Modelo de Gray-Scott: mudanças entre as edições

Edição das 15h41min de 19 de fevereiro de 2022

Análise de estabilidade

O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros $F, k$ e dos coeficientes de difusão $D_{u}, D_{v}$ . É fácil mostrar que, ignorando os termos de difusão, o sistema possui estado de equilíbrio em $(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)$ .

Afirmação: O modelo de Gray-Scott possui estado de equilíbrio homogêneo em $(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)$ .

Demonstração: Resolvendo o sistema de equações do modelo com $\frac{\partial u}{\partial t} = 0$ e $\frac{\partial v}{\partial t} = 0$ e fazendo $D_{u} = D_{v} = 0$ , temos

$0 = - u v^{2} + F (1 - u)$

$0 = u v^{2} - (F + k) v$

É então trivial que o sistema acima é satisfeito quando $(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)$ .

Esse estado de equilíbrio é estável no modelo de Gray-Scott para quaisquer valores positivos de $F, k, D_{u}$ , e $D_{v}$ . É possível mostrar isso a partir da determinação dos autovalores da matriz

$(J - D ω^{2}) |_{f = f_{e q}}$

Aqui, $J$ é a matriz jacobiana dos termos de reação, $D$ é a matriz diagonal dos termos de difusão e $ω$ é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência^[1]. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em $(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)$

$((\begin{array}{cc} - F - v^{2} & - 2 u v \\ v^{2} & - F - k + 2 u v \end{array}) - (\begin{array}{cc} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{array}) ω^{2}) |_{(u, v) = (1, 0)} = (\begin{array}{cc} - F - D_{u} ω^{2} & 0 \\ 0 & - F - k - D_{v} ω^{2} \end{array})$

Para que o estado de equilíbrio $(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)$ seja estável é necessário que o determinante da matriz acima seja positivo e o seu traço seja negativo. Obtém-se então

$(F + D_{u} ω^{2}) (F + k + D_{v} ω^{2}) > 0$

$- 2 F - (D_{u} + D_{v} ω^{2}) - k < 0$

Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores positivos de $F, k, D_{u}$ , e $D_{v}$ . Portanto, o estado de equilíbrio $(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)$ é estável no modelo de Gray-Scott nessas condições.

Como o modelo claramente exibe padrões complexos para diversos valores positivos de $F, k, D_{u}$ , e $D_{v}$ , devem então existir outros estados de equilíbrio. De fato, há outros dois.

Teste

↑ H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

[Sayama260-1] H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

[1]

@@ Linha 14: / Linha 14: @@
 É então trivial que o sistema acima é satisfeito quando <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math>.
+Esse estado de equilíbrio é estável no modelo de Gray-Scott para quaisquer valores positivos de <math>F, k, D_{u}</math>, e <math>D_{v}</math>. É possível mostrar isso a partir da determinação dos autovalores da matriz
+<math>\left(J - D \omega^2\right)\Bigg|_{f = f_{eq}}</math>
+Aqui, <math>J</math> é a matriz jacobiana dos termos de reação, <math>D</math> é a matriz diagonal dos termos de difusão e <math>\omega</math> é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência<ref name=Sayama260>H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.</ref>. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math>
+<math>\left( \left(\begin{array}{cc}-F-v^2&-2uv\\v^2&-F-k+2uv\end{array} \right) - \left(\begin{array}{cc}D_u&0\\0&D_v\end{array} \right) \omega^2  \right) \Bigg|_{(u,v) = (1,0)} = \left(\begin{array}{cc}-F - D_u \omega^2&0\\0&-F -k - D_v \omega^2\end{array} \right)  </math>
+Para que o estado de equilíbrio <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> seja estável é necessário que o determinante da matriz acima seja positivo e o seu traço seja negativo. Obtém-se então
+<math>(F+D_{u}\omega^2)(F+k+D_{v}\omega^2) > 0</math>
+<math>-2F - (D_{u}+D_{v}\omega^2) - k < 0</math>
+Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores positivos de <math>F, k, D_{u}</math>, e <math>D_{v}</math>. Portanto, o estado de equilíbrio <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> é estável no modelo de Gray-Scott nessas condições.
+Como o modelo claramente exibe padrões complexos para diversos valores positivos de <math>F, k, D_{u}</math>, e <math>D_{v}</math>, devem então existir outros estados de equilíbrio. De fato, há outros dois.
 ==Teste==

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