Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

Grupo: Paula Pandolfo, Ramiro de Souza, Samuel Dieterich e Wallace Carvalho

Objetivo: Este trabalho tem dois objetivos principais: apresentar alguns resultados analíticos de osciladores lineares acoplados, comparando esses resultados com simulações computacionais; e implementar o modelo de osciladores acoplados com a adição de um termo quadrático, conforme inicialmente apresentado pelo artigo original do problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT), analisando os resultados. Apresentaremos algumas simulações dos casos bidimensionais, mas as análises de resultados serão restritas aos casos unidimensionais, por simplicidade. Inicialmente será introduzido o formalismo de oscilações acopladas lineares. [falta complementar]

Introdução

Os osciladores talvez sejam os sistemas mais estudados em toda a Física, sendo capazes de modelar uma ampla gama de fenômenos, como, p. ex., pêndulos, circuitos eletrônicos e interações moleculares. O comportamento linear desse tipo de sistema, em particular, possui resultados analíticos bem conhecidos, facilitando o tratamento matemático de sistemas complexos modeláveis por conjuntos de osciladores.

O problema de FPUT (Enrico Fermi, John R. Pasta, Stanislaw M. Ulam, Mary Tsingou) resulta da análise computacional de um sistema de partículas que apenas interagem com seus vizinhos, com interações modeladas por oscilações acopladas com a adição de um termo não-linear, que pode ser quadrático ou cúbico. O intuito original da simulação era estudar como tal sistema evolui para o equilíbrio térmico. Se as forças envolvidas forem estritamente lineares, a energia alocada em cada modo de vibração não se distribui entre os demais modos, e o sistema nunca atinge o equilíbrio térmico. Adicionando termos não lineares, supunha-se que, pelo Teorema da Equipartição da Energia, a energia total do sistema seria distribuída uniformemente entre os modos normais de vibração após um certo tempo, resultando no equilíbrio térmico do sistema. Entretanto, isso não foi observado nas simulações computacionais.

O caso foi estudado pela primeira vez em Los Alamos, nos Estados Unidos, e implementado no computador MANIAC I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator and Automatic Computer Model I). Além dos três participantes coautores do artigo . que relatou o caso em 1955, Mary Tsingou implementou o código e resolveu numericamente o sistema. Atualmente, por essa razão, o paradoxo é denominado pela sigla FPUT (Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou).

A abordagem adotada no presente trabalho é a seguinte: inicialmente, serão apresentados alguns resultados teóricos bem conhecidos de osciladores lineares acoplados. A seguir, compararemos esses resultados com simulações computacionais. [falta complementar]

Osciladores Lineares Acoplados

Um modelo geral de sistema unidimensional de osciladores lineares acoplados é ilustrado pela Figura 1. Para fins de simplificação do problema e minimização do número de parâmetros utilizados nas simulações, vamos considerar o caso em que todas as massas e constantes das molas sejam iguais, mesmo que essa suposição não seja estritamente necessária.

Figura 1. Ilustração de um modelo geral unidimensional de oscilações acopladas. A figura foi criada por Paula Pandolfo, uma das integrantes do grupo.

Cada partícula possui duas vizinhas com as quais interage por meio das molas, exceto as partículas localizadas nos extremos da cadeia, que possuem apenas uma partícula vizinha cada. As interações das partículas dos extremos das cadeias se restringem, portanto, à interação com uma vizinha e com uma mola conectada a uma das paredes externas à cadeia. Como este problema é unidimensional, a posição de cada partícula pode ser descrita por apenas um grau de liberdade. Vamos escolher os deslocamentos $x_{i}$ em relação à respectiva posição de equilíbrio da partícula $i$ como nossas coordenadas generalizadas, definindo como positivos os deslocamentos para a direita e negativos para a esquerda. No total, um sistema com $N$ partículas terá, portanto, $N$ graus de liberdade. Vamos tratar aqui o caso em que as forças das molas são lineares, i.e., dadas por $F=-kx$. Além disso, para simplificar, nos casos abaixo vamos considerar que todas as molas possuem as mesmas constantes $k$ e todas as partículas possuem as mesmas massas $m$.

N=2

Nota: O conteúdo abaixo segue aproximadamente a seção 12.2 de Marion e Thornton (2004). Entretanto, há diversas modificações e inclusões. Por exemplo, na descrição das equações de movimento e nas definições dos modos normais.

Para nos familiarizarmos com este sistema, consideremos inicialmente o caso do oscilador linear acoplado mais simples, com apenas duas partículas ($N=2$), cada uma com massa $m$, e três molas com os mesmos valores de constantes, $k$.

Utilizando a segunda lei de Newton, mostra-se que as equações de movimento do sistema são:

${\begin{aligned}m{\ddot {x}}_{1}&=-kx_{1}-k(x_{1}-x_{2})\\m{\ddot {x}}_{2}&=-kx_{2}-k(x_{2}-x_{1})\quad (1)\\\end{aligned}}$

Uma forma direta de se montar as equações de movimento de um sistema acoplado é pensar em termos dos deslocamentos em relação às posições de equilíbrio ($x_{i}$, com $i=1,2$, no sistema considerado aqui). Por exemplo, na primeira das equações acima, a partícula 1 está sujeita à força elástica da mola conectada à parede (termo $-kx_{1}$) e à força da mola conectada à partícula 2 (termo $-k(x_{1}-x_{2})$). Esse último termo é definido conforme o seguinte: caso a mola que está conectada às partículas 1 e 2 esteja comprimida, $x_{1}$ deve ser maior que $x_{2}$ e a partícula 1 estará sofrendo uma força que é contrária à compressão, ou seja, com sinal negativo. De modo semelhante para a partícula 2, mas nesse caso, devido à posição ocupada pela partícula 2 na cadeia, com $x_{1}$ maior que $x_{2}$, o sentido da força contrária à compressão tem sinal positivo, manifestando a terceira lei de Newton.

Uma dificuldade imposta pelo sistema (1) é o fato das equações serem acopladas, que a aceleração da partícula 1 depende da posição da partícula 2, e vice-versa. Vamos supor que esse sistema de equações tenha soluções na seguinte forma:

${\begin{aligned}x_{1}(t)&=A_{1}e^{-i\omega t}\\x_{2}(t)&=A_{2}e^{-i\omega t}\quad (2)\end{aligned}}$

Onde $A_{1}$ e $A_{2}$ são constantes e $\omega$ é uma frequência angular ainda indeterminada. Essa suposição é fisicamente justificável: sabemos que as soluções são oscilatórias, e exponenciais imaginárias podem ser escritas em termos de senos e cossenos pela fórmula de Euler. Se substituirmos a equação (2) na equação (1) e rearranjarmos os termos, obtemos:

${\begin{aligned}-mw^{2}A_{1}e^{-i\omega t}+2kA_{1}e^{-i\omega t}-kA_{2}e^{-i\omega t}&=0\\-mw^{2}A_{2}e^{-i\omega t}+2kA_{2}e^{-i\omega t}-kA_{1}e^{-i\omega t}&=0\\\end{aligned}}$

Ou, eliminando as exponenciais e reagrupando termos:

${\begin{aligned}(2k-mw^{2})&A_{1}&-kA_{2}&=0\\-k&A_{1}&+(2k-mw^{2})A_{2}&=0\quad (3)\\\end{aligned}}$

O sistema de equações (3) apenas terá soluções não triviais se o determinante da matriz dos coeficientes que acompanham os $A_{i}$ for igual a zero, i.e.:

${\begin{vmatrix}(2k-mw^{2})&-k\\-k&(2k-mw^{2})\end{vmatrix}}=0$

O resultado desse determinante ser igual a zero é uma equação quadrática simples em $\omega ^{2}$, sendo as soluções facilmente obtidas. Como para cada solução $\omega$ existe uma solução $-\omega$, apresentaremos apenas o módulo das frequências:

${\begin{aligned}\omega _{1}={\sqrt {\frac {k}{m}}}\quad \quad \omega _{2}={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\quad (4)\end{aligned}}$

$\omega _{1}$ e $\omega _{2}$ são as frequências características ou autofrequências do sistema. As soluções mais gerais do sistema de equações diferenciais lineares (1) vão ser então combinações lineares das soluções (2) com as frequências dadas por (4):

${\begin{aligned}x_{1}(t)=a_{1}^{1}e^{i\omega _{1}t}&+a_{1}^{2}e^{-i\omega _{1}t}&+a_{1}^{3}e^{i\omega _{2}t}&+a_{1}^{4}e^{-i\omega _{2}t}\\x_{2}(t)=a_{2}^{1}e^{i\omega _{1}t}&+a_{2}^{2}e^{-i\omega _{1}t}&+a_{2}^{3}e^{i\omega _{2}t}&+a_{2}^{4}e^{-i\omega _{2}t}\quad (5)\end{aligned}}$

Nota-se que cada uma das soluções é uma superposição (em geral) complicada que envolve as duas autofrequências. Isso é uma consequência direta do acoplamento presente no sistema (1). Para eliminar este acoplamento, vamos definir novas variáveis: $\eta _{1}=x_{1}+x_{2}$ e $\eta _{2}=x_{1}-x_{2}$, ou

${\begin{aligned}x_{1}={\frac {\eta _{1}+\eta _{2}}{2}}\\x_{2}={\frac {\eta _{1}-\eta _{2}}{2}}\end{aligned}}$

Substituindo essas expressões no sistema de equações (1):

${\begin{aligned}m({\ddot {\eta }}_{1}+{\ddot {\eta }}_{2})+k\eta _{1}+3k\eta _{2}=0\\m({\ddot {\eta }}_{1}-{\ddot {\eta }}_{2})+k\eta _{1}-3k\eta _{2}=0\end{aligned}}$

Se somarmos as duas equações acima e subtrairmos a segunda da primeira, obtemos, respectivamente:

${\begin{aligned}m{\ddot {\eta }}_{1}+k\eta _{1}=0\\m{\ddot {\eta }}_{2}+3k\eta _{2}=0\end{aligned}}$

Reconhecemos imediatamente as equações acima como equações de osciladores harmônicos simples, desacopladas e, portanto, com soluções independentes. As soluções são dadas por

${\begin{aligned}\eta _{1}(t)&=c_{1}e^{i\omega _{1}t}+c_{2}e^{-i\omega _{1}t}\\\eta _{2}(t)&=c_{3}e^{i\omega _{2}t}+c_{4}e^{-i\omega _{2}t}\quad (6)\end{aligned}}$

$\eta _{1}$ e $\eta _{2}$ são chamadas de coordenadas normais. Por definição, são coordenadas que desacoplam as equações diferenciais do sistema e possuem soluções com frequências únicas, bem definidas. Sempre podem ser escritas como algum tipo de combinação linear das coordenadas originais. De modo semelhante, as coordenadas usuais do sistema sempre podem ser escritas como combinações lineares das coordenadas normais. No caso geral, para mais partículas, são trabalhosas de se encontrar. Note-se que, no caso de duas partículas, é simples encontrá-las meramente por inspeção. Se impusermos as condições iniciais $x_{1}(0)=x_{2}(0)$ e ${\dot {x}}_{1}(0)={\dot {x}}_{2}(0)$, $\eta _{2}(0)=x_{1}(0)-x_{2}(0)=0$ e as constantes $c_{3}$ e $c_{4}$ vão ser iguais a zero, o que implica $\eta _{2}(t)=0$, para todo $t$. Esse primeiro modo normal corresponderá a uma oscilação simétrica, em que as duas partículas oscilarão em fase, com frequência $\omega _{1}$. De modo semelhante, se impusermos as condições iniciais $x_{1}(0)=-x_{2}(0)$ e ${\dot {x}}_{1}(0)=-{\dot {x}}_{2}(0)$, $\eta _{1}(t)=0$, para todo $t$, e as partículas oscilarão fora de fase, com frequência $\omega _{2}$. Pelas expressões dadas em (4), note-se que a frequência associada ao modo simétrico é menor do que a frequência do modo antissimétrico: esse é um resultado geral de oscilações acopladas. Quanto maior o grau de simetria da oscilação, menor o valor da frequência.

N=3

Seguindo a mesma lógica apresentada para $N=2$ partículas, podemos montar as equações de movimento do sistema com $N=3$ partículas. A única diferença é que a partícula central apenas está conectada a partículas vizinhas, não estando conectada a paredes externas:

${\begin{aligned}m{\ddot {x}}_{1}&=-kx_{1}-k(x_{1}-x_{2})\\m{\ddot {x}}_{2}&=-k(x_{2}-x_{1})-k(x_{2}-x_{3})\\m{\ddot {x}}_{3}&=-kx_{3}-k(x_{3}-x_{2})\quad (7)\\\end{aligned}}$

Supondo soluções do tipo

${\begin{aligned}x_{1}(t)&=A_{1}e^{-i\omega t}\\x_{2}(t)&=A_{2}e^{-i\omega t}\\x_{3}(t)&=A_{3}e^{-i\omega t}\quad (8)\end{aligned}}$

Substituindo (8) em (7) e seguindo os mesmos passos feitos para $N=2$ partículas:

${\begin{aligned}(2k-mw^{2})A_{1}&-kA_{2}&+0A_{3}&=0\\-kA_{1}&+(2k-mw^{2})A_{2}&-kA_{3}&=0\\0A_{1}&-kA_{2}&+(2k-mw^{2})A_{3}&=0\\\end{aligned}}$

O sistema de equações acima apenas terá soluções não triviais se o determinante dos coeficientes dos $A_{i}$ for igual a zero, i.e.:

${\begin{vmatrix}(2k-mw^{2})&-k&0\\-k&(2k-mw^{2})&-k\\0&-k&(2k-mw^{2})\end{vmatrix}}=0$

A equação resultante é $(2k-m\omega ^{2})^{3}-2k^{2}(2k-m\omega ^{2})=0$. Simples de ser resolvida analiticamente por fatoração, esta equação tem as soluções:

${\begin{aligned}\omega _{1}={\sqrt {{\frac {k}{m}}(2-{\sqrt {2}})}}\quad \quad \omega _{2}={\sqrt {\frac {2k}{m}}}\quad \quad \omega _{3}={\sqrt {{\frac {k}{m}}(2+{\sqrt {2}})}}\quad (9)\end{aligned}}$

Note-se que aqui já não é mais tão simples identificar as coordenadas normais. Além disso, embora tenha sido simples até aqui obter as autofrequências, o processo é tedioso e a equação característica pode ser difícil de se resolver analiticamente.

Podemos escrever as soluções da seguinte forma, de modo semelhante a como fizemos para $N=2$:

${\begin{aligned}x_{1}(t)=a_{1}^{1}e^{i\omega _{1}t}&+a_{1}^{2}e^{-i\omega _{1}t}&+a_{1}^{3}e^{i\omega _{2}t}&+a_{1}^{4}e^{-i\omega _{2}t}&+a_{1}^{5}e^{i\omega _{3}t}&+a_{1}^{6}e^{-i\omega _{3}t}\\x_{2}(t)=a_{2}^{1}e^{i\omega _{1}t}&+a_{2}^{2}e^{-i\omega _{1}t}&+a_{2}^{3}e^{i\omega _{2}t}&+a_{2}^{4}e^{-i\omega _{2}t}&+a_{2}^{5}e^{i\omega _{3}t}&+a_{2}^{6}e^{-i\omega _{3}t}\\x_{3}(t)=a_{3}^{1}e^{i\omega _{1}t}&+a_{3}^{2}e^{-i\omega _{1}t}&+a_{3}^{3}e^{i\omega _{2}t}&+a_{3}^{4}e^{-i\omega _{2}t}&+a_{3}^{5}e^{i\omega _{3}t}&+a_{3}^{6}e^{-i\omega _{3}t}\quad (10)\end{aligned}}$

Caso geral

O formalismo lagrangeano fornece uma técnica poderosa para encontrar as coordenadas normais, bem como as autofrequências [inserir referências]. No entanto, no presente trabalho, não precisamos fazer uso do formalismo lagrangeano. Será suficiente tratar o problema por análise de Fourier.

Podemos generalizar, para o caso de um N qualquer maior que 3, e obter as seguintes equações de movimento:

$m{\ddot {x}}_{i}={\begin{cases}-kx_{1}-k(x_{1}-x_{2}){\text{,}}&\quad {\text{se}}\quad i=1\\-k(x_{i}-x_{i-1})-k(x_{i}-x_{i+1}){\text{,}}&\quad {\text{se}}\quad 1<i<N\\-kx_{N}-k(x_{N}-x_{N-1}){\text{,}}&\quad {\text{se}}\quad i=N\quad \quad (11)\\\end{cases}}$

O conjunto de equações (11) vai ser importante para a implementação numérica.

As soluções (5) e (10) apresentam um padrão. Se tomarmos apenas as partes reais das soluções, podemos redefinir as constantes duas a duas e escrever a solução geral como:

${\begin{aligned}x_{l}(t)&=\sum _{m=1}^{N}a_{m}^{l}\cos(\omega _{m}t){\text{,}}\quad {\text{com}}\quad l=1{\text{,}}\,{\text{...}}{\text{,}}\,N\\\end{aligned}}$

As constantes $a_{m}^{l}$ são chamadas de amplitudes dos modos normais e indicam o quanto de cada modo normal, de frequência bem definida, está presente na solução de cada $x_{l}(t)$. É possível mostrar (o que não faremos aqui por razões de tempo e espaço, mas pode ser consultado nas referências ) que, usando condições de contorno $x_{0}(t)=x_{N+1}(t)=0$, as soluções podem ser reescritas como

${\begin{aligned}x_{l}(t)&=\sum _{m=1}^{N}c_{m}\sin \left({\frac {lm\pi }{N+1}}\right)\cos(w_{m}t){\text{, com}}\quad l=1{\text{,}}\,{\text{...}}{\text{,}}\,N\\\end{aligned}}$

É comum na literatura redefinir a constante $c_{m}$ da seguinte forma:

${\begin{aligned}x_{l}(t)&={\sqrt {\frac {2}{N+1}}}\sum _{m=1}^{N}a_{m}\sin \left({\frac {lm\pi }{N+1}}\right)\cos(w_{m}t){\text{, com}}\quad l=1{\text{,}}\,{\text{...}}{\text{,}}\,N\\\end{aligned}}$

A qualquer instante de tempo, os deslocamentos das partículas em relação às posições de equilíbrio podem ser escritos como uma soma de modos normais. Esses modos normais são ondas estacionárias. Ver, por exemplo, a Figura 2, com os cinco primeiros modos.

Figura 2. Cinco primeiros modos de oscilação para um oscilador acoplado com N=32 partículas

É possível, portanto, por uma transformada inversa, escrever

${\begin{aligned}a_{m}&={\sqrt {\frac {2}{N+1}}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\sin \left({\frac {im\pi }{N+1}}\right){\text{, com}}\quad m=1{\text{,}}\,{\text{...}}{\text{,}}\,N\\\end{aligned}}\quad (12)$

As energias de cada modo podem ser escritas como (com ${\dot {a}}_{m}$ representando a amplitude da velocidade do modo):

${\begin{aligned}E_{m}&={\frac {1}{2}}\left[\left({\dot {a}}_{m}^{2}+\omega _{m}^{2}a_{m}^{2}\right)\right]\quad (13)\end{aligned}}$

E as frequências podem ser calculadas por (uma demonstração pode ser encontrada nas referências, supõe-se que as frequências dos modos são menores ou iguais a duas vezes a frequência natural, $\omega _{m}\leq 2\omega _{0}=2{\sqrt {k/m}}$ ):

${\begin{aligned}\omega _{m}&=2\omega _{0}\sin \left({\frac {m\pi }{2(N+1)}}\right)\quad (14)\end{aligned}}$

Todas as expressões mostradas nesta seção são válidas mesmo para o caso de oscilações acopladas não lineares, como é o caso do FPUT. [adicionar mais referências]

Podemos comparar, por exemplo, os valores que encontramos para as autofrequências nos casos $N=2$ e $N=3$ com os resultados da equação (14). Seja, por exemplo, $k=m=1$. Para $N=2$, pelas expressões (4), $\omega _{1}=1$ e $\omega _{2}={\sqrt {3}}$, que são os mesmos resultados fornecidos pela equação (14). De modo semelhante, para $N=3$, pelas expressões (9), $\omega _{1}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$, $\omega _{2}={\sqrt {2}}$ e $\omega _{3}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$, que também são os mesmos resultados fornecidos pela equação (14).

Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT

Como já discutido, se as forças em um sistema de osciladores acoplados forem todas da forma da lei de Hooke, o sistema jamais alcançará o equilíbrio térmico, pois os modos têm independência linear entre si. Para fazer isso, temos de acrescentar termos não-lineares de interação. Vamos tratar aqui o primeiro caso estudado no artigo original, em que os termos não-lineares são quadráticos nas coordenadas $x_{i}$.

A forma dos termos quadráticos que vamos utilizar é construída por analogia com os termos lineares. Para os osciladores internos, teremos então a seguinte equação de movimento:

$m{\ddot {x}}_{i}=k_{1}\left[(x_{i+1}-x_{i})+(x_{i-1}-x_{i})\right]+k_{2}\left[(x_{i+1}-x_{i})^{2}+(x_{i-1}-x_{i})^{2}\right]$

Nessa equação, a constante $k_{1}$ faz o papel da constante das molas $k$ apresentada anteriormente para o caso puramente linear, enquanto $k_{2}$ informa a intensidade da força não-linear. Podemos isolar a aceleração ${\ddot {x}}_{i}$ nesta equação; seguindo os passos feitos por Lucero et al., 2021, vamos escolher $k_{1}/m=1$ e definir $\alpha \equiv k_{1}/m$. A equação fica então:

$m{\ddot {x}}_{i}=(x_{i+1}-x_{i})+(x_{i-1}-x_{i})+\alpha \left[(x_{i+1}-x_{i})^{2}+(x_{i-1}-x_{i})^{2}\right]$

Implementação numérica

$m{\ddot {x}}_{i}={\begin{cases}-kx_{1}-k(x_{1}-x_{2}){\text{,}}&\quad {\text{se}}\quad i=1\\-k(x_{i}-x_{i-1})-k(x_{i}-x_{i+1}){\text{,}}&\quad {\text{se}}\quad 1<i<N\\-kx_{N}-k(x_{N}-x_{N-1}){\text{,}}&\quad {\text{se}}\quad i=N\quad \quad (11)\\\end{cases}}$

Resultados e discussão

Osciladores Lineares Acoplados

N=2

• 

  Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.

• 

  Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.

As duas simulações acima ilustram os dois modos normais de oscilação de um oscilador acoplado linear unidimensional com N=2. É possível observar que a frequência do modo simétrico é menor do que a frequência do modo antissimétrico.

• 

  Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (esquerda na simulação acima) e 2 (direita na simulação acima).

• 

  Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (esquerda na simulação acima) e 2 (direita na simulação acima).

FPUT quadrático

Parâmetros da simulação com deslocamento vertical: $k=0.95;m=1.05;\alpha =1.2;\Delta t=0.5;t_{max}=5500;L=20.0;N=32$.

Figura X. Primeira parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação podemos ver as primeiras iterações após a condição inicial proposta no trabalho original.

Figura X. Segunda parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação vemos o sistema retornando a uma posição próxima da condição inicial.

Programa

• Código em C e scripts para FPUT com deslocamento vertical

• Código em Python para simulações de osciladores lineares e FPUT quadrático

Bibliografia principal

• Marion, J.B., Thornton, S.T. "Classical Dynamics of Particles and Systems". Thomson Learning, Belmont, 2004.
• Giordano, N.J., Nakanishi, H. "Computational Physics". 2nd Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, 2006.