Grupo5 - Eq. Schroedinger

A evolução temporal do estado quântico $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\right]\Psi (\mathbf {r} ,t)$

Posto em unidades atômicas (onde $m_{e}$ e $\hbar$ são unitários), o caso unidimensional de um elétron num potencial independente do tempo reduz-se a:

${\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=\left[{\frac {i}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-iV(x)\right]\Psi (x,t)$

Método numérico

Buscando resolver a equação numericamente, tem-se a discretização de ${\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}$ :

${\frac {\Psi _{j-1}^{n}-2\Psi _{j}^{n}+\Psi _{j+1}^{n}}{\left(\Delta x\right)^{2}}}$

e as discretizações de ${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}$ (explícita e implícita, respectivamente):

${\frac {\Psi _{j}^{n+1}-\Psi _{j}^{n}}{\Delta t}},\quad {\frac {\Psi _{j}^{n}-\Psi _{j}^{n-1}}{\Delta t}}$

Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade \cite{enswork}.

O método de Crank-Nicolson consiste em uma média aritmética dos métodos explícito e implícito. Excetuando manipulações algébricas triviais, verifica-se que a relação de recorrência do método é dada por:

$a\Psi _{j-1}^{n+1}+b_{j}\Psi _{j}^{n+1}+a\Psi _{j+1}^{n+1}=a^{*}\Psi _{j-1}^{n}+b_{j}^{*}\Psi _{j}^{n}+a^{*}\Psi _{j+1}^{n},$

onde

$a\equiv -{\frac {i\Delta t}{4(\Delta x)^{2}}}$ e $b_{j}\equiv 1+{\frac {i\Delta t}{2}}\left[{\frac {1}{(\Delta x)^{2}}}+V(j\Delta x)\right]$.

A integração numérica depende, portanto, do potencial em que o elétron está sujeito, bem como da sua condição inicial e suas das condições de contorno.

Que condições podemos impor para a fronteira? Quando se trata do problema analiticamente, costuma-se considerar que a função de onda tende a zero no infinito. Numericamente, pode-se fazer uma transposição disso, criando uma condição para bordas em pontos suficientemente distantes do centro da distribuição da função de onda, igualando-as a zero. Outra forma de tratar o problema numericamente é criando condições de contorno periódicas, em que para as bordas vale $\Psi _{0}^{n}=\Psi _{j_{max}}^{n}$ para todo $n$ (ou, para as bordas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} há a relação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi (a, t) = \Psi (b, t)} para todo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} ).

Condições de contorno iguais a zero

Para as condições de contorno Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi_0^n = \Psi_L^n = 0} , a iteração reduz-se à equação matricial:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} b_1 & a & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ a & b_2 & a & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a & b_{L-2} & a \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a & b_{L-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Psi_1^{n+1} \\ \Psi_2^{n+1} \\ \vdots \\ \Psi_{L-2}^{n+1} \\ \Psi_{L-1}^{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1^* & a^* & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ a^* & b_2^* & a^* & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a^* & b_{L-2}^* & a^* \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a^* & b_{L-1}^*\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Psi_1^{n} \\ \Psi_2^{n} \\ \vdots \\ \Psi_{L-2}^{n} \\ \Psi_{L-1}^{n} \end{pmatrix} }

Condições de contorno periódicas

De maneira semelhante, a iteração do caso das condições de contorno periódicas - Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi_0^n = \Psi_L^n} - reduz-se à equação matricial:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} b_0 & a & 0 & \cdots & 0 & 0 & a\\ a & b_1 & a & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a & b_{L-1} & a \\ a & 0 & 0 & \cdots & 0 & a & b_{L}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Psi_0^{n+1} \\ \Psi_2^{n+1} \\ \vdots \\ \Psi_{L-1}^{n+1} \\ \Psi_{L}^{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_0^* & a^* & 0 & \cdots & 0 & 0 & a^*\\ a^* & b_1^* & a^* & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a^* & b_{L-1}^* & a^* \\ a^* & 0 & 0 & \cdots & 0 & a^* & b_{L}^*\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Psi_0^{n} \\ \Psi_2^{n} \\ \vdots \\ \Psi_{L-1}^{n} \\ \Psi_{L}^{n} \end{pmatrix} }

Condição inicial

Já a condição inicial é arbitrária, pois define o estado inicial do sistema que queremos tratar. Fazendo uma referência ao tratamento de sistemas clássicos, seria como definir posição e momento iniciais. É claro que, para ter o sentido físico de uma função de onda, deve-se ter o cuidado de criar uma condição inicial normalizada, satisfazendo

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int _{-\infty}^{\infty} \, \left| \Psi (x, 0) \right| ^2 \, dx = 1}

bastando, então, inseri-la no programa.

Implementação em C

Condição de contorno limitada

void CN(double complex *u, double complex *u_aux, double complex *u_next, double complex a)
{
	//Nomeia-se E a matriz da equação matricial que multiplica o estado evoluído no tempo.
	//Tem-se L, dx e dt definidos

	//u 		-- vetor de estado atual
	//u_aux		-- conj(E) * u 
	//u_next 	-- o novo estado

	//Esta função resolve resolve E * u_next = conj(E) * u

	int i;

	//atualização do vetor u_aux

	for(i = 1; i < L; i++) u_aux[i] = conj(a) * (u[i-1+] + u[i+1]) + conj(b(i)) * u[i];

	//para resolver E * u_next = u_aux, utiliza-se do Método de Thomas:

	double complex c_new[L+1], d_new[L+1];

	c_new[1] = a / b(1);
	for(i = 2; i < L; i++) c_new[i] = a / (b(i) - c_new[i-1] * a);

	d_new[1] = u_aux[1] / b(1);
	for(i = 2; i < L; i++) d_new[i] = (u_aux[i] - d_new[i-1] * a) / (b(i) - c_new[i-1] * a);

	u_next[0] = u_next[L] = 0;
	u_next[L-1] = d_new[L-1];
	for(i = L-2; i > 0; i --) u_next[i] = d_new[i] - c_new[i] * u_next[i+1];
	
	//atualiza-se o valor do estado: u = u_next

	for(i = 0; i <= L; i++) u[i] = u_next[i];
}

Referências

• Cohen-Tannoudji C., Diu B., Laloe F. Quantum mechanics. Volume 1. Wiley, 1991.
• Numerical Resolution Of The Schrödinger Equation. Jorgensen L., Lopes Cardozo D., Thivierge E. http://web.pa.msu.edu/people/duxbury/courses/phy480/SchrodingerDynamics.pdf
• Sherer, Philipp O.J., Computational Physics simulation of Classical and Quantum Systems. Springer, 2010.
• Born, Max. Nobel lecture: The statistical interpretation of quantum mechanics. 11 de Dezembro de 1954. https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1954/born-lecture.pdf