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De Física Computacional
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O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson.
O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson.
==Método de Crank-Nicolson==
Seja a equação diferencial
<center><math>\frac{\partial f}{\partial t}=L_1{\textbf{r}}f(\textbf{r},t)</math></center>,
onde <math>L_{\textbf{r}}</math> é um operador diferencial linear em '''r'''.
Em forma discretizada no tempo, pode-se escrever
<center><math>
f^{n+1}(\textbf{r})-f^{n}(\textbf{r})= L_{\textbf{r}}f^{n}(\textbf{r})dt
</math></center>.
Por simetria, pode-se escrever a equação acima utilizando um f à direita:
<center><math>
f^{n+1}(\textbf{r})-f^{n}(\textbf{r})= L_{\textbf{r}}f^{n+1}(\textbf{r})dt .
</math></center>
A equação acima é dita "explícita" pois, para o cálculo de <math>f^{n+1}</math>, só é utilizado o valor já explicitamente calculado <math>f^{n}</math>. Já a equação anterior é chamada implícita pois <math>f^{n+1}</math> está presente explicitamente. Em termos numéricos, um método peca pelo excesso enquanto o outro o faz pela falta, de modo que um resultado mais satisfatório pode ser obtido ao tomar-se a média dos dois:
<center><math>
f^{n+1}(\textbf{r})-f^{n}(\textbf{r})=\frac{dt}{2}(L_{\textbf{r}}f^{n+1}(\textbf{r})+L_{\textbf{r}}f^n(\textbf{r})).
</math></center>
Após alguma álgebra:
<center><math> f^{n+1}(\textbf{r})=\left(1-\frac{dt}{2}L_{\textbf{r}}\right)^{-1}\left(1+\frac{dt}{2}L_{\textbf{r}}\right)f^{n}(\textbf{r}) </math></center>.
Chamando <math> M=I+\frac{dt}{2}L_{\textbf{r}} </math> e <math> E=I-\frac{dt}{2}L_{\textbf{r}} </math>, onde ''I'' indica a matriz identidade, pode-se reescrever a equação acima na seguinte maneira:
<center><math> f^{n+1}=E^{-1}Mf^{n} </math></center>.
Trata-se do método de Crank-Nicolson, mais estável e preciso do que os métodos implícito e explícito. Caso o problema apresentar condições de contorno, estas serão devidamente implementadas nos elementos das matrizes ''M'' e ''E''.
===Equação de Schrödinger===
Seja a equação de Schrödinger unidimensional
<center><math> i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+V\Psi </math></center>.
Efetuando a discretização das variáveis através do Método de Crank-Nicolson, obtém-se:
<center><math>\frac{\partial \Psi}{\partial t}= \frac{\Psi_{j}^{n+1}-\Psi_{j}^{n}}{\Delta t} ;</math></center>
<center><math>\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = \frac{\hbar^2}{2m}\left[\frac{(\Psi_{j+1}^{n+1}-2\Psi_{j}^{n+1}+\Psi_{j-1}^{n+1})+ (\Psi_{j+1}^{n}-2\Psi_{j}^{n}+\Psi_{j-1}^{n})}{2\Delta x^2}\right] ;</math></center>
<center><math>V\Psi = \frac{1}{2}[V_{j}^{n+1}\Psi_{j}^{n+1}+V_{j}^{n}\Psi_{j}^{n}] .</math></center>
Substituindo as discretizações na eq. de Schrödinger:
<center><math>i\left(\frac{\Psi_{j}^{n+1}-\Psi_{j}^{n}}{\Delta t}\right)=-\frac{\hbar^2}{4m(\Delta x)^2} \left[(\Psi_{j+1}^{n+1}-2\Psi_{j}^{n+1}+\Psi_{j-1}^{n+1})+ (\Psi_{j+1}^{n}-2\Psi_{j}^{n}+\Psi_{j-1}^{n})\right]+\frac{1}{2}[V_{j}^{n+1}\Psi_{j}^{n+1}+V_{j}^{n}\Psi_{j}^{n}].</math></center>
Supondo <math>\hbar=m=1</math> e separando as partes explícita e implícita, obtém-se, após alguma álgebra:
<center><math>\Psi_{j}^{n+1}\left[1+\frac{i\Delta t}{2}\left(\frac{1}{\Delta x^2}+V_{j}^{n+1}\right)\right]+\Psi_{j-1}^{n+1}\left[-\frac{i\Delta t}{4\Delta x^2}\right]+\Psi_{j+1}^{n+1}\left[-\frac{i\Delta t}{4\Delta x^2}\right] = \Psi_{j}^{n}\left[1-\frac{i\Delta t}{2}\left(\frac{1}{\Delta x^2}+V_{j}^{n}\right)\right]+\Psi_{j-1}^{n}\left[-\frac{i\Delta t}{4\Delta x^2}\right]+\Psi_{j+1}^{n}\left[\frac{i\Delta t}{4\Delta x^2}\right].</math></center>
Definindo
<center><math>a\equiv\frac{-i\Delta t}{4(\Delta x)^2}</math></center> e <center><math>b_{j}\equiv\left(1+\frac{i\Delta t}{2}\right)\left(\frac{1}{\Delta x^2}+V_j\right),</math></center> obtém-se:
<center><math>\Psi_{j}^{n+1}b_{j}+\Psi_{j-1}^{n+1}a+\Psi_{j+1}^{n+1}a = \Psi_{j}^{n}b_{j}^{*}+\Psi_{j-1}^{n}a^{*}+\Psi_{j+1}^{n}a^{*} .</math></center>
A equação acima pode ser escrita em forma matricial, de modo que: 
<center><math>\hat{C}\Psi^{n+1}=\hat{D}\Psi^{n},</math></center>
onde
<center><math>
\hat{C} =
\begin{bmatrix}
b _{0}           &a     &0 & &...  &0 \\
a & b_{1}   &a  &0 &...     &0\\
0 & a     &b_{2} &a & 0     &0 \\
0 & 0   & \ddots & \ddots &\ddots \\
...           & ...   &... & a            &b_{j-1} &a \\
0           & 0   &... & 0            &a &b_{j}\\
\end{bmatrix}
</math></center>
e
<center><math>
\hat{D} =
\begin{bmatrix}
b_{0}^{*}           &a     &0 & &...  &0 \\
a^{*} & b_{1}^{*}   &a^{*} &0 &...     &0\\
0 & a^{*}     &b_{2}^{*} &a^{*} & 0     &0 \\
0 & 0   & \ddots & \ddots &\ddots \\
...           &...   &... & a^{*}            &b_{j-1}^{*} &a^{*}  \\
0           & 0   &... & 0            &a^{*}  &b_{j}^{*}\\
\end{bmatrix}
</math></center>
Para avaliar a evolução temporal do sistema, é necessário encontrar <math>\Psi^{n+1}</math>. Utilizando resultados anteriores, pode-se obter <math>\Psi^{n+1}</math> através da seguinte relação:
<center><math>
\Psi^{n+1}=\hat{C}^{-1}\hat{C^{*}}\Psi^{n}
</math></center>
===Poço de potencial infinito===
Para o presente caso a ideia é obter a evolução temporal do sistema, impondo condições de contorno iguais a zero, de modo que os operadores <math>\hat{C}</math> e <math>\hat{D}</math> ficam:
<center><math>
\hat{C} =
\begin{bmatrix}
1           &0     &0 & &...    &0 \\
a & b   &a  &0 &...     &0\\
0 & a     &b &a & 0     &0 \\
0 & 0   & \ddots & \ddots &\ddots \\
...           &...   &... & a            &b &a \\
0           & 0   &... & 0            &0 &1\\
\end{bmatrix}
</math></center>
e
<center><math>
\hat{D} =
\begin{bmatrix}
1           &0     &0 & &...    &0 \\
a^{*}  & b^{*}   &a^{*}  &0 &0...     &0\\
0 & a^{*}     &b^{*} &a^{*} & 0     &0 \\
0 & 0   & \ddots & \ddots &\ddots \\
...           &...   &... & a^{*}            &b^{*} &a^{*}  \\
0           & 0   &... & 0            &0 &1\\
\end{bmatrix}
</math></center>
A ideia é que o primeiro e o último termo do tanto do vetor <math>\Psi^{n}</math> quanto do vetor <math>\Psi^{n+1}</math> seja constante, o que satisfaz as condições de contorno do presente caso. Também é interessante notar que os índices <math>b</math> são todos constantes, visto que no presente caso o potencial dentro do poço é nulo.
Implementando o algoritmo descrito acima, obteve-se:
[[Arquivo:Animação_n_1.gif|300px|thumb|center|Evolução temporal (n=1)]]
Evolução temporal para o caso n=1. Nesta animação e nas subsequentes, foram sobrepostas as partes real e imaginária da equação de Schrödinger: a linha azul diz respeito à parte real enquanto a amarela, à imaginária.
[[Arquivo:Animação_n_2.gif|300px|thumb|center|Evolução temporal (n=2)]]
Na figura acima, tem-se a evolução do caso n=2.
[[Arquivo:Animação_n_3.gif|300px|thumb|center|Evolução temporal (n=3)]]
Por último, o caso n=3.

Edição das 19h28min de 12 de fevereiro de 2023

Equações de Laplace e Poisson - Eletrostática

Shooting method e Método de Crank-Nicolson aplicados à Equação de Schrödinger

O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson.

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