Algoritmo de Wang-Landau: mudanças entre as edições

Edição das 20h58min de 28 de novembro de 2021

Nomes: Rafael Abel da Silveira e William Machado Pantaleão

Introdução

Simulações computacionais, como o método de Monte Carlo, são vastamente utilizadas para estudar transições de fase e fenômenos críticos. O método padrão para simulações de Monte Carlo é o algoritmo de Metropolis, entretanto, algoritmos novos e mais eficientes são usados em simulações modernas, como o algoritmo de Wang-Landau. Ao contrário dos métodos convencionais de Monte Carlo, que geram diretamente uma distribuição canônica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E) e^{-E/k_B T}} a uma dada temperatura Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} , a abordagem de Wang-Landau estima a densidade de estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E)} diretamente por meio de um passeio aleatório, que produz um histograma plano no espaço de energia Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E)} . ^[1]

Mesmo para modelos que podem ser resolvidos analiticamente, a densidade de estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E) } não pode ser determinada para sistemas maiores ^[2]. Com o algoritmo de Wang-Landau, é possível obter a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E) } a partir de um passeio aleatório. A estimativa para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E) } é melhorada a cada etapa do passeio aleatório, usando um fator de modificação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f } cuidadosamente controlado, para produzir um resultado que converge para o valor real rapidamente.

Amostragem de Wang-Landau

No início da simulação, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E)} é desconhecido e fazemos uma estimativa inicial para ele. A abordagem mais simples é definir Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E) = 1} para todas as energias possíveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} . A configuração de spin inicial para toda a rede pode ser escolhida arbitrariamente. Então, uma caminhada aleatória no espaço de energia é iniciada pela formação de estados de teste, cada um dos quais é produzido escolhendo aleatoriamente um spin e alterando seu estado.

Cada vez que uma energia Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} é visitada, o histograma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E)} é incrementado em 1. A estimativa de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E)} é então modificada por um fator multiplicativo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} , e o valor atualizado realiza um passeio aleatório adicional no espaço de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} .

Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_1} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_2} são as energias antes e depois de um valor de spin ser alterado, a probabilidade de transição da energia Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_1} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_2} é dada por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(E_1 \rightarrow E_2) = min \left( \frac{g(E_1)}{g(E_2)}, 1\right).}

A razão das probabilidades de transição de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_1} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_2} e de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_2} a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_1} podem ser calculados como

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{p(E_1 \rightarrow E_2)}{p(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.}

Logo, o algoritmo de passeio aleatório satisfaz o equilíbrio detalhado:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{g(E_1)}p(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}p(E_2 \rightarrow E_1),}

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 / g (E1)} é a probabilidade na energia Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_1} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p (E_1\rightarrow E_2)} é a probabilidade de transição de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_1} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_2} .

Se o estado de energia Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_2 } é aceito, a densidade de estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E_2) } é multiplicada pelo fator de modificação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f > 1 } de maneira que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E_2) \to f \times g(E_2) } e a entrada no histograma para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E_2) } é atualizada de forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E_2) \to H(E_2) + 1 } . Se o estado de energia não é aceito, a densidade de estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E_1) } é multiplicada pelo fator de modificação, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E_1) \to f \times g(E_1) } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E_1) } é atualizada de forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E_1) \to H(E_1) + 1 } .

Flatness

O procedimento de passeio aleatório é seguido até o histograma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E) } estar reto (do inglês, "flat"), e para determinar isso, a cada Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n } iterações verificamos se todos valores possíveis de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E } estão a uma distância, no máximo, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x% } de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle H(E) \rangle } . A variável Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } é denominada "flatness". Quando o histograma está reto, todos estados de energia foram visitados aproximadamente igualmente.

O número de passos, </math> n </math> que devemos realizar antes de checar deve ser maior que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L*L } onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L } indica o tamanho da rede, para que o algoritmo tenha a oportunidade de visitar cada estado pelo menos uma vez.

Para sistemas simples, podemos utilizar um valor tão alto quanto 95%, entretanto, para este trabalho foi escolhido o valor de 80%.

Fator de modificação

Em geral, como $g(E)$ se torna muito grande, trabalhamos com o logaritmo natural dessas quantidades, $\ln g(E)$ . Portanto, cada atualização da densidade de estados é dada por $\ln g(E)\to \ln g(E)+\ln f$ . O valor comumente utilizado para o fator de modificação é $f=f_{0}=e$ .

Quando o histograma é considerado reto, pelas condições descritas acima, reduzimos o valor de $f$ de forma que o novo valor será $f_{1}=f_{0}/2$ , resetamos o histograma $H(E)$ e recomeçamos o passeio aleatório.

A simulação é parada para um valor de $f$ predeterminado. No caso, usamos $f_{final}=\exp(10^{-8})=1.00000001$ .

Aplicação ao Modelo de Ising 2D

Modelo de Ising

O modelo de Ising é uma rede 2D, de tamanho $L\times L$ que consiste de uma variável discreta em cada sítio que pode ser usada para representar o momento de dipolo magnético de um átomo^[3] Cada sítio pode ter o valor de spin $+1$ ou $-1$ .

Para este trabalho, o hamiltoniano de interação pode ser calculado por ${\mathcal {H}}=-\sum _{\langle i,j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}$ onde $\langle i,j$ indica pares distintos de vizinhos-mais-próximos.

Com a densidade de estados, podemos calcular as seguintes quantidades termodinâmicas:

Energia interna:

Calor específico:

Energia livre de Helmholtz:

Entropia:

Finalmente, podemos também calcular a distribuição canônica usando:

$P(E,T)=g(E)e^{-E/k_{B}T}$

Algoritmo

Resumindo, o passo a passo do algoritmo pode ser escrito como:

1. Defino $g(E)=1$ para todos $E$ e o fator de modificação inicial $f_{0}=e$ ;

2. Aleatoriamente, escolho um spin e troco o seu valor. Aceito a transição com probabilidade $p(E_{1}\to E_{2})=min(g(E_{1})/g(E_{2}),1)$ ;

3. Modifico a densidade de estados $g(E)\to g(E)\times f$ e atualizo o histograma $H(E)$ ;

4. Continuo até o histograma estar reto, então diminuo o valor de $\ln f$ pela metade e reseto o histograma $H(E)$ ;

5. Repito os passos 2-4 até $f<1.00000001$ .

6. Obtendo a $g(E)$ , posso calcular as quantidades termodinâmicas descritas anteriormente.

Implementação

Resultados

Referências

Código

↑ D. P. Landau, Shan-ho Tsai, M. Exler, A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling, American Journal of Physics 72, 1294 (2004). https://doi.org/10.1119/1.1707017
↑ P. D. Beale, Exact Distribution of Energies in the Two-Dimensional Ising Model, Phys. Rev. Lett. 76,78 (1996). https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.76.78
↑ A. Rosa, C. Pires, L. Doria, Ising 2D, Wikia da Física Computacional da UFRGS. https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Ising_2D#Modelo_de_Ising

[wanglandau-1] D. P. Landau, Shan-ho Tsai, M. Exler, A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling, American Journal of Physics 72, 1294 (2004). https://doi.org/10.1119/1.1707017

[beale-2] P. D. Beale, Exact Distribution of Energies in the Two-Dimensional Ising Model, Phys. Rev. Lett. 76,78 (1996). https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.76.78

[ising-3] A. Rosa, C. Pires, L. Doria, Ising 2D, Wikia da Física Computacional da UFRGS. https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Ising_2D#Modelo_de_Ising

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 O modelo de Ising é uma rede 2D, de tamanho <math> L \times L </math> que consiste de uma variável discreta em cada sítio que pode ser usada para representar o momento de dipolo magnético de um átomo<ref name=ising> A. Rosa, C. Pires, L. Doria, Ising 2D, Wikia da Física Computacional da UFRGS. https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Ising_2D#Modelo_de_Ising </ref>  Cada sítio pode ter o valor de spin <math>+1</math> ou <math>-1</math>.
-O hamiltoniano de interação pode ser calculado por <math> \mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j \rangle}\sigma_i \sigma_j </math> onde <math> \langle i,j </math> indica pares distintos de vizinhos-mais-próximos.
+Para este trabalho, o hamiltoniano de interação pode ser calculado por <math> \mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j \rangle}\sigma_i \sigma_j </math> onde <math> \langle i,j </math> indica pares distintos de vizinhos-mais-próximos.
+Com a densidade de estados, podemos calcular as seguintes quantidades termodinâmicas:
+Energia interna:
+Calor específico:
+Energia livre de Helmholtz:
+Entropia:
+Finalmente, podemos também calcular a distribuição canônica usando:
+<math> P(E,T) = g(E) e^{-E/k_BT} </math>
 ====Algoritmo====
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 . Repito os passos 2-4 até <math> f < 1.00000001 </math>.
+. Obtendo a <math> g(E) </math>, posso calcular as quantidades termodinâmicas descritas anteriormente.
 ====Implementação====
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 <references>
+====Código====

Algoritmo de Wang-Landau: mudanças entre as edições

Edição das 20h58min de 28 de novembro de 2021

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