Equação de Langevin: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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== Implementação ==
== Implementação ==
Um exemplo de implementação desse método feito foi para a partícula livre. Nota-se que nesse caso a partícula não é afetada por um campo potencial então os passos do método que envolvem a a força <math>\vec{f}</math> serão desconsiderados.
A função a seguir se encontra no código de autoria de um dos participantes que pode ser acessado [https://github.com/Artur-UF/MetComp/blob/main/MetCompC/trabalho2/BAOABlangevin.py aqui].
<source lang="python">
    def baoab_livre(self, dt, exp, sqexp, sqt, G):
        '''
        dt: discretização do tempo
        exp: termo referente a primeira exponencial da eq.3
        sqexp: termo da raiz quadrada com exponencial da eq.3
        sqt: termo da raiz quadrada com a Temperatura da eq.3
        G: o vetor G da eq.3
        '''
        # 1/2 passo da distância
        self.pos[0] += self.vel[0]*(dt/2)
        self.pos[1] += self.vel[1]*(dt/2)
        # Passo estocástico
        self.vel[0] = exp*self.vel[0] + sqexp*sqt*G[0]
        self.vel[1] = exp*self.vel[1] + sqexp*sqt*G[1]
        # Atualização final da posição
        self.pos[0] += self.vel[0]*(dt/2)
        self.pos[1] += self.vel[1]*(dt/2)
</source>
Essa função representa um passo do laço temporal utilizando o método BAOAB. Os atributos em forma de lista ".pos" e ".vel" representam as componentes x e y respectivamente da posição e velocidade.
Um exemplo de funcionamento do código é a animação a seguir:


[[Arquivo:Livre_g10T1_c.gif|thumb|center|300px|Simulação de uma partícula livre sob o efeito da Equação de Langevin.]]
[[Arquivo:Livre_g10T1_c.gif|thumb|center|300px|Simulação de uma partícula livre sob o efeito da Equação de Langevin.]]

Edição das 17h00min de 17 de outubro de 2022

Artur Uhlik Fröhlich e Leonardo Dasso Migotto

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Langevin utilizando o método BAOAB[LEIMKUHLER.] Serão explorados os casos de partículas individuais livres ou sujeitas a um campo potencial, estudando os efeitos da variação do coeficiente de atrito no desvio quadrático médio e na transisão de fases.

Equação de Langevin

Esta equação diferencial estocástica descreve a evolução de um sistema quando sujeito a forças do tipo determinísticas e estocásticas simultâneamente. A sua aplicação mais popular é relativa ao movimento Browniano, o movimento de uma partícula macroscópica imersa em um fluído, sujeita à força de atrito excercida pelas partículas microscópicas do fluído. Neste caso, a equação pode ser escrita como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d\vec{v}}{dt} = -\gamma \vec{v}/m + \Epsilon (t). }

Na equação acima, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} é o coeficiente de atrito e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Epsilon(t)} é um ruído estocástico branco, que segue o Teorema Central do Limite com média 0 e desvio padrão relacionado à temperatura, a Constante de Boltzmann, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} e a massa da partícula. A partir desta expressão, é possível descobrir a relação do coeficiente de difusão do fluído e os valores envolvidos na equação:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D = \frac{2k_{B}T}{\gamma m} }

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} é o coeficiente de difusão do meio, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_B} é a constante de Boltzmann, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} é a temperatura e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} é a massa da partícula macroscópica. Outra relação presente no livro do Frenkel [FRENKEL], desenvolvida teoricamente, é a do coeficiente de difusão e o deslocamento quadrático médio de uma partícula no meio:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left \langle \left( r(t) - r_0(t) \right)^2 \right \rangle = 2dDt }

Método BAOAB

O método numérico escolhido para realizar a integração da equação é conhecido como BAOAB, desenvolvido por Leimkuhler e Mattews [1] utilizado para resolver equações diferenciais estocásticas.

Ele é baseado na solução exata para o momentum,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d\vec{p} = -\gamma \vec{p}dt + \sqrt{2\gamma mk_{B}T}d\vec{W} , }

e faz o uso de um método de separação das equações entre as denominadas A, B e O, respectivamente representadas:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right) = \vec{r}(t) +\frac{\Delta t}{2}\vec{p}\left ( t +\frac{\Delta t}{2}\right )\frac{1}{m} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{p}\left(t + \frac{\Delta t}{2}\right) = \vec{p}(t) + \frac{\Delta t}{2}\vec{f}(t) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{p'}\left(t + \frac{\Delta t}{2}\right) = exp(-\gamma \Delta t)\vec{p}\left(t + \frac{\Delta t}{2}\right) + \sqrt{1-exp(-2\gamma \Delta t)}\sqrt{mk_{B}T}\vec{G} }

O Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{G}} aqui representa um número aleatório Gaussiano que faz o papel da força estocástica.

A equação "A" realiza meio passo no tempo da distância, a "B" realiza um meio passo para o momentum e o "O" contabiliza a contribuição estocástica equação.

Essas equações podem formar vários algoritmos de integração mas o utilizado nesse trabalho será o BAOAB:


Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{p}\left(t + \frac{\Delta t}{2}\right) = \vec{p}(t) + \frac{\Delta t}{2}\vec{f}(t) \quad (1) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right) = \vec{r}(t) +\frac{\Delta t}{2}\vec{p}\left ( t +\frac{\Delta t}{2}\right )\frac{1}{m} \quad (2) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{p'}\left(t + \frac{\Delta t}{2}\right) = exp(-\gamma \Delta t)\vec{p}\left(t + \frac{\Delta t}{2}\right) + \sqrt{1-exp(-2\gamma \Delta t)}\sqrt{mk_{B}T}\vec{G} \quad (3) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}(t + \Delta t) = \vec{r}\left(t + \frac{\Delta t}{2}\right) +\frac{\Delta t}{2}\vec{p'}\left ( t +\frac{\Delta t}{2}\right )\frac{1}{m} \quad (4) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{p}(t + \Delta t) = \vec{p'}\left(t + \frac{\Delta t}{2}\right) + \frac{\Delta t}{2}\vec{f}(t) \quad (5) }

É importante lembrar que entre os dois últimos passos é necessário atualizar o termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{f}} , já que ele pode depender de termos já atualizados como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{p}} ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}} .

Implementação

Um exemplo de implementação desse método feito foi para a partícula livre. Nota-se que nesse caso a partícula não é afetada por um campo potencial então os passos do método que envolvem a a força Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{f}} serão desconsiderados.

A função a seguir se encontra no código de autoria de um dos participantes que pode ser acessado aqui. 

    def baoab_livre(self, dt, exp, sqexp, sqt, G):
        '''
        dt: discretização do tempo
        exp: termo referente a primeira exponencial da eq.3
        sqexp: termo da raiz quadrada com exponencial da eq.3
        sqt: termo da raiz quadrada com a Temperatura da eq.3
        G: o vetor G da eq.3
        '''
        # 1/2 passo da distância
        self.pos[0] += self.vel[0]*(dt/2)
        self.pos[1] += self.vel[1]*(dt/2)
        # Passo estocástico
        self.vel[0] = exp*self.vel[0] + sqexp*sqt*G[0]
        self.vel[1] = exp*self.vel[1] + sqexp*sqt*G[1]
        # Atualização final da posição
        self.pos[0] += self.vel[0]*(dt/2)
        self.pos[1] += self.vel[1]*(dt/2)

Essa função representa um passo do laço temporal utilizando o método BAOAB. Os atributos em forma de lista ".pos" e ".vel" representam as componentes x e y respectivamente da posição e velocidade.

Um exemplo de funcionamento do código é a animação a seguir:


Simulação de uma partícula livre sob o efeito da Equação de Langevin.

Referências

  1. ↑ Leimkuhler, B., & Matthews, C. (2015). Molecular Dynamics: With Deterministic and Stochastic Numerical Methods. (Interdisciplinary Applied Mathematics; Vol. 39). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-319-16375-8
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