Modelo de Gray-Scott

Descrição do Modelo

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação autocatalítica. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis $u$ e $v$, a reação pode ser representada como

$u+2v\to 3v$

Isso significa que uma molécula da substância $u$ é transformada em uma molécula da substância $v$ por meio da ação de outras duas moléculas da substância $v$, ou seja, $v$ é um catalisador de sua própria produção (daí o termo autocatálise). Além dessa reação, ambas substâncias se difundem pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos reativos-difusivos) e, portanto, as concentrações $u$ e $v$ mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., $3v\to u+2v$) não ocorre. Há reposição de $u$ a uma taxa $F$ (taxa de alimentação, feed rate) e remoção de $v$ a uma taxa ligeiramente mais rápida do que a reposição de $u$.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações abaixo:

$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial t}& =-u{v}^2+F(1-u)+D_u{\mathrm{\nabla }}^{2}u\\ \frac{\partial v}{\partial t}& =u{v}^2-(F+k)v+D_v{\mathrm{\nabla }}^{2}v(1)\\ \end{array}$

Análise de estabilidade

Nota: A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

Soluções estacionárias sem difusão

O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros $F,k$ e dos coeficientes de difusão $D_u,D_v$ das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor $\partial u/\partial t=\partial v/\partial t=0$ nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão ($D_u=D_v=0$), obtém-se o seguinte sistema de equações:

$\begin{array}{rl}-& u{v}^2+F(1-u)=0\\ & u{v}^2-(F+k)v=0(2)\\ \end{array}$

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis $u$ e $v$:

$F(1-u)-(F+k)v=0\Rightarrow u=1-\gamma v$

onde definiu-se o parâmetro auxiliar $\gamma =\frac{F+k}{F}$.

Substituindo $u$ na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo $F+k=\gamma F$), ficamos com:

$(1-\gamma v)v^2-\gamma Fv=0\Rightarrow -\gamma v^3+v^2-\gamma Fv=0$

Evidentemente, $v=0$ é solução dessa equação, implicando em $u=1$, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando $v\ne 0$, podemos dividir a expressão acima por $v$, ficando com $-\gamma v^2+v-\gamma F=0$. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para $v$:

$v_{\pm }=\frac{1}{2\gamma }(1\pm \sqrt{1-4{\gamma }^{2}F})$

Disso, pela relação $u=1-\gamma v$, temos que os valores correspondentes para $u$ são:

$u_{\mp }=\frac{1}{2}(1\mp \sqrt{1-4{\gamma }^{2}F})$

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( $1-4{\gamma }^{2}F\ge 0$ ). Por consequência:

$4{\gamma }^{2}F\le 1\Rightarrow 4{\left(\frac{F+k}{F}\right)}^{2}F\le 1\Rightarrow F\ge 4(F+k{)}^2$, para que existam as soluções não-triviais.

Portanto, há três soluções estacionárias $(u_i^{*},v_i^{*})$ do sistema:

$\begin{array}{rlr}& u_0^{*}=1& v_0^{*}=0\\ & u_1^{*}=\frac{1}{2}(1+\sqrt{1-4{\gamma }^{2}F})& v_1^{*}=\frac{1}{2\gamma }(1-\sqrt{1-4{\gamma }^{2}F})\\ & u_2^{*}=\frac{1}{2}(1-\sqrt{1-4{\gamma }^{2}F})& v_2^{*}=\frac{1}{2\gamma }(1+\sqrt{1-4{\gamma }^{2}F})\\ \end{array}$

---

Logo, é trivial que o sistema acima é satisfeito quando $(u^{*},v^{*})=(1,0)$. Esse estado de equilíbrio é estável porque a matriz jacobiana $J{|}_{(u^{*},v^{*})=(1,0)}=\left(\begin{array}{cc}-F& 0\\ 0& -F-k\end{array}\right)$ possui traço negativo e determinante positivo.

---

Se agora incluímos os termos de difusão $D_u$ e $D_v$, deve-se levar em consideração a matriz $(J-D{\omega }^2){|}_{f=f_{eq}}$. Aqui, $J$ é a matriz jacobiana dos termos de reação, $D$ é a matriz diagonal dos termos de difusão e $\omega$ é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em $(u^{*},v^{*})=(1,0)$:

$(\left(\begin{array}{cc}-F-v^2& -2uv\\ v^2& -F-k+2uv\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}{D}_u& 0\\ 0& D_v\end{array}\right){\omega }^2){|}_{(u^{*},v^{*})=(1,0)}=\left(\begin{array}{cc}-F-D_u{\omega }^2& 0\\ 0& -F-k-D_v{\omega }^2\end{array}\right)$

Para que o estado de equilíbrio $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ seja estável é necessário que o determinante da matriz acima seja positivo e o traço seja negativo. Obtém-se então

$(F+D_u{\omega }^2)(F+k+D_v{\omega }^2)>0$

$-2F-(D_u+D_v){\omega }^2-k<0$

Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores de $F,k,D_u$, e $D_v$. Portanto, o estado de equilíbrio $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ permanece estável no modelo de Gray-Scott mesmo após a inclusão dos coeficientes de difusão, sejam quais forem os valores desses coeficientes (lembrando que estamos nos restringindo a valores positivos dos parâmetros e coeficientes).

Esse é um resultado à primeira vista surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).

Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing, uma vez que o surgimento de padrões não triviais nesse modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ está presente .

Estados de Equilíbrio Não Triviais

Há outros dois estados de equilíbrio que são soluções não triviais do sistema de equações (1). Desde que seja obedecida a condição $F\ge 4(F+k{)}^2$, esses estados são $(u_{+},v_{-})$ e $(u_{-},v_{+})$, com

$u_{\pm }=\frac{1}{2}(1\pm \sqrt{1-4{\gamma }^{2}F})$

$v_{\mp }=\frac{1}{2{\gamma }^2}(1\mp \sqrt{1-4{\gamma }^{2}F})$

$\gamma =\frac{F+k}{F}$