Motility-Induced Phase Separation(MIPS)

Grupo: Bernardo Boatini e Murilo Kessler Azambuja

Introdução

A matéria ativa é um tipo de sistema fora do equilíbrio termodinâmico, onde cada "partícula" ou "agente" do sistema tem a capacidade dissipar energia na forma de forças mecânicas exercidas sobre o ambiente no qual está imerso. Esses sistemas muitas vezes podem exibir vários fenômenos novos, como movimentos coletivos quando exige-se um alinhamento das partículas (Como bio-polímeros que se auto organizam, tipo os microtúbulos que são parte do citoesqueleto celular, ou cardumes de peixe, por exemplo), ou os chamados MIPS (Motility-Induced Phase Separation) que são sistemas que apresentam uma mudança de fase física devido à interações que proíbem a ocupação simultânea de um volume do espaço por duas partículas simultâneas. Nestes sistemas, os agentes possuem a capacidede de auto-propulsão, de forma que a condição de balanço detalhado é quebrada no nível microscópico, uma vez que as partículas possuem uma direção preferencial de movimento.Estes tipos de sistema muitas vezes podem ser tratados a partir de uma abordagem hidrodinâmica, na qual são chamados de fluidos ativos, e divergem do comportamento usual de fluidos compostos de matéria usual inativa, os quais são descritos pela equação de Navier-Stokes.

Apesar desses sistemas fundamentalmente quebrarem a condição do balanço detalhado, ainda não é claro se o comportamento estatístico universal de sistemas de fluidos ativos necessariamente divergem daqueles de de sistemas em equilíbrio. A investigação de comportamentos universais nestes tipos de sistema, além de ser um interece central na física, também pode nos permitir utilizar conhecimentos já bem conhecidos (como a transição de fase em sistemas de matéria em equilíbrio termodinâmico) para descrever sistemas novos. Neste trabalho foi reproduzido o artigo onde foi investigada o comportamento crítico de um sistema com MIPS e se viu que este tipo de sistema pertence à classe de universalidade de sistemas em equilíbrio como o modelo de Ising para spin. Para tal, foi utilizada três abordagens diferentes: um modelo hidrodinâmico, uma descrição baseada em teoria de campos e a simulação de um modelo de rede hexagonal.

Modelo

O sistema geral que estamos interessados em descrever é constituído de um conjunto de partículas em um meio com friccção, i.e, em um sistema sem conservação de momentum e com interações que não permitem a ocupação simultânea de duas partículas em um mesmo sítio (FIG. 1).

FIGURA 1: Imagem retirada de . Em (a) vemos a difusão devido à rotação da direção de movimento preferencial da partícula, em (b) temos o "movimento balístico" (seta verde) e a difusão devido à translação da partícula (setas azuis) e, em (c), vemos a interação entre partículas em sítios vizinhos, impedindo a ocupação simultânea do mesmo sítio por duas partículas.

Uma forma de modelar este sistema é considerá-lo um fluido ativo polar e compressível sem interações de alinhamento entre partículas, de forma que não se espera observar movimentos coletivos. Tal sistema é descrito de forma contínua pela chamada equação de Toner-Tu.

De um ponto de vista microscópico, podemos usar uma formulação discreta baseada na teoria de campos. Neste caso, consideramos uma rede hexagonal bidimensional, com o numero de ocupação de cada sítio da rede restringido por uma constante $M$ (futuramente diremos que $M=1$, de forma que apenas uma partícula pode ocupar cada sítio).

Modelo no Continuo

As equações de Tuner-Tu são dadas por

${\partial }_t\rho +\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{𝐠}=0,(1a)$

${\partial }_t\mathbf{𝐠}=-\zeta \mathrm{\nabla }\rho -\kappa \mathbf{𝐠}+\mu {\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{𝐠}+\mathbf{𝐟},(1b)$

onde $\rho$ é o campo de densidade de massa e $\mathbf{𝐠}$ é o campo de densidade de momentum. A equação (1a) diz respeito à conservação de massa do sistema como um todo. A equação (1b) se assemelha muito à equação de Navier-Stokes, assim podemos ver que o primeiro termo da equação caracteriza a compressibilidade do fluido, o segundo termo representa uma difusão do campo de momentum (o sinal negativo indica que o campo de momentum diminui com o passar do tempo), o terceiro termo representa a viscosidade do fluido e $\mathbf{𝐟}$ é um ruído Gaussiano com estatísticas espaço-temporais dadas por

$⟨\mathbf{𝐟}(t,\mathbf{𝐫})⟩=0,⟨\mathbf{𝐟}(t,\mathbf{𝐫})\mathbf{𝐟}(t^{\prime },{\mathbf{𝐫}}^{\prime })⟩=2D\delta (t-t^{\prime })\delta (\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}^{\prime }),$

onde $D$ é a intensidade do ruído.

No mesmo artigo o autor argumenta que, devido à ausência de interações de alinhamento entre partículas, a emergência de movimento coletivo é impossível. Por este motivo, temos que o campo de densidade de momentum deve ir à zero no limite hidrodinâmico, de forma que $\mathbf{𝐠}$ não é uma variável livre e pode ser escrita em função de $\rho$. Desta forma, obtêm que

${\partial }_t\varphi ={\mathrm{\nabla }}^2\frac{\delta H}{\delta \varphi }+\mathrm{\nabla }\mathbf{𝐟},(2)$

onde $\varphi (\mathbf{𝐫})=\rho (\mathbf{𝐫})-{\rho }_0$ para alguma constante ${\rho }_0$ e $H=\frac{a_1}{2}{\varphi }^2+\frac{a_2}{3}{\varphi }^3+\frac{a_3}{4}{\varphi }^4+\frac{b}{2}(\mathrm{\nabla }\varphi {)}^2$ é o Hamiltoniano de Landau-Ginzburg. A partir da equação (2), vemos que é possível descrever o sistema a partir da manipulação de dois parâmetros principais: o campo de densidade de partículas $\rho$ (ou $\varphi$, a menos de uma constante) e a intensidade $D$ do ruído $\mathbf{𝐟}$.

Modelo no Discreto

Como já foi dito antes, no modelo discreto é utilizado uma rede bidimensional hexagonal com número de ocupação máximo $M$ para cada sítio da rede. Os agentes são divididos em seis tipos distintos de partículas ativas, cada uma se move em uma direção ${\theta }_i$ (as diagonais do hexágono) e somente vai saltar para o sítio adjacente ao longo desta direção, com uma taxa que depende da ocupação do sítio em questão. Além disso, é possível que uma partícula se transforme em outra, com uma taxa $\sigma$, correspondendo assim a um ruído rotacional de cada partícula. Utilizando a notação utilizada em , temos que a rede hexagonal é caracterizado pelo conjunto de vetores $\mathbf{𝐑}$ e a orientação ou tipo da partícula ativa pelo índice $i$. Desta forma o número de partículas do tipo $i$ ocupando o sítio $\mathbf{𝐑}$ da rede é denotado por $A_{\mathbf{𝐑}}^{{\theta }_i}$. Com o formalismo desenvolvido em , temos que a teoria de campos nos fornece uma ação dada por

$S=\int dt\sum _{\mathbf{𝐑}}\left\{\sum _i\right[{\hat{A}}_{\mathbf{𝐑}}^{{\theta }_i}{\partial }_t{A}_{\mathbf{𝐑}}^{{\theta }_i}(3a)$

$-\gamma (M-N_{\mathbf{𝐑}+{\mathbf{𝐞}}_{{\theta }_i}})A_{\mathbf{𝐑}}^{{\theta }_i}(e^{{\hat{A}}_{\mathbf{𝐑}+{\mathbf{𝐞}}_{{\theta }_i}}^{{\theta }_i}-{\hat{A}}_{\mathbf{𝐑}}^{{\theta }_i}}-1)](3b)$

$-\sum _{⟨i,j⟩}\sigma A_{\mathbf{𝐑}}^{{\theta }_i}(e^{{\hat{A}}_{\mathbf{𝐑}}^{{\theta }_j}-{\hat{A}}_{\mathbf{𝐑}}^{{\theta }_i}}-1)\},(3c)$

onde $N_{\mathbf{𝐑}}=\sum _j{A}_{\mathbf{𝐑}}^{{\theta }_j}$ é o número de partículas total ocupando o sítio $\mathbf{𝐑}$. A equação (3b), diz respeito ao termo de transição entre uma posição $\mathbf{𝐑}$ e uma posição $\mathbf{𝐑}+{\mathbf{𝐞}}_{{\theta }_i}$ na rede hexagonal. Esta transição ocorre à uma taxa $\gamma (M-N_{\mathbf{𝐑}+{\mathbf{𝐞}}_{{\theta }_i}})$, de forma que a taxa de transição para o sítio decresce com o aumento do número de partículas ocupando o mesmo. Se o número de partículas ocupando o sítio é $M$, então a taxa de transição é nula, indicando que não será possível que ocorra uma transição para este sítio. Este termo modela as interações de exclusão de volume discutidas anteriormente. Em nosso caso específico tomaremos $M=1$. Além disso, a equação (3c) corresponde à transição de tipo da partícula, i.e., à transição do movimento preferencial da partícula de uma orientação ${\theta }_i$ para uma ${\theta }_j$. Esta transição ocorre com uma taxa $\sigma$ e a notação $⟨i,j⟩$ indica que a partícula somente trocará para uma orientação ${\theta }_j$ que seja adjascente à orientação ${\theta }_i$ inicial.

Implementação

Nessa secção serão colocados alguns detalhes da implementação da rede, das medidas e da dinâmica de Monte Carlo.

Algoritmo

A dinâmica de Monte Carlo foi implementada de forma que a cada MCS, N partículas do sistema são selecionadas aleatoriamente:

- Primeiramente a partícula decide se vai mudar seu sentido($\theta$) sorteando um valor $d$ através de uma distribuição gaussiana centrada em 0, com variância igula a intencidade do ruído $\sigma$;

- A nova direção é dada por $$;

- Depois disso a partícula tem probabilidade $24/30$ de andar para o sitio vizinho naquela direção(se ele estiver vazio);

- Caso a partícula não decida andar naquela direção, ela se desloca na direção de outro sitio vizinho(se ele estiver vazio) sorteado aleatoriamente(emulando o comportamento difusivo).

Redes Hexagonais

Em modelos do tipo LGCA(Lattice Gas Celular Automata) o tipo de rede, bem como as topologias usadas, podem ser determinantes para as medidas e caracterizações do estado macroscópico. A simetria hexagonal se mostra uma boa alternativa para aumentar os graus de liberdade de uma partícula numa rede, quando comparada com a simetria quadrada. Na geometria hexagonal, assim como na quadrada, todos os sítios vizinhos possuem uma mesma distancia entre si só que com 6 graus de liberdade ao invés de quatro.

FIGURA 2: Imagem adaptada de . As setas duplas em verde sinalizam os sentidos que seguem trajetórias fechadas passando por só uma borda na topologia "armchair"(a) e "zigzag" (b)

Existem duas topologias possíveis em uma rede hexagonal: "zigzag" e "armchair", e a diferença das duas está principalmente na implementação das condições de contorno periódicas. No caso da topologia em "zigzag"(FIG.2b), o espaço é representado em um paralelogramo, e existem 4 sentidos em que cruzando uma parede a partícula fecha sua trajetória sem ter que cruzar nova mente outra parede do sistema. Na topologia "armchair"(FIG.2a) por outro lado só existem 2 sentidos em que isso acontece.

Sub-Box Sampling Method

O método das subcaixas consiste em dividir o sistema em uma certa quantidade de subsistemas de interesse, permitindo observar a flutuação de densidades apenas nessas regiões.

Nesse trabalho o sistema foi dividido em 4 caixas de tamanho $L\times L$: 2 centradas no centro de massa horizontal do sistema e duas centradas na região horizontal "mais rarefeita", que consequentemente esta a uma distancia de $3L$ do centro de massa.

Quando os parâmetros permitem que haja separação de fase, duas subcaixas ficam posicionadas exatamente sobre o centro da fase liquida e a mesma coisa para a fase gasosa, permitindo uma medição mais precisa das flutuações de densidade sem considerar as regiões de fronteira.

Porém, essas flutuações se tornam especialmente relevantes no ponto crítico, onde o uso de subcaixas se torna especialmente importante na extração medidas para classificar a transição de fase do modelo em analise.

Medida 1

A primeira medida utilizada para comparar o MIPS com o Ising foi a incompressibilidade isotérmica dos subsistemas ${\chi }_L$ definida da seguinte forma

${\chi }_L=\frac{⟨N^2{⟩}_L-⟨N{⟩}_L^2}{⟨N{⟩}_L}$

onde $⟨N{⟩}_L$ denota a média do número de partículas contidas em um subsistema de tamanho L.

A Incompressibilidade isotérmica possui um fator de escala com o tamanho do sistema(${\chi }_L\alpha L^{\gamma /\nu }$), que é conhecido para o caso do Ising 2D ($\gamma /\nu =7/4$).

Medida 2

A segunda medida proposta é a derivada do cumulante de quarta ordem ($U_4$) com relação a distancia adimensional do ponto crítico ($\tau =\frac{\sigma -{\sigma }_c}{\sigma }$) calculada no ponto crítico($\tau =0$). O cumulante é definido da seguinte forma

$U_4=\frac{⟨\mathrm{\Delta }{\rho }^2{⟩}_L^2}{⟨\mathrm{\Delta }{\rho }^4{⟩}_L}$

$\mathrm{\Delta }\rho =\rho -⟨\rho {⟩}_L$

Em $⟨.{⟩}_L$ é descrito como: "[...] an average over the four sub-boxes of finite size L [...]"

O cumulante de quarta ordem possui a propriedade de ser invariante frente a escala do sistema no ponto crítico(FIG.4), e por isso a sua derivada no ponto critico se torna um fator de escala importante para comparar o estado macroscópico do MIPS e do Ising.

FIGURA 3: Imagem retirada de . Mostra o comportamento esperado do cumulante de quarta ordem para o modelo de MIPS nas proximidades da criticidade em sistemas de diferentes tamanhos.

Em $\tau =0$ a derivada do cumulante de quarta ordem, com respeito a $\tau$, possui um fator de escala $\alpha L^{1/\nu }$, que tambem pode ser encontrado no modelo de Ising($\nu =1$).

Resultados

Com base nos Diagrama de Fase do sistema(FIG.4) foi possivel extrair os parâmetros característicos dos principais comportamentos do sistema, e testar a simulação nesses diferentes casos. O tempo de relaxação do sistema $t_{relax}=5\times 10^{5}MCS$ foi o mesmo medido e utilizado no artigo.

FIGURA 4: Imagem retirada de . Mostra o diagrama de fase do sistema.

FIGURA 5:

FIGURA 6:

FIGURA 7:

FIGURA 8: