Amostragem de Wang-Landau: mudanças entre as edições

Edição das 01h25min de 19 de outubro de 2022

O algoritmo de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de Monte Carlo introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001 ^[1] (com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem), ^[2] que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de spins. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis ^[3] , o algoritmo de clustering de Wolff ^[4] , ou em um modelamento de ensamble multi-canônico ^[5] . Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de histogramas^[6] que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma. Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o critical slowing down para temperaturas próximas da temperatura crítica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_c} utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E)} de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma distribuição canônica não normalizada

P(E,T)=g(E)e^{-E/K_{B}T},

para uma determinada temperatura $T$ , Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro termodinâmico para uma distribuição significantemente grande de temperaturas, na Fig. 2 vemos exemplos destas distribuições. Como $g(E)$ não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo $E$ , podemos encontrar a função de partição

Z(T)=\sum _{E}g(E)e^{-E/K_{B}T},

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de $Z$ . Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o antiferromagneto de Potts ^[7] , sistemas de spins aleatórios^[8] , sistemas quânticos^[9], etc... .

Descrição do algoritmo de Wang Landau

Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem campo magnético(Modelo de Ising2D). Portanto quando nos referirmos a $g(E)$ como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E. A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada $H(E)$ , isto é, ao visitarmos a energia $E_{1}$ faz-se a atualização da variável $H(E_{1})\rightarrow H(E_{1})+1$ . Por outro lado, a atualização da densidade de estados $g(E_{1})$ se da por um fator multiplicativo $f$ ( $g(E_{1})\rightarrow g(E_{1})\times f$ ) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:

Inicializamos as densidades de energias com $g(E)=1$ para todo $E$ , da mesma forma $H(E)=0$ para todo $E$ .
Inicializamos $f=f_{0}=e\approx 2.71828$ $f=f_{0}=e\approx 2.71828$ e um sistema $L\times L$ $L\times L$ de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
- O valor de $f$ é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
Se denotamos $E_{1}$ $E_{1}$ como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e $E_{2}$ $E_{2}$ como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: $P(E_{1}\rightarrow E_{2})={\text{min}}\left({\frac {g(E_{1})}{g(E_{2})}},1\right)$ $P(E_{1}\rightarrow E_{2})={\text{min}}\left({\frac {g(E_{1})}{g(E_{2})}},1\right)$
- Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de $g(E)$ e $H(E)$ como $g(E_{2})\rightarrow g(E_{2})\times f$ e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1} respectivamente.
- Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E)} como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1} respectivamente, de maneira a recontar o estado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_1} .
- Destaca-se que em ambos os casos usamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)} , pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E)} esteja aproximadamente plano.
- O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um hamiltoniano de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E)} devem ser pelo menos 95% de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle H(E) \rangle } ), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
Checa-se se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E)} está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E)} converge ao valor real com precisão da ordem de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} . (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
- Um passo MC corresponde a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^2 = N} passos.
Reduz-se o fator Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} da seguinte maneira Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}} , reinicia-se o histograma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E) = 0} e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} . (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} segundo a seguinte expressão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}}
Encerra-se a simulação quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{final}} estiver da ordem do erro desejado.
- Claro que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{final}} pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (10^{-6}-10^{-8})} , ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

Observações sobre o algoritmo

Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau

Fator de modificação f

Quando tratamos da atualização do fator Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} , a expressão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}} é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n>1} podem ser escolhidos para uma atualização do tipo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}} . Não obstante, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 2} é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

Implementação paralela

A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes. ^[10]

Balanço detalhado

A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E)} é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} se aproxima de 1. Observa-se que se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(E_1 \rightarrow E_2)} é a probabilidade de transição da energia Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_1} para a energia Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_2} , utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}. }

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1) }

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1/g(E_1)} como a probabilidade do sistema possuir a energia Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_1} e analogamente para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_2} . Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(f)} .

Escalabilidade

Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L\times L} , temos que o número de configurações Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2^N, N = L^2)} aumenta exponencialmente com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} , enquanto o número de possíveis energias é por volta de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2N} e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E)} uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.

Normalização

É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_n(E)} é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_Eg_n(E) = Q^N} ou que o numero de estados fundamentais é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} (onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q = 2} para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)} ,

enquanto pela segunda condição temos que

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)} .

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

Grandezas Termodinâmicos

Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversas grandezas termodinâmicos, como a energia interna Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(T)} , calor especifico Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C(T)} , energia livre de Helmholtz Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(T)} e entropia Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(T)} através das seguintes equações:

      Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}}

      Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}}

      Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)}

      Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}}

Estas grandezas dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E)} , o que contorna os problemas de critical slowing down na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade do método de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau

Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema ferromagnético 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L\times L} com condições de contorno periódicas no qual o hamiltoniano é dado por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j}
,

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_{i} = +1} para spin para cima, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_{i} = -1} para baixo e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle i,j\rangle} indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon(X) = \frac{|X_{sim}-X_{exato}|}{X_{exato}}}
,

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_{sim}} é o valor obtido na simulação para o parâmetro e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_{exato}} é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E)} para um sistema Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 16 \times 16} com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{final} \sim 10^{-6}} e com critério para um histograma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E)} plano de 80%. Com esses parâmetros, a Google Compute Engine padrão para Python3 do Google Colab realiza a simulação em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sim 40s} . Para as Figs. 1,2,3,4,5,6 os valores exatos estão sobrepostos aos valores obtidos em simulação como uma linha pontilhada.

Figura 1: Logaritmo da densidade de estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(g(E))} para o modelo de Ising 2D com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L = 16} , há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -2L^2 + 4} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2L^2 - 4} são inalcançáveis pelo sistema.

Fazendo uso da #equação de distribuição de probabilidade canônica, podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} . Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_c} .

Figura 2: A distribuição canônica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}} em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_c} para o modelo de Ising 2D com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L = 16} .

Fazendo uso das #equações para parâmetros termodinâmicos, podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.

Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L = 16} . Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_BT_c \approx 2.3} .
Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L = 16} . Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_BT_c \approx 2.3} .
Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L = 16} . Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_BT_c \approx 2.3} .
Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L = 16} . Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_BT_c \approx 2.3} .

Código do Exemplo

Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3

Referências

↑ F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053 !2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models: A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64, 056101 !2001".
↑ Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.
↑ N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E. Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J. Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".
↑ U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev. Lett. 62, 361–364 !1989".
↑ B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"
↑ A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".
↑ C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys. A 34, 8781– 8794 !2001"
↑ Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68 !2002".
↑ 2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003".
↑ Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.

[1] F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053 !2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models: A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64, 056101 !2001".

[2] Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.

[3] N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E. Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J. Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".

[4] U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev. Lett. 62, 361–364 !1989".

[5] B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"

[6] A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".

[7] C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys. A 34, 8781– 8794 !2001"

[8] Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68 !2002".

[9] 2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003".

[10] Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.

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@@ Linha 122: / Linha 122: @@
 Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por
-  <math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>
+  <math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>,
 onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão

Amostragem de Wang-Landau: mudanças entre as edições

Edição das 01h25min de 19 de outubro de 2022

Índice

Descrição do algoritmo de Wang Landau

Observações sobre o algoritmo

Fator de modificação f

Implementação paralela

Balanço detalhado

Escalabilidade

Normalização

Grandezas Termodinâmicos

Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau

Código do Exemplo

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