Grupo3 - Ondas2

Introdução

Equações diferenciais parciais (EDP's) hiperbólicas geralmente podem ser formuladas a partir de teoremas de conservação. Um exemplo é a equação do tipo:

$\frac{\partial \overrightarrow{U}}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}(U)=\overrightarrow{S}(U)$,

onde $\overrightarrow{U}$ é o vetor de densidades da quantidade conservada, i.e., $\overrightarrow{U}=(U_1,...,U_n)$, $\overrightarrow{F}$ é o fluxo de densidade e $\overrightarrow{S}$ é um termo genérico representando fontes ou sumidouros.

Uma classe especial de equações hiperbólicas são as chamadas equações de adveção, na qual a derivada temporal da quantidade conservada $\overrightarrow{U}(\overrightarrow{x},t)$ é proporcional à sua derivada espacial. Nesses casos, $\overrightarrow{F}(U)$ é diagonal e dada por:

$\overrightarrow{F}(U)=v\overrightarrow{I}\cdot \overrightarrow{U}$,

onde $\overrightarrow{I}$ é a matriz identidade.

Considerando apenas uma dimensão e com $\overrightarrow{U}\equiv u$, temos a equação de adveção:

$\frac{\partial u}{\partial t}+v\frac{\partial u}{\partial x}=0$,

onde $v$ é a velocidade de propagação do pulso gerado. A equação admite uma solução analítica da forma $u=f(x-vt)$, representando uma onda se movendo na direção $x$.

A equação da onda em uma dimensão é uma EDP hiperbólica de segunda ordem dada por

$$

E admite duas soluções, representadas por pulsos, $f(x+vt)$ e $f(x-vt)$.

Assumindo que $v\ne v(x)$ na equação da onda, nos restringimos a problemas lineares. Além disso, se escrevermos

$k=v\frac{\partial u}{\partial x}$, $s=\frac{\partial u}{\partial t},$

então a equação da onda pode ser escrita como um sistema de três equações diferenciais de primeira ordem:

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial k}{\partial t}=v\frac{\partial s}{\partial x}\\ \frac{\partial s}{\partial t}=v\frac{\partial k}{\partial x}\\ \frac{\partial u}{\partial t}=s\end{array}$

Em notação vetorial, o sistema acima pode ser reescrito na forma conservativa como: $\frac{\partial U}{\partial t}+\frac{\partial F(U)}{\partial x}=0$,

onde $U=\left(\begin{array}{c}k\\ s\end{array}\right),\text{e}F(U)=\left(\begin{array}{cc}0& -v\\ -v& 0\end{array}\right)$