Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

Grupo: Paula Pandolfo, Ramiro de Souza, Samuel Dieterich e Wallace Carvalho

Objetivo: Este trabalho tem dois objetivos principais: apresentar alguns resultados analíticos de osciladores lineares acoplados, comparando esses resultados com simulações computacionais; e implementar o modelo de osciladores acoplados com a adição de um termo quadrático, conforme inicialmente apresentado pelo artigo original do problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT), analisando os resultados. Apresentaremos algumas simulações dos casos bidimensionais, mas as análises de resultados serão restritas aos casos unidimensionais, por simplicidade. Inicialmente será introduzido o formalismo de oscilações acopladas lineares. [falta complementar]

Introdução

Os osciladores talvez sejam os sistemas mais estudados em toda a Física, sendo capazes de modelar uma ampla gama de fenômenos, como, p. ex., pêndulos, circuitos eletrônicos e interações moleculares. O comportamento linear desse tipo de sistema, em particular, possui resultados analíticos bem conhecidos, facilitando o tratamento matemático de sistemas complexos modeláveis por conjuntos de osciladores.

O problema de FPUT (Enrico Fermi, John R. Pasta, Stanislaw M. Ulam, Mary Tsingou) resulta da análise computacional de um sistema de partículas que apenas interagem com seus vizinhos, com interações modeladas por oscilações acopladas com a adição de um termo não-linear, que pode ser quadrático ou cúbico. O intuito original da simulação era estudar como tal sistema evolui para o equilíbrio térmico. Se as forças envolvidas forem estritamente lineares, a energia alocada em cada modo de vibração não se distribui entre os demais modos, e o sistema nunca atinge o equilíbrio térmico. Adicionando termos não lineares, supunha-se que, pelo Teorema da Equipartição da Energia, a energia total do sistema seria distribuída uniformemente entre os modos normais de vibração após um certo tempo, resultando no equilíbrio térmico do sistema. Entretanto, isso não foi observado nas simulações computacionais.

O caso foi estudado pela primeira vez em Los Alamos, nos Estados Unidos, e implementado no computador MANIAC I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator and Automatic Computer Model I). Além dos três participantes coautores do artigo que relatou o caso em 1955, Mary Tsingou implementou o código e resolveu numericamente o sistema. Atualmente, por essa razão, o paradoxo é denominado pela sigla FPUT (Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou).

A abordagem adotada no presente trabalho é a seguinte: inicialmente, serão apresentados alguns resultados teóricos bem conhecidos de osciladores lineares acoplados. A seguir, compararemos esses resultados com simulações computacionais. [falta complementar]

Osciladores Lineares Acoplados

Um modelo geral de sistema unidimensional de osciladores lineares acoplados é ilustrado pela Figura 1. Para fins de simplificação do problema, estamos considerando que todas as massas e constantes das molas são iguais, mas esse não precisaria ser o caso.

Figura 1. Ilustração de um modelo geral unidimensional de oscilações acopladas. A figura foi criada por Paula Pandolfo, uma das integrantes do grupo.

Cada partícula possui duas vizinhas, com as quais interage por meio das molas, exceto as partículas localizadas nos extremos da cadeia, que possuem apenas uma partícula vizinha cada. As interações das partículas dos extremos das cadeias se restringem, portanto, à interação com uma vizinha e com uma mola conectada a uma das paredes externas à cadeia. A posição de cada partícula pode ser descrita por um grau de liberdade associado ao deslocamento em relação à respectiva posição de equilíbrio. No total, um sistema com $N$ partículas terá, portanto, $N$ graus de liberdade. Vamos tratar aqui o caso em que as forças das molas são lineares, i.e., dadas por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F=-kx} . Além disso, para simplificar, nos casos abaixo vamos considerar que todas as molas possuem as mesmas constantes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} e todas as partículas possuem as mesmas massas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} .

N=2

(O conteúdo abaixo segue aproximadamente a seção 12.2 de Marion e Thornton (2004). Entretanto, há diversas modificações e inclusões. Por exemplo, na descrição das equações de movimento e nas definições dos modos normais).

Vamos inicialmente considerar o caso do oscilador linear acoplado mais simples, com duas partículas (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=2} ), cada uma com massa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} , e três molas com os mesmos valores de constantes, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} .

As equações de movimento do sistema são:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\ m\ddot{x}_{2} &= -kx_{2} - k(x_{2}-x_{1}) \quad (1)\\ \end{align}}

Uma forma direta de se montar as equações de movimento de um sistema acoplado é pensar em termos dos deslocamentos em relação às posições de equilíbrio (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{i}} , com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i=1,2} , no sistema considerado aqui). Por exemplo, na primeira das equações acima, a partícula 1 está sujeita à força elástica da mola conectada à parede (termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -kx_{1}} ) e à força da mola conectada à partícula 2 (termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -k(x_{1}-x_{2}} ). Esse último termo é definido conforme o seguinte: caso a mola que está conectada às partículas 1 e 2 esteja comprimida, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{1}} deve ser maior que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{2}} (definindo os Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{i}} como deslocamentos em relação à posição de equilíbrio positivos para a direita e negativos para a esquerda) e a partícula 1 estará sofrendo uma força que é contrária à compressão, ou seja, com sinal negativo. De modo semelhante para a partícula 2, mas nesse caso, devido à posição ocupada pela partícula 2 na cadeia, com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{1}} maior que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{2}} , o sentido da força contrária à compressão tem sinal positivo.

Uma dificuldade imposta pelo sistema (1) é o fato das equações serem acopladas: note-se que a aceleração da partícula 1 depende da posição da partícula 2, e vice-versa. Vamos supor que esse sistema de equações tenha soluções nas formas (com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{1}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{2}} constantes):

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\ x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t} \quad (2) \end{align} }

Essa suposição é fisicamente justificável: sabemos que as soluções são oscilatórias, e exponenciais imaginárias podem ser escritas em termos de senos e cossenos pela fórmula de Euler. Se substituirmos a equação (2) na equação (1) e rearranjarmos os termos, obtemos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} -mw^{2}A_{1}e^{-i\omega t} + 2kA_{1}e^{-i\omega t} -kA_{2}e^{-i\omega t} &= 0 \\ -mw^{2}A_{2}e^{-i\omega t} + 2kA_{2}e^{-i\omega t} -kA_{1}e^{-i\omega t} &= 0 \\ \end{align}}

Ou, eliminando as exponenciais e reagrupando termos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} (2k-mw^{2})&A_{1} &-kA_{2} &= 0 \\ -k&A_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &= 0 \quad (3)\\ \end{align}}

O sistema de equações (3) apenas terá soluções não triviais se o determinante dos coeficientes dos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{i}} for igual a zero, i.e.:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{vmatrix} (2k-mw^{2}) & -k \\ -k & (2k-mw^{2}) \end{vmatrix} = 0 }

As soluções da equação acima podem ser facilmente obtidas e resultam de uma equação quadrática simples, apresentaremos apenas o resultado:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{3k}{m}} \quad (4) \end{align} }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_{1}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_{2}} são as frequências características ou autofrequências do sistema. As soluções mais gerais do sistema de equações diferenciais lineares (1) vão ser então combinações lineares das soluções (2) com as frequências dadas por (4):

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} \\ x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t} \quad (5) \end{align} }

Note-se que cada uma das soluções é uma superposição (em geral) complicada que envolve as duas autofrequências. Isso é uma consequência direta do acoplamento presente no sistema (1). Vamos usar a seguinte substituição de variáveis: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta_{1} = x_{1} + x_{2}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta_{2} = x_{1} - x_{2}} , ou

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} x_{1} = \frac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2} \\ x_{2} = \frac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2} \end{align} }

Substituindo essas expressões no sistema de equações (1):

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} m(\ddot{\eta}_{1} + \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} + 3k\eta_{2} = 0 \\ m(\ddot{\eta}_{1} - \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} - 3k\eta_{2} = 0 \end{align} }

Se somarmos as duas equações acima e subtrairmos a segunda da primeira, obtemos, respectivamente:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} m\ddot{\eta}_{1} + k\eta_{1} = 0 \\ m\ddot{\eta}_{2} + 3k\eta_{2} = 0 \end{align} }

Reconhecemos imediatamente as equações acima como equações de osciladores harmônicos simples, desacopladas e, portanto, com soluções independentes. As soluções são dadas por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \eta_{1}(t) &= c_{1}e^{i\omega_{1}t} + c_{2}e^{-i\omega_{1}t} \\ \eta_{2}(t) &= c_{3}e^{i\omega_{2}t} + c_{4}e^{-i\omega_{2}t} \quad (6) \end{align} }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta_{1}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta_{2}} são chamadas de coordenadas normais. Por definição, são coordenadas que desacoplam as equações diferenciais do sistema e possuem soluções com frequências únicas, bem definidas. Sempre podem ser escritas como algum tipo de combinação linear das coordenadas originais. De modo semelhante, as coordenadas usuais do sistema sempre podem ser escritas como combinações lineares das coordenadas normais. No caso geral, para mais partículas, são trabalhosas de se encontrar. Note-se que, no caso de duas partículas, é simples encontrá-las meramente por inspeção. Se impusermos as condições iniciais Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{1}(0) = x_{2}(0)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{x}_{1}(0) = \dot{x}_{2}(0)} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta_{2}(0) = x_{1}(0) - x_{2}(0) = 0} e as constantes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_{3}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_{4}} vão ser iguais a zero, o que implica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta_{2}(t) = 0} , para todo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} . Esse primeiro modo normal corresponderá a uma oscilação simétrica, em que as duas partículas oscilarão em fase, com frequência Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_{1}} . De modo semelhante, se impusermos as condições iniciais Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{1}(0) = -x_{2}(0)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{x}_{1}(0) = -\dot{x}_{2}(0)} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta_{1}(t) = 0} , para todo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} , e as partículas oscilarão fora de fase, com frequência Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_{2}} . Pelas expressões dadas em (4), note-se que a frequência associada ao modo simétrico é menor do que a frequência do modo antissimétrico: esse é um resultado geral de oscilações acopladas. Quanto maior o grau de simetria da oscilação, menor o valor da frequência.

N=3

Seguindo a mesma lógica apresentada para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=2} partículas, podemos montar as equações de movimento do sistema com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=3} partículas. A única diferença é que a partícula central apenas está conectada a partículas vizinhas, não estando conectada a paredes externas:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\ m\ddot{x}_{2} &= -k(x_{2}-x_{1}) - k(x_{2}-x_{3}) \\ m\ddot{x}_{3} &= -kx_{3} - k(x_{3}-x_{2}) \quad (7)\\ \end{align}}

Supondo soluções do tipo

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\ x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t} \\ x_{3}(t) &= A_{3}e^{-i\omega t} \quad (8) \end{align} }

Substituindo (8) em (7) e seguindo os mesmos passos feitos para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=2} partículas:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} (2k-mw^{2})A_{1} &-kA_{2} &+0A_{3} &= 0 \\ -kA_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &-kA_{3} &= 0 \\ 0A_{1} &+0A_{2} &+(2k-mw^{2})A_{3} &= 0 \\ \end{align}}

O sistema de equações acima apenas terá soluções não triviais se o determinante dos coeficientes dos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{i}} for igual a zero, i.e.:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{vmatrix} (2k-mw^{2}) & -k &0\\ -k & (2k-mw^{2}) &-k \\ 0 & -k & (2k-mw^{2}) \end{vmatrix} = 0 }

A equação resultante é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2k-m\omega^{2})^2 - 2k^2(2k-m\omega^2) = 0} . Simples de ser resolvida analiticamente, com soluções:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}(2-\sqrt{2})} \quad\quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{2k}{m}} \quad\quad \omega_{3} = \sqrt{\frac{k}{m}(2+\sqrt{2})} \quad (9) \end{align} }

Note-se que aqui já não é mais tão simples identificar as coordenadas normais. Além disso, embora tenha sido simples até aqui obter as autofrequências, o processo é tedioso e a equação característica pode ser difícil de se resolver analiticamente.

Podemos escrever as soluções da seguinte forma, de modo semelhante a como fizemos para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=2} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{1}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\\ x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{2}^{6}e^{-i\omega_{3} t} \\ x_{3}(t) = a_{3}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{4}e^{-i\omega_{2}} t &+ a_{3}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{3}^{6}e^{-i\omega_{3} t} \quad (10) \end{align} }

Caso geral

O formalismo lagrangeano fornece uma técnica poderosa para encontrar as coordenadas normais, bem como as autofrequências [inserir referências]. No entanto, no presente trabalho, não precisamos fazer uso do formalismo lagrangeano. Será suficiente tratar o problema por análise de Fourier.

Podemos generalizar, para o caso de um N qualquer maior que 3, e obter as seguintes equações de movimento:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} &m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\ &\text{...} \\ &m\ddot{x}_{i} &= -k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \\ &\text{...} \\ &m\ddot{x}_{N} &= -kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \quad (11)\\ \end{align}}

O conjunto de equações (11) vai ser importante para a implementação numérica.

As soluções (5) e (10) apresentam um padrão. Se tomarmos apenas as partes reais das soluções, podemos redefinir as constantes duas a duas e escrever a solução geral como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}a_{m}^{l}\cos(\omega_{m}t)\text{,} \quad \text{com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\\ \end{align} }

As constantes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{m}^{l}} são chamadas de amplitudes dos modos normais e indicam o quanto de cada modo normal, de frequência bem definida, está presente na solução de cada Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{l}(t)} . É possível mostrar (o que não faremos aqui por razões de tempo e espaço, mas pode ser consultado nas referências ) que, usando condições de contorno Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{0}(t) = x_{N+1}(t) = 0} , as soluções podem ser reescritas como

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}c_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\\ \end{align} }

É comum na literatura redefinir a constante Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_{m}} da seguinte forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} x_{l}(t) &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{m=1}^{N}a_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\\ \end{align} }

A qualquer instante de tempo, os deslocamentos das partículas em relação às posições de equilíbrio podem ser escritos como uma soma de modos normais. Esses modos normais são ondas estacionárias. Ver, por exemplo, a Figura 2, com os cinco primeiros modos.

Figura 2. Cinco primeiros modos de oscilação para um oscilador acoplado com N=32 partículas

É possível, portanto, por uma transformada inversa, escrever

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} a_{m} &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{i=1}^{N}x_{i}\sin\left(\frac{im\pi}{N+1}\right) \text{, com}\quad m=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\\ \end{align} \quad (12) }

As energias de cada modo podem ser escritas como (com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{a}_{m}} representando a amplitude da velocidade do modo):

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} E_{m} &= \frac{1}{2}\left[\left(\dot{a}_{m}^{2} + \omega_{m}^2a_{m}^2\right)\right] \quad (13) \end{align} }

E as frequências podem ser calculadas por (uma demonstração pode ser encontrada nas referências, supõe-se que as frequências dos modos são menores ou iguais a duas vezes a frequência natural, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_{m} \le 2\omega_{0} = 2\sqrt{k/m}} ):

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \omega_{m} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{m\pi}{2(N+1)}\right) \quad (14) \end{align} }

Todas as expressões mostradas nesta seção são válidas mesmo para o caso de oscilações acopladas não lineares, como é o caso do FPUT. [adicionar mais referências]

Podemos comparar, por exemplo, os valores que encontramos para as autofrequências nos casos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=2} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=3} com os resultados da equação (14). Seja, por exemplo, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k=m=1} . Para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=2} , pelas expressões (4), Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_{1} = 1} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_{2} = \sqrt{3}} , que são os mesmos resultados fornecidos pela equação (14). De modo semelhante, para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=3} , pelas expressões (9), Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_{1} =\sqrt{2-\sqrt{2}}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_{2} = \sqrt{2}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_{3} =\sqrt{2+\sqrt{2}}} , que também são os mesmos resultados fornecidos pela equação (14).

Programa

• Código em C e scripts para FPUT com deslocamento vertical

• Código em Python para simulações de osciladores lineares e FPUT quadrático

Bibliografia principal

• Marion, J.B., Thornton, S.T. "Classical Dynamics of Particles and Systems". Thomson Learning, Belmont, 2004.
• Giordano, N.J., Nakanishi, H. "Computational Physics". 2nd Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, 2006.