Algoritmo de Wang-Landau

Nomes: Rafael Abel da Silveira e William Machado Pantaleão

Introdução

Simulações computacionais, como o método de Monte Carlo, são vastamente utilizadas para estudar transições de fase e fenômenos críticos. O método padrão para simulações de Monte Carlo é o algoritmo de Metropolis, entretanto, algoritmos novos e mais eficientes são usados em simulações modernas, como o algoritmo de Wang-Landau. Ao contrário dos métodos convencionais de Monte Carlo, que geram diretamente uma distribuição canônica $g(E)e^{-E/k_{B}T}$ a uma dada temperatura $T$, a abordagem de Wang-Landau estima a densidade de estados $g(E)$ diretamente por meio de um passeio aleatório, que produz um histograma plano no espaço de energia $H(E)$.

Mesmo para modelos que podem ser resolvidos analiticamente, a densidade de estados $g(E)$ não pode ser determinada para sistemas maiores . Com o algoritmo de Wang-Landau, é possível obter a $g(E)$ a partir de um passeio aleatório. A estimativa para $g(E)$ é melhorada a cada etapa do passeio aleatório, usando um fator de modificação $f$ cuidadosamente controlado, para produzir um resultado que converge para o valor real rapidamente.

Amostragem de Wang-Landau

No início da simulação, $g(E)$ é desconhecido e fazemos uma estimativa inicial para ele. A abordagem mais simples é definir $g(E)=1$ para todas as energias possíveis $E$. A configuração de spin inicial para toda a rede pode ser escolhida arbitrariamente. Então, uma caminhada aleatória no espaço de energia é iniciada pela formação de estados de teste, cada um dos quais é produzido escolhendo aleatoriamente um spin e alterando seu estado.

Cada vez que uma energia $E$ é visitada, o histograma $H(E)$ é incrementado em 1. A estimativa de $g(E)$ é então modificada por um fator multiplicativo $f$, e o valor atualizado realiza um passeio aleatório adicional no espaço de $E$.

Se $E_{1}$ e $E_{2}$ são as energias antes e depois de um valor de spin ser alterado, a probabilidade de transição da energia $E_{1}$ para $E_{2}$ é dada por

$p(E_{1}\rightarrow E_{2})=min\left({\frac {g(E_{1})}{g(E_{2})}},1\right).$

A razão das probabilidades de transição de $E_{1}$ para $E_{2}$ e de $E_{2}$ a $E_{1}$ podem ser calculados como

${\frac {p(E_{1}\rightarrow E_{2})}{p(E_{2}\rightarrow E_{1})}}={\frac {g(E_{1})}{g(E_{2})}}.$

Logo, o algoritmo de passeio aleatório satisfaz o equilíbrio detalhado:

${\frac {1}{g(E_{1})}}p(E_{1}\rightarrow E_{2})={\frac {1}{g(E_{2})}}p(E_{2}\rightarrow E_{1}),$

onde $1/g(E1)$ é a probabilidade na energia $E_{1}$ e $p(E_{1}\rightarrow E_{2})$ é a probabilidade de transição de $E_{1}$ para $E_{2}$.

Se o estado de energia $E_{2}$ é aceito, a densidade de estados $g(E_{2})$ é multiplicada pelo fator de modificação $f>1$ de maneira que $g(E_{2})\to f\times g(E_{2})$ e a entrada no histograma para $H(E_{2})$ é atualizada de forma $H(E_{2})\to H(E_{2})+1$. Se o estado de energia não é aceito, a densidade de estados $g(E_{1})$ é multiplicada pelo fator de modificação, $g(E_{1})\to f\times g(E_{1})$ e $H(E_{1})$ é atualizada de forma $H(E_{1})\to H(E_{1})+1$.

Flatness

O procedimento de passeio aleatório é seguido até o histograma $H(E)$ estar reto (do inglês, "flat"), e para determinar isso, a cada $n$ iterações verificamos se todos valores possíveis de $E$ estão a uma distância, no máximo, $x\%$ de $\langle H(E)\rangle$. A variável $x$ é denominada "flatness". Quando o histograma está reto, todos estados de energia foram visitados aproximadamente igualmente.

O número de passos, </math> n </math> que devemos realizar antes de checar deve ser maior que $L*L$ onde $L$ indica o tamanho da rede, para que o algoritmo tenha a oportunidade de visitar cada estado pelo menos uma vez.

Para sistemas simples, podemos utilizar um valor tão alto quanto 95%, entretanto, para este trabalho foi escolhido o valor de 80%.

Fator de modificação

Em geral, como $g(E)$ se torna muito grande, trabalhamos com o logaritmo natural dessas quantidades, $\ln g(E)$. Portanto, cada atualização da densidade de estados é dada por $\ln g(E)\to \ln g(E)+\ln f$. O valor comumente utilizado para o fator de modificação é $f=f_{0}=e$.

Quando o histograma é considerado reto, pelas condições descritas acima, reduzimos o valor de $f$ de forma que o novo valor será $f_{1}=f_{0}/2$, resetamos o histograma $H(E)$ e recomeçamos o passeio aleatório.

A simulação é parada para um valor de $f$ predeterminado. No caso, usamos $f_{final}=\exp(10^{-8})=1.00000001$.

Aplicação ao Modelo de Ising 2D

Modelo de Ising

O modelo de Ising é uma rede 2D, de tamanho $L\times L$ que consiste de uma variável discreta em cada sítio que pode ser usada para representar o momento de dipolo magnético de um átomo Cada sítio pode ter o valor de spin $+1$ ou $-1$.

Para este trabalho, o hamiltoniano de interação pode ser calculado por ${\mathcal {H}}=-\sum _{\langle i,j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}$ onde $\langle i,j$ indica pares distintos de vizinhos-mais-próximos.

Com a densidade de estados, podemos calcular as seguintes quantidades termodinâmicas:

Energia interna:

$U(T)={\frac {\sum _{E}Eg(E)e^{-E/k_{B}T}}{\sum _{E}g(E)e^{-E/k_{B}T}}}=\langle E\rangle$

Calor específico:

$C(T)={\frac {\partial U(T)}{\partial T}}={\frac {\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2}}{k_{B}T^{2}}}$

Energia livre de Helmoltz:

$F(T)=-k_{B}T\ln(Z)=-k_{B}T\ln \left(\sum _{E}g(E)e^{-E/k_{B}T}\right)$

Entropia:

$S(T)={\frac {U(T)-F(T)}{T}}$

Finalmente, podemos também calcular a distribuição canônica usando:

$P(E,T)=g(E)e^{-E/k_{B}T}$

Algoritmo

Resumindo, o passo a passo do algoritmo pode ser escrito como:

1. Defino $g(E)=1$ para todos $E$ e o fator de modificação inicial $f_{0}=e$;

2. Aleatoriamente, escolho um spin e troco o seu valor. Aceito a transição com probabilidade $p(E_{1}\to E_{2})=min(g(E_{1})/g(E_{2}),1)$;

3. Modifico a densidade de estados $g(E)\to g(E)\times f$ e atualizo o histograma $H(E)$;

4. Continuo até o histograma estar reto, então diminuo o valor de $\ln f$ pela metade e reseto o histograma $H(E)$;

5. Repito os passos 2-4 até $f<1.00000001$.

6. Obtendo a $g(E)$, posso calcular as quantidades termodinâmicas descritas anteriormente.

Resultados

Densidade de estados

A estimativa da densidade de estados para $L=16$ usando a amostragem de Wang-Landau é mostrada na Fig. 1, junto com os resultados exatos de Beale .

Os fatores de modificação inicial e final para os passeios aleatórios foram Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle ln(f_0) = 1 e ln(f_{final}) = 10^{−8} } .

O histograma $H(E)$ foi considerado plano quando todas as entradas não eram inferiores a 80% da média $\langle H(E)\rangle$.

A densidade absoluta de estados na Fig. 1 é obtida pela condição de que o número de estados fundamentais seja 2 para o modelo de Ising 2D.

Com a escala logarítmica usada na Fig. 1, os dados simulados e a solução exata se sobrepõem perfeitamente. Na inserção da Fig. 1, vemos que o erro relativo é, de fato, muito pequeno.

Figura 1: Logaritmo da densidade de estados $\ln g(E)$ do modelo de Ising 2D com $L=16$.

Distribuição canônica

Podemos calcular a distribuição canônica usando a equação Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle P(E, T) = g(E)e^{−E/k_BT}} a qualquer temperatura, sem a necessidade de realizar várias simulações.

Na Fig. 2, mostramos a distribuição canônica resultante na temperatura crítica $T_{c}$, que exibe um único pico.

Figura 2: Distribuição canônica $P(E,T_{c})=g(E)e^{-E/k_{B}T_{c}}$ na temperatura de transição do modelo de Ising 2D com $L=16$ e $k_{B}T_{c}=2.3$.

As distribuições em temperaturas acima e abaixo de $T_{c}$ também apresentam pico único, conforme ilustrado no detalhe da Fig. 3.

Figura 3: Distribuição canônica $P(E,T)=g(E)e^{-E/k_{B}T}$ nas temperaturas $T=2.2$ e $T=2.4$ do modelo de Ising 2D com $L=16$.

Quantidades termodinâmicas

Os resultados simulados, calculados diretamente com as equações descritas no capítulo anterior, e as soluções exatas se sobrepõem quase perfeitamente em uma ampla região de temperatura de $k_{B}T=0-8$.

Testes mais rigorosos de precisão são fornecidos a partir dos erros relativos para as respectivas quantidades termodinâmicas. Os erros relativos são muito pequenos para toda a região de temperatura de $k_{B}T=0-8$.

Como o sistema tem uma transição de fase de segunda ordem, a primeira derivada da energia livre é uma função contínua da temperatura. Não há saltos na energia interna ou na entropia, mesmo no limite, pois o tamanho do sistema vai para o infinito.

Figura 4: Quantidades termodinâmicas do modelo de Ising 2D com $L=16$ calculado a partir da densidade de estados $g(E)$. Na figura, estão mostrados: (a) energia interna, (b) calor específico, (c) energia livre de Helmholtz e (d) entropia. Os gráficos inset são os erros relativos.

Referências

<references>

Código

from scipy import *
import sys
import numpy as np

#Rede aleatória para Ising 2D
def RandomL(N):
    latt=zeros((N,N),dtype=int)
    for i in range(N):
        for j in range(N):
            latt[i,j]=sign(2*rand()-1)
    return latt
    
#Energia da rede
def CEnergy(latt):
    Ene=0
    for i in range(N):
        for j in range(N):
            S=latt[i,j]
            WF=latt[(i+1)%N,j]+latt[i,(j+1)%N]+latt[(i-1)%N,j]+latt[i,(j-1)%N]
            Ene+=-WF*S
    return int(Ene/2.)
    
    #Quantidades termodinâmicas usando a densidade de estados
def Thermod(T,lngE,Energies,E0):
    Z=0
    Ev=0
    E2v=0
    for i,E in enumerate(Energies):
        #w=exp(lngE[i]-lngE[0]-(E+E0)/T)
        w=exp(lngE[i]-E/T)
        Z+=w
        Ev+=w*E
        E2v+=w*E**2
        #print(i, E, lngE[i], w, Z, Ev)
    Ev*=1./Z
    cv=(E2v/Z-Ev**2)/T**2
    F = -T*np.log(Z)
    S = (Ev - F)/T
    return (Ev/N2,cv/N2,F/N2,S/N2)
    
    #Algoritmo de Wang-Landau
def WangLandau(Nitt,N,N2,indE,E0,flatness):
    latt=RandomL(N)
    Ene=CEnergy(latt)
    lngE=zeros(len(Energies),dtype=float)
    Hist=zeros(len(Energies),dtype=float)
    lnf=1.0
    itt = 0
    while exp(lnf) > fmin:
        itt = itt + 1
        ii=int(rand()*N2)       
        (i,j)=(ii%N,ii/N) 
        i=int(rand()*N)
        j=int(rand()*N)
        S=latt[i,j] 
        WF=latt[(i+1)%N,j]+latt[i,(j+1)%N]+latt[(i-1)%N,j]+latt[i,(j-1)%N]
        Enew=Ene+2*S*WF
        P=exp(lngE[indE[Ene+E0]]-lngE[indE[Enew+E0]])
        #P=exp(lngE[indE[Ene]]-lngE[indE[Enew]])
        if P>rand():   
            latt[i,j]=-S        
            Ene=Enew       
        Hist[indE[Ene+E0]]+=1.
        #Hist[indE[Ene+E0]]+=1.
        lngE[indE[Ene+E0]]+=lnf
        #lngE[indE[Ene]]+=lnf
        if itt%100==0:
            aH=sum(Hist)/(N2+0.0) 
            mH=min(Hist)          
            if mH>aH*flatness:  
                Hist=zeros(len(Hist)) 
                lnf/=2.             
                print("iteracao =", itt, 'f=', exp(lnf))
    return lngE,Hist
    
from scipy import *
import sys
from pylab import *
from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np

Nitt=10000000
fmin = 1.00000001
print(fmin)
N=16
flatness=0.8
N2=N*N

# energias possiveis
Energies = (4*arange(N2+1)-2*N2).tolist()
print(Energies)
Energies.pop(1)   
Energies.pop(-2)
E0=Energies[-1]
print(Energies)                      
indE=-ones(E0*2+1,dtype=int)

for i,E in enumerate(Energies):
  indE[E+E0]=i

    
lngE=np.load('lngE.npy')
Hist=np.load('Hist.npy')

Hist *= len(Hist)/sum(Hist)

len(lngE),len(Hist)

from pylab import *
EE=array(Energies);EE=EE/(N*N)
plot(EE,lngE,'o',markersize=1.5,label='Simulação')
#plot(EE,Hist,'-s',markersize=2.0,label='Histogram')
xlabel(r'$E/N$')
ylabel(r'$ln[g(E)]$')
legend(loc='best')
show()

f=open('bealeL16.dat','r');f=f.readlines()

beale=[]
for i in range(len(f)):
  beale.append(float(f[i]))

plot(Energies,beale,label='Exata')
xlabel('Energia')
ylabel('ln[g(E)]')
legend(loc='best')
show()

plot(EE,beale,label='Exata')
plot(EE,lngE,'o',markersize=1.5,label='Simulação')
xlabel(r'$E/N$')
ylabel(r'$ln[g(E)]$')
legend(loc='best')
show()

#Erro relativo

erro=[]
for i in range(len(lngE)):
  erro.append((abs(lngE[i]-beale[i]))/beale[i])

plot(Energies,erro)
xlabel('Energia')
ylabel(r'$\epsilon [ln(g)]$')
#legend(loc='best')
yscale('log')
show()

from mpl_toolkits.axes_grid.inset_locator import (inset_axes,InsetPosition,mark_inset)

fig,ax1=subplots()
ax1.plot(EE,lngE,'o',markersize=1.5,label='Simulação')
ax1.plot(EE,beale,label='Exata')
ax1.set_xlabel('E/N')
ax1.set_ylabel(r'$ln[g(E)]$')
ax1.set_xlim(-2.,4.)
ax1.set_ylim(0.,200.)
ax1.legend(loc='best')
ax2=axes([0,0,1,1])
ip=InsetPosition(ax1,[0.685,0.5,0.3,0.3])
ax2.set_axes_locator(ip)
ax2.plot(EE,erro)
ax2.set_yscale('log')
ax2.set_xlabel('E/N')
ax2.set_ylabel(r'$\epsilon [ln(g)]$')
savefig('fig1.png')
show()

print(beale[0:5])

print(lngE[0:5])

lmb23 = -1**300
lmb23e = -1**300

i=0
while i<N2-1:
  termo23 = lngE[i] - Energies[i]/2.3
  if termo23 > lmb23:
    lmb23 = termo23
  i = i+1

i=0
while i<N2-1:
  termo23e = beale[i] - Energies[i]/2.3
  if termo23e > lmb23e:
    lmb23e = termo23e
  i = i+1

print(lmb23,lmb23e)

lmb22 = -1**300
lmb22e = -1**300
lmb24 = -1**300
lmb24e = -1**300

i=0
while i<N2-1:
  termo22 = lngE[i] - Energies[i]/2.2
  if termo22 > lmb22:
    lmb22 = termo22
  i = i+1

i=0
while i<N2-1:
  termo22e = beale[i] - Energies[i]/2.2
  if termo22e > lmb22e:
    lmb22e = termo22e
  i = i+1

i=0
while i<N2-1:
  termo24 = lngE[i] - Energies[i]/2.4
  if termo24 > lmb24:
    lmb24 = termo24
  i = i+1

i=0
while i<N2-1:
  termo24e = beale[i] - Energies[i]/2.4
  if termo24e > lmb24e:
    lmb24e = termo24e
  i = i+1

print(lmb22,lmb22e,lmb24,lmb24e)

E=array(Energies);E1=E/N2
P=exp(lngE-E/2.3 - lmb23)
Pexact=exp(beale-E/2.3 - lmb23e)


plot(E1,P,label=r'$k_B T_c = 2.3$')
plot(E1,Pexact,label=r'$k_B T_c = 2.3$ exata')
#plot(Energies,P2,label=r'$k_B T_c = 2.2$')
#plot(Energies,P3,label=r'$k_B T_c = 2.4$')
xlabel('E/N')
ylabel(r'$g(E)e^{-E/k_B T_c}$')
legend(loc='best')
show()

P2=exp(lngE-E/2.2-lmb22)
P2exact=exp(beale-E/2.2-lmb22e)
P3=exp(lngE-E/2.4-lmb24)
P3exact=exp(beale-E/2.4-lmb24e)

fig,ax1=subplots()
ax1.plot(E1,P,label=r'$k_B T_c = 2.3$')
#ax1.plot(E1,Pexact,label=r'$k_B T_c = 2.3$ exata')
ax1.set_xlabel('E/N')
ax1.set_ylabel(r'$g(E)e^{-E/k_B T_c}$')
#ax1.set_ylim(0.,200.)
ax1.legend(loc='best')
ax2=axes([0,0,1,1])
ip=InsetPosition(ax1,[0.5,0.3,0.5,0.5])
ax2.set_axes_locator(ip)
ax2.plot(E1,P2,label=r'$k_B T = 2.2$')
#ax2.plot(E1,P2exact,label=r'$k_B T = 2.2$ exata')
ax2.plot(E1,P3,label=r'$k_B T = 2.4$')
#ax2.plot(E1,P3exact,label=r'$k_B T = 2.4$ exata')
#ax2.set_yscale('log')
ax2.set_xlabel('E/N')
ax2.set_ylabel(r'$g(E)e^{-E/k_B T}$')
ax2.legend(loc='best')
savefig('fig2.png')
show()

E=array(Energies);E1=E/N2
P=exp(lngE-E/2.3 - lmb23)
Pexact=exp(beale-E/2.3 - lmb23e)


plot(E1,P,label=r'$k_B T_c = 2.3$')
plot(E1,Pexact,label=r'$k_B T_c = 2.3$ exata')
#plot(Energies,P2,label=r'$k_B T_c = 2.2$')
#plot(Energies,P3,label=r'$k_B T_c = 2.4$')
xlabel('E/N')
ylabel(r'$g(E)e^{-E/k_B T_c}$')
legend(loc='best')
show()

lmb22 = -1**300
lmb22e = -1**300
lmb24 = -1**300
lmb24e = -1**300

i=0
while i<N2-1:
  termo22 = lngE[i] - Energies[i]/2.2
  if termo22 > lmb22:
    lmb22 = termo22
  i = i+1

i=0
while i<N2-1:
  termo22e = beale[i] - Energies[i]/2.2
  if termo22e > lmb22e:
    lmb22e = termo22e
  i = i+1

i=0
while i<N2-1:
  termo24 = lngE[i] - Energies[i]/2.4
  if termo24 > lmb24:
    lmb24 = termo24
  i = i+1

i=0
while i<N2-1:
  termo24e = beale[i] - Energies[i]/2.4
  if termo24e > lmb24e:
    lmb24e = termo24e
  i = i+1

print(lmb22,lmb22e,lmb24,lmb24e)

P2=exp(lngE-E/2.2-lmb22)
P2exact=exp(beale-E/2.2-lmb22e)
P3=exp(lngE-E/2.4-lmb24)
P3exact=exp(beale-E/2.4-lmb24e)

fig,ax1=subplots()
ax1.plot(E1,P,label=r'$k_B T_c = 2.3$')
#ax1.plot(E1,Pexact,label=r'$k_B T_c = 2.3$ exata')
ax1.set_xlabel('E/N')
ax1.set_ylabel(r'$g(E)e^{-E/k_B T_c}$')
#ax1.set_ylim(0.,200.)
ax1.legend(loc='best')
ax2=axes([0,0,1,1])
ip=InsetPosition(ax1,[0.5,0.3,0.5,0.5])
ax2.set_axes_locator(ip)
ax2.plot(E1,P2,label=r'$k_B T = 2.2$')
#ax2.plot(E1,P2exact,label=r'$k_B T = 2.2$ exata')
ax2.plot(E1,P3,label=r'$k_B T = 2.4$')
#ax2.plot(E1,P3exact,label=r'$k_B T = 2.4$ exata')
#ax2.set_yscale('log')
ax2.set_xlabel('E/N')
ax2.set_ylabel(r'$g(E)e^{-E/k_B T}$')
ax2.legend(loc='best')
savefig('fig2.png')
show()

Te = linspace(0,8,255)
Thm=[];Thm_exact=[]

for T in Te:
  Thm.append(Thermod(T, lngE, Energies, E0))
  Thm_exact.append(Thermod(T, beale, Energies, E0))

Thm = array(Thm)
Thm_exact=array(Thm_exact)

#Energia interna
plt.plot(Te,Thm_exact[:,0],label='exata')
plt.plot(Te,Thm[:,0],label='simulação')
plt.xlabel(r'$k_B T$')
plt.ylabel(r'$U(T)/N$')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

#Calor específico
plt.plot(Te,Thm_exact[:,1],label='exata')
plt.plot(Te,Thm[:,1],label='simulação')
plt.xlabel(r'$k_B T$')
plt.ylabel(r'$C(T)/N$')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

#Energia livre de Helmholtz
plt.plot(Te,Thm_exact[:,2],label='exata')
plt.plot(Te,Thm[:,2],label='simulação')
plt.xlabel(r'$k_B T$')
plt.ylabel(r'$F(T)/N$')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

#Entropia
plt.plot(Te,Thm_exact[:,3],label='exata')
plt.plot(Te,Thm[:,3],label='simulação')
plt.xlabel(r'$k_B T$')
plt.ylabel(r'$S(T)/N$')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

erroUt=(abs(Thm[:,0]-Thm_exact[:,0]))/abs(Thm_exact[:,0])
erroCt=(abs(Thm[:,1]-Thm_exact[:,1]))/Thm_exact[:,1]
erroFt=(abs(Thm[:,2]-Thm_exact[:,2]))/abs(Thm_exact[:,2])
erroSt=(abs(Thm[:,3]-Thm_exact[:,3]))/Thm_exact[:,3]

#Erro relativo para energia interna
plt.plot(Te,erroUt)
xlabel(r'$k_B T$')
ylabel(r'$\epsilon [U(T)]$')
yscale('log')
plt.show()

#Erro relativo para calor específico
plt.plot(Te,erroCt)
xlabel(r'$k_B T$')
ylabel(r'$\epsilon [C(T)]$')
yscale('log')
plt.show()

#Erro relativo para energia livre de Helmholtz
plt.plot(Te,erroFt)
xlabel(r'$k_B T$')
ylabel(r'$\epsilon [F(T)]$')
yscale('log')
plt.show()

#Erro relativo para entropia
plt.plot(Te,erroSt)
xlabel(r'$k_B T$')
ylabel(r'$\epsilon [S(T)]$')
yscale('log')
plt.show()

figure(figsize=(10,8))

ax1=subplot(2,2,1)
ax1.plot(Te,Thm_exact[:,0],label='exata')
ax1.plot(Te,Thm[:,0],label='simulação')
ax1.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax1.set_ylabel(r'$U(T)/N$')
ax1.legend(loc='best')
ax12=axes([1,0,0,0])
ip=InsetPosition(ax1,[0.685,0.5,0.3,0.3])
ax12.set_axes_locator(ip)
ax12.plot(Te,erroUt)
ax12.set_yscale('log')
ax12.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax12.set_ylabel(r'$\epsilon [U(T)]$')

ax2=subplot(2,2,2)
ax2.plot(Te,Thm_exact[:,1],label='exata')
ax2.plot(Te,Thm[:,1],label='simulação')
ax2.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax2.set_ylabel(r'$C(T)/N$')
ax2.legend(loc='best')
ax22=axes([0,1,0,0])
ip=InsetPosition(ax2,[0.685,0.5,0.3,0.3])
ax22.set_axes_locator(ip)
ax22.plot(Te,erroCt)
ax22.set_yscale('log')
ax22.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax22.set_ylabel(r'$\epsilon [C(T)]$')

ax3=subplot(2,2,3)
ax3.plot(Te,Thm_exact[:,2],label='exata')
ax3.plot(Te,Thm[:,2],label='simulação')
ax3.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax3.set_ylabel(r'$F(T)/N$')
ax3.legend(loc='best')
ax32=axes([0,0,1,0])
ip=InsetPosition(ax3,[0.25,0.2,0.3,0.3])
ax32.set_axes_locator(ip)
ax32.plot(Te,erroFt)
ax32.set_yscale('log')
ax32.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax32.set_ylabel(r'$\epsilon [F(T)]$')

ax4=subplot(2,2,4)
ax4.plot(Te,Thm_exact[:,3],label='exata')
ax4.plot(Te,Thm[:,3],label='simulação')
ax4.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax4.set_ylabel(r'$S(T)/N$')
ax4.legend(loc='best')
ax42=axes([0,0,0,1])
ip=InsetPosition(ax4,[0.685,0.5,0.3,0.3])
ax42.set_axes_locator(ip)
ax42.plot(Te,erroSt)
ax42.set_yscale('log')
ax42.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax42.set_ylabel(r'$\epsilon [S(T)]$')
savefig('fig3.png')
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