Grupo3 - Ondas2

Introdução

Equações diferenciais parciais (EDP's) hiperbólicas geralmente podem ser formuladas a partir de teoremas de conservação. Um exemplo é a equação do tipo:

${\frac {\partial {\vec {U}}}{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {F}}(U)={\vec {S}}(U)$,

onde ${\vec {U}}$ é o vetor de densidades da quantidade conservada, i.e., ${\vec {U}}=(U_{1},...,U_{n})$, ${\vec {F}}$ é o fluxo de densidade e ${\vec {S}}$ é um termo genérico representando fontes ou sumidouros.

Uma classe especial de equações hiperbólicas são as chamadas equações de adveção, na qual a derivada temporal da quantidade conservada ${\vec {U}}({\vec {x}},t)$ é proporcional à sua derivada espacial. Nesses casos, ${\vec {F}}(U)$ é diagonal e dada por:

${\vec {F}}(U)=v{\vec {I}}\cdot {\vec {U}}$,

onde ${\vec {I}}$ é a matriz identidade.

Considerando apenas uma dimensão e com ${\vec {U}}\equiv u$, temos a equação de adveção:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+v{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$,

onde $v$ é a velocidade de propagação do pulso gerado. A equação admite uma solução analítica da forma $u=f(x-vt)$, representando uma onda se movendo na direção $x$.

A equação da onda em uma dimensão é uma EDP hiperbólica de segunda ordem dada por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial² u}{\partial t²} = v² \frac{\partial² u}{\partial x²}. }

E admite duas soluções, representadas por pulsos, $f(x+vt)$ e $f(x-vt)$.

Assumindo que $v\neq v(x)$ na equação da onda, nos restringimos a problemas lineares. Além disso, se escrevermos

$k=v{\frac {\partial u}{\partial x}}$, $s={\frac {\partial u}{\partial t}},$

então a equação da onda pode ser escrita como um sistema de três equações diferenciais de primeira ordem:

${\begin{cases}{\frac {\partial k}{\partial t}}=v{\frac {\partial s}{\partial x}}\\{\frac {\partial s}{\partial t}}=v{\frac {\partial k}{\partial x}}\\{\frac {\partial u}{\partial t}}=s\end{cases}}$

Em notação vetorial, o sistema acima pode ser reescrito na forma conservativa como: ${\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {\partial F(U)}{\partial x}}=0$,

onde $U={\begin{pmatrix}k\\s\end{pmatrix}},\quad {\textrm {e}}\quad F(U)={\begin{pmatrix}0&-v\\-v&0\end{pmatrix}}$

O Problema Fìsico

A Corda Ideal

Para uma primeira abordagem da equação da onda, podemos primeiro dividir o comprimento $L$ da corda em $K$ intervalos de comprimentos iguais, dessa forma $\Delta x={\frac {L}{K}}$. Cada intervalo é discretizado, portanto, como $x_{i}$, $i=0,1,...,K$. Também podemos dividir o tempo em intervalos iguais $\Delta t$ e denotá-los como $t_{n}$, $n=0,1...$.

Tendo feita a discretização das variáveis, podemos aproximar a equação da onda por diferenciação finita:

${\frac {u(i,n+1)-2u(i,n)+u(i,n-1)}{(\Delta t^{2})}}=v^{2}{\frac {u(i+1,n)-2u(i,n)+u(i-1,n)}{(\Delta x)^{2}}}$.

Sabendo que essa discretização da equação da onda pode ser verificada como sendo o método Leapfrog (ver seção do método de Leapfrog), podemos resolver a equação para $u(i,n+1)$ para sabermos o deslocamento de uma partição da corda no momento de tempo seguinte, assim obtendo

$u(i,n+1)=2(1-r^{2})u(i,n)+r^{2}[u(i+1,n)+u(i-1,n)]-u(i,n-1)$,

onde $r=v{\frac {\Delta t}{\Delta x}}.$

Um Quadro Mais Realístico

Para nos aproximarmos de um modelo mais real, podemos adicionar um termo à equação original da onda que corresponde ao efeito de fricção em uma corda. De acordo com [1], a equação da onda mais geral com efeito de fricção pode ser escrita como

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial² y}{\partial t²} = v² \left( \frac{\partial² y}{\partial x²} - \epsilon L² \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} \right),}

onde $v$ é a velocidade transversal de propagação do pulso na corda, dada pela relação $v={\sqrt[{}]{\frac {T}{\rho }}}$ (sendo $T$ a tensão na corda e $\rho$ a densidade linear da mesma), $\epsilon$ é um parâmetro adimensional de fricção que representa a rigidez da corda e $L$ o comprimento da corda.

O parâmetro $\epsilon$ é dado por

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \epsilon = \kappa² \frac{E S}{T L²}} ,

onde $\kappa$ é o raio da corda, $E$ é o Módulo de Young e $S$ a área da secção da corda.

Ao discretizarmos a equação da onda em uma corda com fricção e a resolvendo para $u_{i}^{n+1}$ obtemos:

$u_{i}^{n+1}=[2-2r^{2}-6\epsilon r^{2}K^{2}]u_{i}^{n}-u_{i}^{n-1}+r^{2}[1+4\epsilon K^{2}][u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n}]-\epsilon r^{2}K^{2}[u_{i+2}^{n}+u_{i-2}^{n}].$

O fato de essa discretização depender do deslocamento da corda em posições $i-2$ e $i+2$ implica em precisarmos simular "pontos fantasmas" quando integramos os extremos das cordas. Para fazermos isso, podemos ou utilizar a aproximação $u_{-1}^{n}=-u_{+1}^{n}$ ou podemos considerar esses "pontos fantasmas" como pontos presos e, portanto, sempre iguais a zero.

Os Métodos Utilizados

Foi realizada uma abordagem ao problema da corda real a partir de três métodos diferentes de integração numérica. Os três são métodos para fins de resolução de equações diferenciais parciais da forma apresentada anteriormente.

O método mais básico é chamado de FTCS (Forward-Time-Centered-Space) e consiste em duas expansões de Taylor ao redor do ponto $x_{j}$:

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle u(x_j + \Delta x,t^n) = u(x_j,t^n) + \frac{\partial u}{\partial x}(x_j,t^n)\Delta x + \frac{1}{2} \frac{\partial² u}{\partial x²}(x_j,t^n)\Delta x² + \mathcal{O}(\Delta x³),}

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle u(x_j - \Delta x,t^n) = u(x_j,t^n) - \frac{\partial u}{\partial x}(x_j,t^n)\Delta x + \frac{1}{2} \frac{\partial² u}{\partial x²}(x_j,t^n)\Delta x² + \mathcal{O}(\Delta x³).}

Subtraindo as duas expressões, encontramos a expressão

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} |_j^n = \frac{u^n_{j+1} - u^n_{j-1}}{2 \Delta x} + \mathcal{O}(\Delta x²)} ,

A qual podemos substituir na equação da onda, juntamente com a discretização da derivada parcial temporal. Temos então que, para um sistema linear de equações hiperbólicas:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textbf{U}^{n+1}_j = \textbf{U}^n_j - \frac{\Delta t}{2 \Delta x} [\textbf{F}^n_{j+1} - \textbf{F}^n_{j-1}] + \mathcal{O}(\Delta t², \Delta x² \Delta t)}

Visto que essa última notação é mais genérica, ela será utilizada para a explicação dos métodos posteriores.

O Método de Lax-Friedrichs

O método de Lax-Friedrichs consiste em substituir o termo ${\textbf {U}}_{j}^{n}$ com sua respectiva média espacial, i.e., $u_{j}^{n}=(u_{j+1}^{n}+u_{j-1}^{n})/2$. Logo, temos a seguinte equação de recorrência:

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \textbf{U}^{n+1}_j = \frac{1}{2}(U^n_{j+1} + \textbf{U}^n_{j-1}) - \frac{\Delta t}{2 \Delta x} [\textbf{F}^n_{j+1} - \textbf{F}^n_{j-1}] + \mathcal{O}(\Delta x²)}

O Método de Lax-Wendroff

O método de Lax-Wendroff é a extensão do método de Lax-Friedrichs de segunda ordem. Calculamos o vetor $U$ a partir de um passo médio de Lax-Friedrichs:

${\textbf {U}}_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}[{\textbf {U}}_{j+1}^{n}+{\textbf {U}}_{j}^{n}]-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}[{\textbf {F}}_{j+1}^{n}-{\textbf {F}}_{j}^{n}]+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})$,

${\textbf {U}}_{j-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}[{\textbf {U}}_{j}^{n}+{\textbf {U}}_{j-1}^{n}]-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}[{\textbf {F}}_{j}^{n}-{\textbf {F}}_{j-1}^{n}]+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})$,

E encontramos os fluxos ${\textbf {F}}_{j\pm {\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}$ a partir dos valores de ${\textbf {U}}_{j\pm {\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}.$

Logo, com um meio passo de Leapfrog, temos a expressão final do método:

${\textbf {U}}_{j}^{n+1}={\textbf {U}}_{j}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}[{\textbf {F}}_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}-{\textbf {F}}_{j-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}]+{\mathcal {O}}(\Delta x^{2})$