorno, estas serão devidamente implementadas nos elementos das matrizes M e E.

Equação de Schrödinger

Seja a equação de Schrödinger unidimensional

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+V\Psi }

.

Efetuando a discretização das variáveis através do Método de Crank-Nicolson, obtém-se:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial \Psi}{\partial t}= \frac{\Psi_{j}^{n+1}-\Psi_{j}^{n}}{\Delta t} ;} ${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[{\frac {(\Psi _{j+1}^{n+1}-2\Psi _{j}^{n+1}+\Psi _{j-1}^{n+1})+(\Psi _{j+1}^{n}-2\Psi _{j}^{n}+\Psi _{j-1}^{n})}{2\Delta x^{2}}}\right];$ $V\Psi ={\frac {1}{2}}[V_{j}^{n+1}\Psi _{j}^{n+1}+V_{j}^{n}\Psi _{j}^{n}].$

Substituindo as discretizações na eq. de Schrödinger:

$i\left({\frac {\Psi _{j}^{n+1}-\Psi _{j}^{n}}{\Delta t}}\right)=-{\frac {\hbar ^{2}}{4m(\Delta x)^{2}}}\left[(\Psi _{j+1}^{n+1}-2\Psi _{j}^{n+1}+\Psi _{j-1}^{n+1})+(\Psi _{j+1}^{n}-2\Psi _{j}^{n}+\Psi _{j-1}^{n})\right]+{\frac {1}{2}}[V_{j}^{n+1}\Psi _{j}^{n+1}+V_{j}^{n}\Psi _{j}^{n}].$

Supondo $\hbar =m=1$ e separando as partes explícita e implícita, obtém-se, após alguma álgebra:

$\Psi _{j}^{n+1}\left[1+{\frac {i\Delta t}{2}}\left({\frac {1}{\Delta x^{2}}}+V_{j}^{n+1}\right)\right]+\Psi _{j-1}^{n+1}\left[-{\frac {i\Delta t}{4\Delta x^{2}}}\right]+\Psi _{j+1}^{n+1}\left[-{\frac {i\Delta t}{4\Delta x^{2}}}\right]=\Psi _{j}^{n}\left[1-{\frac {i\Delta t}{2}}\left({\frac {1}{\Delta x^{2}}}+V_{j}^{n}\right)\right]+\Psi _{j-1}^{n}\left[-{\frac {i\Delta t}{4\Delta x^{2}}}\right]+\Psi _{j+1}^{n}\left[{\frac {i\Delta t}{4\Delta x^{2}}}\right].$

Definindo

$a\equiv {\frac {-i\Delta t}{4(\Delta x)^{2}}}$

e

$b_{j}\equiv \left(1+{\frac {i\Delta t}{2}}\right)\left({\frac {1}{\Delta x^{2}}}+V_{j}\right),$

obtém-se:

$\Psi _{j}^{n+1}b_{j}+\Psi _{j-1}^{n+1}a+\Psi _{j+1}^{n+1}a=\Psi _{j}^{n}b_{j}^{*}+\Psi _{j-1}^{n}a^{*}+\Psi _{j+1}^{n}a^{*}.$

A equação acima pode ser escrita em forma matricial, de modo que:

${\hat {C}}\Psi ^{n+1}={\hat {D}}\Psi ^{n},$

onde

${\hat {C}}={\begin{bmatrix}b_{0}&a&0&&...&0\\a&b_{1}&a&0&...&0\\0&a&b_{2}&a&0&0\\0&0&\ddots &\ddots &\ddots \\...&...&...&a&b_{j-1}&a\\0&0&...&0&a&b_{j}\\\end{bmatrix}}$

e

${\hat {D}}={\begin{bmatrix}b_{0}^{*}&a&0&&...&0\\a^{*}&b_{1}^{*}&a^{*}&0&...&0\\0&a^{*}&b_{2}^{*}&a^{*}&0&0\\0&0&\ddots &\ddots &\ddots \\...&...&...&a^{*}&b_{j-1}^{*}&a^{*}\\0&0&...&0&a^{*}&b_{j}^{*}\\\end{bmatrix}}$

Para avaliar a evolução temporal do sistema, é necessário encontrar $\Psi ^{n+1}$. Utilizando resultados anteriores, pode-se obter $\Psi ^{n+1}$ através da seguinte relação:

$\Psi ^{n+1}={\hat {C}}^{-1}{\hat {C^{*}}}\Psi ^{n}$

Poço de potencial infinito

Para o presente caso a ideia é obter a evolução temporal do sistema, impondo condições de contorno iguais a zero, de modo que os operadores ${\hat {C}}$ e ${\hat {D}}$ ficam:

${\hat {C}}={\begin{bmatrix}1&0&0&&...&0\\a&b&a&0&...&0\\0&a&b&a&0&0\\0&0&\ddots &\ddots &\ddots \\...&...&...&a&b&a\\0&0&...&0&0&1\\\end{bmatrix}}$

e

${\hat {D}}={\begin{bmatrix}1&0&0&&...&0\\a^{*}&b^{*}&a^{*}&0&0...&0\\0&a^{*}&b^{*}&a^{*}&0&0\\0&0&\ddots &\ddots &\ddots \\...&...&...&a^{*}&b^{*}&a^{*}\\0&0&...&0&0&1\\\end{bmatrix}}$

A ideia é que o primeiro e o último termo do tanto do vetor $\Psi ^{n}$ quanto do vetor $\Psi ^{n+1}$ seja constante, o que satisfaz as condições de contorno do presente caso. Também é interessante notar que os índices $b$ são todos constantes, visto que no presente caso o potencial dentro do poço é nulo.

Implementando o algoritmo descrito acima, obteve-se:

Evolução temporal (n=1)

Evolução temporal para o caso n=1. Nesta animação e nas subsequentes, foram sobrepostas as partes real e imaginária da equação de Schrödinger: a linha azul diz respeito à parte real enquanto a amarela, à imaginária.

Evolução temporal (n=2)

Na figura acima, tem-se a evolução do caso n=2.

Evolução temporal (n=3)

Por último, o caso n=3.