Motility-Induced Phase Separation(MIPS)

Grupo: Bernardo Boatini e Murilo Kessler Azambuja

Introdução

A matéria ativa é um tipo de sistema fora do equilíbrio termodinâmico, onde cada "partícula" ou "agente" do sistema tem a capacidade dissipar energia na forma de forças mecânicas exercidas sobre o ambiente no qual está imerso. Esses sistemas muitas vezes podem exibir vários fenômenos novos, como movimentos coletivos quando exige-se um alinhamento das partículas (Como bio-polímeros que se auto organizam, tipo os microtúbulos que são parte do citoesqueleto celular, ou cardumes de peixe, por exemplo), ou os chamados MIPS (Motility-Induced Phase Separation) que são sistemas que apresentam uma mudança de fase física devido à interações que proíbem a ocupação simultânea de um volume do espaço por duas partículas simultâneas. Nestes sistemas, os agentes possuem a capacidede de auto-propulsão, de forma que a condição de balnço detalhado é quebrada no nível microscópico, uma vez que as partículas possuem uma direção preferencial de movimento.Estes tipos de sistema muitas vezes podem ser tratados a partir de uma abordagem hidrodinâmica, na qual são chamados de fluidos ativos, e divergem do comportamento usual de fluidos compostos de matéria usual inativa, os quais são descritos pela equação de Navier-Stokes.

Apesar desses sistemas fundamentalmente quebrarem a condição do balanço detalhado, ainda não é claro se o comportamento estatístico universal de sistemas de fluidos ativos necessariamente divergem daqueles de de sistemas em equilíbrio. A investigação de comportamentos universais nestes tipos de sistema, além de ser um interece central na física, também pode nos permitir utilizar conhecimentos já bem conhecidos (como a transição de fase em sistemas de matéria em equilíbrio termodinâmico) para descrever sistemas novos. Neste trabalho foi reproduzido o artigo onde foi investigada o comportamento crítico de um sistema com MIPS e se viu que este tipo de sistema pertence à classe de universalidade de sistemas em equilíbrio como o modelo de Ising para spin. Para tal, foi utilizada três abordagens diferentes: um modelo hidrodinâmico, uma descrição baseada em teoria de campos e a simulação de um modelo de rede hexagonal.

Modelo

O sistema geral que estamos interessados em descrever é constituído de um conjunto de partículas em um meio com friccção, i.e, em um sistema sem conservação de momentum e com interações que não permitem a ocupação simultânea de duas partículas em um mesmo sítio (FIG. 1).

FIGURA 1: Imagem retirada de . Em (a) vemos a difusão devido à rotação da direção de movimento preferencial da partícula, em (b) temos o "movimento balístico" (seta verde) e a difusão devido à translação da partícula (setas azuis) e, em (c), vemos a interação entre partículas em sítios vizinhos, impedindo a ocupação simultânea do mesmo sítio por duas partículas.

Uma forma de modelar este sistema é considerá-lo um fluido ativo polar e compressível sem interações de alinhamento entre partículas, de forma que não se espera observar movimentos coletivos. Tal sistema é descrito de forma contínua pela chamada equação de Toner-Tu.

De um ponto de vista microscópico, podemos usar uma formulação discreta baseada na teoria de campos. Neste caso, consideramos uma rede hexagonal bidimensional, com o numero de ocupação de cada sítio da rede restringido por uma constante $M$ (futuramente diremos que $M=1$, de forma que apenas uma partícula pode ocupar cada sítio).

Modelo no Continuo

As equações de Tuner-Tu são dadas por

${\partial }_t\rho +\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{𝐠}=0,(1a)$

${\partial }_t\mathbf{𝐠}=-\zeta \mathrm{\nabla }\rho -\kappa \mathbf{𝐠}+\mu {\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{𝐠}+\mathbf{𝐟}.(1b)$

Onde $\rho$ é o campo de densidade de massa e $\mathbf{𝐠}$ é o campo de densidade de momentum. A equação (1a) diz respeito à conservação de massa do sistema como um todo. A equação (1b) se assemelha muito à equação de Navier-Stokes, assim podemos ver que o primeiro termo da equação caracteriza a compressibilidade do fluido, o segundo termo representa uma difusão do campo de momentum (o sinal negativo indica que o campo de momentum diminui com o passar do tempo), o terceiro termo representa a viscosidade do fluido e $\mathbf{𝐟}$ é um ruído Gaussiano com estatísticas espaço-temporais dadas por

$⟨\mathbf{𝐟}(t,\mathbf{𝐫})⟩=0,⟨\mathbf{𝐟}(t,\mathbf{𝐫})\mathbf{𝐟}(t^{\prime },{\mathbf{𝐫}}^{\prime })⟩=2D\delta (t-t^{\prime })\delta (\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}^{\prime }),$

onde $D$ é a intensidade do ruído.

Modelo no Discreto

Como já foi dito antes, no modelo discreto é utilizado uma rede bidimensional hexagonal com número de ocupação máximo $M$ para cada sítio da rede. Os agentes são divididos em seis tipos distintos de partículas ativas, cada uma se move em uma direção ${\theta }_i$ (as diagonais do hexágono) e somente vai saltar para o sítio adjacente ao longo desta direção, com uma taxa que depende da ocupação do sítio em questão. Além disso, é possível que uma partícula se transforme em outra, com uma taxa $\sigma$, correspondendo assim a um ruído rotacional de cada partícula. Utilizando a notação utilizada em , temos que a rede hexagonal é caracterizado pelo conjunto de vetores $\mathbf{𝐑}$ e a orientação ou tipo da partícula ativa pelo índice $i$. Desta forma o número de partículas do tipo $i$ ocupando o sítio $\mathbf{𝐑}$ da rede é denotado por $A_{\mathbf{𝐑}}^{{\theta }_i}$. Com o formalismo desenvolvido em , temos que a teoria de campos nos fornece para o modelo uma ação dada por

$S=\int dt\sum _{\mathbf{𝐑}}\left\{\sum _i\right[{\hat{A}}_{\mathbf{𝐑}}^{{\theta }_i}{\partial }_t{A}_{\mathbf{𝐑}}^{{\theta }_i}(2a)$

$-\gamma (M-N_{\mathbf{𝐑}+{\mathbf{𝐞}}_{{\theta }_i}})A_{\mathbf{𝐑}}^{{\theta }_i}(e^{{\hat{A}}_{\mathbf{𝐑}+{\mathbf{𝐞}}_{{\theta }_i}}^{{\theta }_i}-A_{\mathbf{𝐑}}^{{\theta }_i}}-1)$

${\displaystyle }$

Implementação

Nessa secção serão colocados alguns detalhes da implementação da rede, das medidas e da dinâmica de Monte Carlo.

Algoritmo

A dinâmica de Monte Carlo foi implementada de forma que a cada MCS, N partículas do sistema são selecionadas aleatoriamente:

- Primeiramente a partícula decide se vai mudar seu sentido($\theta$) sorteando um valor $d$ através de uma distribuição gaussiana centrada em 0, com variância igula a intencidade do ruído $\sigma$;

- A nova direção é dada por $$;

- Depois disso a partícula tem probabilidade $24/30$ de andar para o sitio vizinho naquela direção(se ele estiver vazio);

- Caso a partícula não decida andar naquela direção, ela se desloca na direção de outro sitio vizinho(se ele estiver vazio) sorteado aleatoriamente(emulando o comportamento difusivo).

Redes Hexagonais

Em modelos do tipo LGCA(Lattice Gas Celular Automata) o tipo de rede, bem como as topologias usadas, podem ser determinantes para as medidas e caracterizações do estado macroscópico. A simetria hexagonal se mostra uma boa alternativa para aumentar os graus de liberdade de uma partícula numa rede, quando comparada com a simetria quadrada. Na geometria hexagonal, assim como na quadrada, todos os sítios vizinhos possuem uma mesma distancia entre si só que com 6 graus de liberdade ao invés de quatro.

Existem duas topologias possíveis em uma rede hexagonal: "zigzag" e "armchair", e a diferença das duas está principalmente na implementação das condições de contorno periódicas. No caso da topologia em "zigzag"(Fig1.a), o espaço é representado em um paralelogramo, e existem 4 sentidos em que cruzando uma parede a partícula fecha sua trajetória sem ter que cruzar nova mente outra parede do sistema. Na topologia "armchair"(Fig1.b) por outro lado só existem 2 sentidos em que isso acontece.

Sub-Box Sampling Method

O método das subcaixas consiste em dividir o sistema em uma certa quantidade de subsistemas de interesse, permitindo observar a flutuação de densidades apenas nessas regiões.

Nesse trabalho o sistema foi dividido em 4 caixas de tamanho $L\times L$: 2 centradas no centro de massa horizontal do sistema e duas centradas na região horizontal "mais rarefeita", que consequentemente esta a uma distancia de $3L$ do centro de massa.

Quando os parâmetros permitem que haja separação de fase, duas subcaixas ficam posicionadas exatamente sobre o centro da fase liquida e a mesma coisa para a fase gasosa, permitindo uma medição mais precisa das flutuações de densidade sem considerar as regiões de fronteira.

Porém, essas flutuações se tornam especialmente relevantes no ponto crítico, onde o uso de subcaixas se torna especialmente importante na extração medidas para classificar a transição de fase do modelo em analise.

Medida 1

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Medida 2

Explicar a medida 2

Resultados

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