Grupo3 - Ondas2

Introdução

Equações diferenciais parciais (EDP's) hiperbólicas geralmente podem ser formuladas a partir de teoremas de conservação. Um exemplo é a equação do tipo:

${\frac {\partial {\vec {U}}}{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {F}}(U)={\vec {S}}(U)$,

onde ${\vec {U}}$ é o vetor de densidades da quantidade conservada, i.e., ${\vec {U}}=(U_{1},...,U_{n})$, ${\vec {F}}$ é o fluxo de densidade e ${\vec {S}}$ é um termo genérico representando fontes ou sumidouros.

Uma classe especial de equações hiperbólicas são as chamadas equações de adveção, na qual a derivada temporal da quantidade conservada ${\vec {U}}({\vec {x}},t)$ é proporcional à sua derivada espacial. Nesses casos, ${\vec {F}}(U)$ é diagonal e dada por:

${\vec {F}}(U)=v{\vec {I}}\cdot {\vec {U}}$,

onde ${\vec {I}}$ é a matriz identidade.

Considerando apenas uma dimensão e com ${\vec {U}}\equiv u$, temos a equação de adveção:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+v{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$,

onde $v$ é a velocidade de propagação do pulso gerado. A equação admite uma solução analítica da forma $u=f(x-vt)$, representando uma onda se movendo na direção $x$.\\

A equação da onda em uma dimensão é uma EDP hiperbólica de segunda ordem dada por

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \frac{\partial² u}{\partial t²} = v² \frac{\partial² u}{\partial x²}. }

E admite duas soluções, representadas por pulsos, $f(x+vt)$ e $f(x-vt)$.\\

Assumindo que $v\neq v(x)$ na equação da onda, nos restringimos a problemas lineares. Além disso, se escrevermos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k = v \hspace{0.3mm} \frac{\partial u}{\partial x}, \hspace{10mm} s = \frac{\partial u}{\partial t}, }

então a equação da onda pode ser escrita como um sistema de três equações diferenciais de primeira ordem:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{equation} \begin{cases}\frac{\partial k}{\partial t} = v\frac{\partial s}{\partial x} \\ \frac{\partial s}{\partial t} = v\frac{\partial k}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial t} = s \end{cases} \end{equation} }

Em notação vetorial, o sistema acima pode ser reescrito na forma conservativa como: ${\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {\partial F(U)}{\partial x}}=0$, onde $$U = \begin{pmatrix}k\\s\end{pmatrix},\quad \textrm{e}\quad F(U) =\begin{pmatrix}0 & -v\\-v & 0\end{pmatrix}$$