Grupo5 - Eq. Schroedinger

A evolução temporal do estado quântico $\mathrm{\Psi }(\mathbf{𝐫},t)$ é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(\mathbf{𝐫},t)=[-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(\mathbf{𝐫},t)]\mathrm{\Psi }(\mathbf{𝐫},t)$

Posto em unidades atômicas (onde $m_e$ e $\hslash$ são unitários), o caso unidimensional de um elétron num potencial independente do tempo reduz-se a:

$\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(x,t)=[\frac{i}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-iV(x)]\mathrm{\Psi }(x,t)$

Método numérico

Buscando resolver a equação numericamente, tem-se a discretização de $\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x^2}$ :

$\frac{{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^n-2{\mathrm{\Psi }}_j^n+{\mathrm{\Psi }}_{j+1}^n}{{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2}$

e as discretizações de $\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}$ (explícita e implícita, respectivamente):

$\frac{{\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}-{\mathrm{\Psi }}_j^n}{\mathrm{\Delta }t},\frac{{\mathrm{\Psi }}_j^n-{\mathrm{\Psi }}_j^{n-1}}{\mathrm{\Delta }t}$

Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade \cite{enswork}.

O método de Crank-Nicolson consiste em uma média aritmética dos métodos explícito e implícito. Excetuando manipulações algébricas triviais, verifica-se que a relação de recorrência do método é dada por:

$a{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^{n+1}+b_j{\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}+a{\mathrm{\Psi }}_{j+1}^{n+1}=a^{*}{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^n+b_j^{*}{\mathrm{\Psi }}_j^n+a^{*}{\mathrm{\Psi }}_{j+1}^n,$

onde

$a\equiv -\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$ e $b_j\equiv 1+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2}[\frac{1}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}+V(j\mathrm{\Delta }x)]$.

A integração numérica depende, portanto, do potencial em que o elétron está sujeito, bem como da sua condição inicial e suas das condições de contorno.

Que condições podemos impor para a fronteira? Quando se trata do problema analiticamente, costuma-se considerar que a função de onda tende a zero no infinito. Numericamente, pode-se fazer uma transposição disso, criando uma condição para bordas em pontos suficientemente distantes do centro da distribuição da função de onda, igualando-as a zero. Outra forma de tratar o problema numericamente é criando condições de contorno periódicas, em que para as bordas vale ${\mathrm{\Psi }}_0^n={\mathrm{\Psi }}_{j_{max}}^n$ para todo $n$ (ou, para as bordas $a$ e $b$ há a relação $\mathrm{\Psi }(a,t)=\mathrm{\Psi }(b,t)$ para todo $t$).

Condições de contorno iguais a zero

Para as condições de contorno ${\mathrm{\Psi }}_0^n={\mathrm{\Psi }}_L^n=0$, a iteração reduz-se à equação matricial:

$\left(\begin{array}{ccccccc}{b}_1& a& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ a& b_2& a& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a& b_{L-2}& a\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& a& b_{L-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_1^{n+1}\\ {\mathrm{\Psi }}_2^{n+1}\\ ⋮\\ {\mathrm{\Psi }}_{L-2}^{n+1}\\ {\mathrm{\Psi }}_{L-1}^{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccccc}{b}_1^{*}& a^{*}& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ a^{*}& b_2^{*}& a^{*}& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a^{*}& b_{L-2}^{*}& a^{*}\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& a^{*}& b_{L-1}^{*}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_1^n\\ {\mathrm{\Psi }}_2^n\\ ⋮\\ {\mathrm{\Psi }}_{L-2}^n\\ {\mathrm{\Psi }}_{L-1}^n\end{array}\right)$

Condições de contorno periódicas

De maneira semelhante, a iteração do caso das condições de contorno periódicas - ${\mathrm{\Psi }}_0^n={\mathrm{\Psi }}_L^n$ - reduz-se à equação matricial:

$\left(\begin{array}{ccccccc}{b}_0& a& 0& \cdots & 0& 0& a\\ a& b_1& a& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a& b_{L-1}& a\\ a& 0& 0& \cdots & 0& a& b_L\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_0^{n+1}\\ {\mathrm{\Psi }}_2^{n+1}\\ ⋮\\ {\mathrm{\Psi }}_{L-1}^{n+1}\\ {\mathrm{\Psi }}_L^{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccccc}{b}_0^{*}& a^{*}& 0& \cdots & 0& 0& a^{*}\\ a^{*}& b_1^{*}& a^{*}& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a^{*}& b_{L-1}^{*}& a^{*}\\ a^{*}& 0& 0& \cdots & 0& a^{*}& b_L^{*}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_0^n\\ {\mathrm{\Psi }}_2^n\\ ⋮\\ {\mathrm{\Psi }}_{L-1}^n\\ {\mathrm{\Psi }}_L^n\end{array}\right)$

Condição inicial

Já a condição inicial é arbitrária, pois define o estado inicial do sistema que queremos tratar. Fazendo uma referência ao tratamento de sistemas clássicos, seria como definir posição e momento iniciais. É claro que, para ter o sentido físico de uma função de onda, deve-se ter o cuidado de criar uma condição inicial normalizada, satisfazendo

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{|\mathrm{\Psi }(x,0)|}^{2}dx=1$

bastando, então, inseri-la no programa.

Implementação em C

Condição de contorno limitada

void CN(double complex *u, double complex *u_aux, double complex *u_next, double complex a)
{
	//Nomeia-se E a matriz da equação matricial que multiplica o estado evoluído no tempo.
	//Tem-se L, dx e dt definidos

	//u 		-- vetor de estado atual
	//u_aux		-- conj(E) * u 
	//u_next 	-- o novo estado

	//Esta função resolve resolve E * u_next = conj(E) * u

	int i;

	//atualização do vetor u_aux

	for(i = 1; i < L; i++) u_aux[i] = conj(a) * (u[i-1+] + u[i+1]) + conj(b(i)) * u[i];

	//para resolver E * u_next = u_aux, utiliza-se do Método de Thomas:

	double complex c_new[L+1], d_new[L+1];

	c_new[1] = a / b(1);
	for(i = 2; i < L; i++) c_new[i] = a / (b(i) - c_new[i-1] * a);

	d_new[1] = u_aux[1] / b(1);
	for(i = 2; i < L; i++) d_new[i] = (u_aux[i] - d_new[i-1] * a) / (b(i) - c_new[i-1] * a);

	u_next[0] = u_next[L] = 0;
	u_next[L-1] = d_new[L-1];
	for(i = L-2; i > 0; i --) u_next[i] = d_new[i] - c_new[i] * u_next[i+1];
	
	//atualiza-se o valor do estado: u = u_next

	for(i = 0; i <= L; i++) u[i] = u_next[i];
}

Referências

• Cohen-Tannoudji C., Diu B., Laloe F. Quantum mechanics. Volume 1. Wiley, 1991.
• Numerical Resolution Of The Schrödinger Equation. Jorgensen L., Lopes Cardozo D., Thivierge E. http://web.pa.msu.edu/people/duxbury/courses/phy480/SchrodingerDynamics.pdf
• Sherer, Philipp O.J., Computational Physics simulation of Classical and Quantum Systems. Springer, 2010.
• Born, Max. Nobel lecture: The statistical interpretation of quantum mechanics. 11 de Dezembro de 1954. https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1954/born-lecture.pdf