Modelo de Potts - 2D

O Modelo

Modelo de Potts pode ser considerado uma generalização do Modelo de Ising. Enquanto no Ising, os spins podem assumir valores 1 ou -1, no Modelo de Potts, os spins podem assumir valores que dependem de uma variavél $q$ da seguinte forma: ${\theta }_n=\frac{2\pi n}{q}$. A quantidade ${\theta }_n$ nos fornece as possíveis orientações para os spins. Os valores que $n$ pode assumir são $n=0,1,2,...,q-1$. Dessa forma, um Modelo de Potts bidimensionaç com $q=10$ possui uma rede bidimensional de spins com 10 orientações diferentes.

O Hamiltoniano de interação, na ausência de campo magnético, pode ser escrito como

$H_p=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_i,s_j)$

onde $J$ é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação e $\delta (s_i,s_j)$ é a delta de Kronecker, definida como 0 se $s_i=s_j$ e 1 se $s_i\ne s_j$.

Relação com o Modelo de Ising

O Modelo de Ising é obtido quando tomamos $q=2$ na expressão para ${\theta }_n$.

O Hamiltoniano de Ising pode ser escrito como o Hamiltoniano do Potts mais uma constante aditiva $H_I=H_p+\sum _{(i,j)}\frac{J}{2}=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_i,s_j)+\sum _{(i,j)}\frac{J}{2}=-\frac{J}{2}\sum _{(i,j)}(2\delta (s_i,s_j)-1)$

Se incluírmos o campo magnético, o Hamiltoniado fica $H_p=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_i,s_j)-\sum _i\frac{1}{\beta }{h}_i{s}_i$

Algoritmo de Metropolis

Vamos implementar o Modelo de Potts utilizando o algoritmo de Metropolis.

O algoritmo de Metropolis é um método de Cadeia de Markov Monte Carlo (MCMC) para obter amostras aleatórias a partir de uma distribuição de probabilidade da qual a amostragem direta é difícil. O procedimento para a implementação do algoritmo é apresentado abaixo.

1. Inicialize

                                 a) Escolha um estado inicial $x_0$;

b) Coloque $t=0$

2. Itere

a) Gere um estado candidato aleatório $x^{\prime }$ de acordo $g(x^{\prime }|x_t)$

b) Calcule a probabilidade de aceitação $A(x^{\prime },x_t)=min(1,\frac{P(x^{\prime })}{P(x_t)}\frac{g(x_t|x^{\prime }}{x^{\prime }|x_t})$

c) Aceite ou rejeite:

1) Gere um número aleatório uniforme $u\in [0,1]$;

2) E se $u\le A(x^{\prime },x_t)$, aceite o novo estado e defina $x_{t+1}=x^{\prime }$;

3) E se $u>A(x^{\prime },x_t)$, rejeite o novo estado e copie o estado antigo para frente $x_{t+1}=x_t$;

4) Incremente: coloque t = t + 1

Em nosso caso, a distribuição $\frac{A(x,x^{\prime })}{A(x^{\prime },x)}$ é $e^{-\beta \mathrm{\Delta }E}$, onde $\mathrm{\Delta }E=E_{x^{\prime }}-E_x$.

Resultados

[[Arquivo: <arquivo> |thumb|right|500px| Simulação com o algoritmo de Metropolis para $T=1K$.]]

Códigos utilizados

Metropolis - Potts 2D

Referências

D. P. Landau, K. Binder. A Guide Monte Carlo Simulations in Statistical Physics. Cambridge University. New York. 2000.

L. M. Barone, E. Marinari, G. Organtini, F. Ricci-Tersengui. Scientific Programming: C-Language, Algorithms and Models in Science. World Scientific. Singapore. 2013.