Grupo4 - FFT

A Transformada rápida de Fourier (em inglês Fast Fourier Transform, ou FFT) é um algoritmo que torna o cálculo da Transformada Discreta de Fourier (DFT) viável para a maior parte das aplicações.

Transformada Discreta de Fourier

Em muitas aplicações se tem informação sobre um conjunto de dados, ao invés de uma função contínua. A Transformada Discreta de Fourier transforma esse conjunto de dados em um conjunto de tamanho igual com informação sobre as frequências da função que satisfaz o conjunto de dados.

Para um conjunto de dados igualmente espaçados, pode-se, ao considerar os dados como um período de uma função periódica, cujo período normalmente é considerado entre $[-\pi ,\pi ]$ para facilitar o cálculo (e que pode sempre ser transformada em uma função nesse interválo), mostrar que a transformada discreta de Fourier pode ser dada pela equação:

$F_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}f_{n}e^{-i2\pi nk/N}$

A sua inversa é, em paralelo ao caso da transformada contínua,

$f_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}F_{k}e^{i2\pi nk/N}$

A transformada também pode ser expressa em forma vetorial, como

${\vec {F}}=\mathbf {A} {\vec {f}}$ onde $\mathbf {A}$ é definido como

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}e^{-2\pi i0\cdot 0/N}&e^{-2\pi i0\cdot 1/N}&\cdots &e^{-2\pi i0\cdot k/N}\\e^{-2\pi i1\cdot 0/N}&e^{-2\pi i1\cdot 1/N}&\cdots &e^{-2\pi i1\cdot k/N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\e^{-2\pi in\cdot 0/N}&e^{-2\pi in\cdot 1/N}&\cdots &e^{-2\pi in\cdot k/N}\end{bmatrix}}$

O cálculo dessa expressão leva em torno de $N^{2}$ passos para o resultado. Uma amostra com 3,000 pontos precisa de 9,000,000 operações para a transformada ser obtida, tornando a DFT inviável para aplicações rápidas.

Transformada Rápida de Fourier

É possível calcular a transformada com $NlogN$ passos. Para isso se dispõe de um algoritmo chamado Transformada Rápida de Fourier. $F_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}f_{n}\cdot e^{-i{\frac {2\pi }{N}}\cdot k\cdot n}$Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle F_k =\color{red}\sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N}\cdot k\cdot 2n} \color{black}+ \color{blue}\sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n+1} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N}\cdot k\cdot (2n+1)} \\ } Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \color{black}F_k =\color{red}\sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n} \color{black}+ \color{blue}e^{-i\frac{2\pi}{N}k} \sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n+1} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n} \\ } $\color {black}F_{k}=\color {red}\sum _{n=0}^{N/2-1}f_{2n}\cdot e^{-i{\frac {2\pi }{N/2}}\cdot k\cdot n}\color {black}+\color {blue}~C(k)~\sum _{n=0}^{N/2-1}f_{2n+1}\cdot e^{-i{\frac {2\pi }{N/2}}\cdot k\cdot n}$