DM de potenciais descontínuos: mudanças entre as edições
| Linha 124: | Linha 124: | ||
Vale lembrar que campo gravitacional aqui computado gera uma força central, ou seja, é radial em relação a cada partícula do sistema, de modo que só há força atuando na direção <math>y</math>, no sentido negativo de <math>y</math>.<br> | Vale lembrar que campo gravitacional aqui computado gera uma força central, ou seja, é radial em relação a cada partícula do sistema, de modo que só há força atuando na direção <math>y</math>, no sentido negativo de <math>y</math>.<br> | ||
Também é importante lembrar que aqui é desconsiderado a interação gravitacional entre quaisquer duas partículas, uma vez que assume-se que massas são pequenas e desprezíveis em frente a massa que forma o campo em que estão imersas.<br> | Também é importante lembrar que aqui é desconsiderado a interação gravitacional entre quaisquer duas partículas, uma vez que assume-se que massas são pequenas e desprezíveis em frente a massa que forma o campo em que estão imersas.<br> | ||
Uma preocupação que alguém pode ter com a adição de um campo gravitacional na simulação seria de que seria necessário mudar o calculo do tempo mínimo | ===Cálculo do tempo de colisão=== | ||
Uma preocupação que alguém pode ter com a adição de um campo gravitacional na simulação seria de que seria necessário mudar o calculo do tempo mínimo entre as colisões. No entanto, como será mostrado a seguir, isso não é necessário e o cálculo permanece o mesmo.<br> | |||
Tendo em mãos a condição para que ocorra uma colisão: <math>|r_{i}(t+dt) - r_{j}(t+dt)| = \sigma</math>, e que <math>r_{i}(t+dt) = r_{i} + v_{i}dt + g\frac{dt^2}{2}</math> e <math>r_{j}(t+dt) = r_{j} + v_{j}dt + g\frac{dt^2}{2}</math>, podemos elevar os dois lados da equação da condição ao quadrado, retirar o módulo uma vez que o resultado será sempre positivo, obtendo:<br> | Tendo em mãos a condição para que ocorra uma colisão: <math>|r_{i}(t+dt) - r_{j}(t+dt)| = \sigma</math>, e que <math>r_{i}(t+dt) = r_{i} + v_{i}dt + g\frac{dt^2}{2}</math> e <math>r_{j}(t+dt) = r_{j} + v_{j}dt + g\frac{dt^2}{2}</math>, podemos elevar os dois lados da equação da condição ao quadrado, retirar o módulo uma vez que o resultado será sempre positivo, obtendo:<br> | ||
<math>(r_{i}(t+dt) - r_{j}(t+dt))^2 = \sigma^2</math><br> | <math>(r_{i}(t+dt) - r_{j}(t+dt))^2 = \sigma^2</math><br> | ||
| Linha 131: | Linha 132: | ||
Reajeitando os termos antes da simplificação final:<br> | Reajeitando os termos antes da simplificação final:<br> | ||
<math>r_{i}^2 -2r_{i}r_{j} + r_{j}^2 + v_{i}^2dt^2 -2v_{i}v_{j}dt^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} -2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} -2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2r_{i}(v_{i} - v_{j})dt -2r_{j}(v_{i} - v_{j})dt = \sigma^2</math><br> | <math>r_{i}^2 -2r_{i}r_{j} + r_{j}^2 + v_{i}^2dt^2 -2v_{i}v_{j}dt^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} -2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} -2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2r_{i}(v_{i} - v_{j})dt -2r_{j}(v_{i} - v_{j})dt = \sigma^2</math><br> | ||
Ao simplificar obtemos a mesma equação quadrática para se calcular o <math>dt_{min}</math>:<br> | Ao simplificar obtemos a mesma equação quadrática para se calcular o <math>dt_{min}</math>, onde ficou definido <math>\Delta r = r_{i} - r_{j}</math> e <math>\Delta v = v_{i} - v_{j}</math>:<br> | ||
<math>(r_{i} - r_{j})^2 + (v_{i} - v_{j})^2dt^2 + 2(r_{i} - r_{j})(v_{i} - v_{j})dt -\sigma^2 = 0</math><br> | <math>(r_{i} - r_{j})^2 + (v_{i} - v_{j})^2dt^2 + 2(r_{i} - r_{j})(v_{i} - v_{j})dt -\sigma^2 = 0</math><br> | ||
Como este campo só atua na componente <math>y</math>, basta modificar as linha de código da | === Implementação === | ||
Como este campo só atua na componente <math>y</math>, basta modificar as linha de código da seção anterior para adicionar um termo de tempo quadrático à variação da posição assim a linha de código fica: | |||
<pre> | <pre> | ||
yy[i] = yy[i] + vy[i]*delta_t - g*delta_t*delta_t/2; | yy[i] = yy[i] + vy[i]*delta_t - g*delta_t*delta_t/2; | ||
Edição das 19h22min de 26 de junho de 2016
Dinâmica molecular de potenciais descontínuos é uma abordagem computacional utilizada para determinar o movimento de partículas duras que só interagem por forças de contato. Assim, fica evidente a diferença entre o potencial Lennard-Jones pois este se baseia em uma interação de curto alcance, como é mostrado em DM: um primeiro programa. Para entender como as colisões ocorrem, conhecer a forma do potencial a ser estudado é vital. Como estamos considerando corpos rígidos, ou seja, que não sofrem deformação, percebe-se que a força de contato entre as partículas será infinita e o tempo de interação zero, o que torna impossível a descrição do problema a partir de uma integração de movimento simples. O método utilizado, a ser explicitado aqui, que resolve este problema é o evento dirigido.
Evento dirigido
A ideia do método para resolver o problema do força infinita é, ao invés de avançar o sistema em pequenos passos de tempo , avançar a simulação conforme as colisões forem ocorrendo. Para isso deve-se encontrar o par de partículas que colidirá no menor intervalo de tempo entre todas as partículas, denotaremos tal intervalo por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dt_{min}} , e, então, avançar o sistema. Neste ponto teremos dois objetos colados, portanto aqui deve ser feita a mudança de velocidades de tal forma a respeitar uma colisão elástica.
Determinação do tempo de colisão
Os objetos a serem usados para o cálculo do tempo de colisão entre um par de partículas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i, j} serão discos de raio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_i} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_j} , cuja soma denotamos por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma} . Portanto, segue que a condição de colisão é:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\vec{r_i}(t + dt_{ij}) - \vec{r_j}(t + dt_{ij})| = \sigma}
Com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_i} sendo o vetor posição da partícula Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dt_{ij}} o tempo de colisão entre as partículas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i, j} . Tal condição nos leva a determinação de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dt_{ij}} a partir da expressão:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dt_{ij} = \begin{cases} \infty & \quad \text{se } d < 0 \\ \infty & \quad \text{se } \Delta r . \Delta v > 0 \\ -\frac{\Delta \vec{r} . \Delta \vec{v} + \sqrt{d}}{\Delta \vec{v} . \Delta \vec{v}} & \quad \text{nos demais casos} \end{cases} }
Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d \equiv (\Delta \vec{r} . \Delta \vec{v})^2 - (\Delta \vec{v} . \Delta \vec{v})(\Delta \vec{r} . \Delta \vec{r} - \sigma^2) }
, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta \vec{r} = \vec{r_i} - \vec{r_j} }
e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta \vec{v} = \vec{v_i} - \vec{v_j} }
.
Com isso, consegue-se determinar o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dt_{min} }
encontrando o menor valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dt_{ij} }
.
Mudança de velocidade em uma colisão elástica
Para fazer a mudança de velocidades temos que considerar o caso de colisão elástica entre as partículas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i, j } , sendo impulso dado por:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{J} = \frac{2m_im_j(\Delta \vec{r} . \Delta \vec{v})}{\sigma^2(m_i + m_j)}\Delta \vec{r} } .
Assim, a variação de velocidades pode ser determinada por:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta \vec{v_i} = -\frac{\vec{J}}{m_i} } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta \vec{v_j} = \frac{\vec{J}}{m_j} } .
Otimização básica
Dado uma simulação de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N } partículas, determinar o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dt_{min} } é uma operação de ordem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N^2 } , ou seja, evitar fazer esse processo todo passo de tempo economiza grande parte do tempo computacional. Uma forma simples de fazer isso é determinar e armazenar o menor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dt_{ij} } para cada partícula Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i } e o índice Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j } antes do loop temporal e em todo passo de tempo determinar o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dt_{min} } a partir dos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dt_{ij} } armazenados. Assim, a cada passo de tempo seria necessário apenas atualizar o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dt_{ij} } das partículas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I, J } e das que colidiriam com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I } ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J } .
Implementação computacional
Segue a implementação computacional, na linguagem de programação C, a função utilizada para o cálculo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dt_{ij}} .
void calc_dt_ij(double *xx, double *yy, double *vx, double *vy, double *dt_ij, int *colide, int i, int j){
//dt_ij é um vetor que armazena os menores valor de dt_ij para cada i
//colide é um vetor que armazena o valor de j correspondente a partícula que i colide no menor tempo dt_ij
double delta_t_ij = INF;
double dx, dy, dvx, dvy;
double drdr, dvdv, drdv;
double d;
double X, Y;
double sigma = 2*raio;
X = xx[i] - xx[j];
dx = fmod(X, Lx) - rint(fmod(X, Lx)/Lx)*Lx;
Y = yy[i] - yy[j];
dy = fmod(Y, Ly) - rint(fmod(Y, Ly)/Ly)*Ly;
dvx = vx[i] - vx[j];
dvy = vy[i] - vy[j];
drdv = dx*dvx + dy*dvy;
drdr = dx*dx + dy*dy;
dvdv = dvx*dvx + dvy*dvy;
d = pow(drdv, 2) - dvdv*(drdr - pow(sigma, 2));
if(d > 0 && drdv < 0){
delta_t_ij = (-1)*(drdv + sqrt(d))/(dvdv);
if(delta_t_ij < dt_ij[i]){
dt_ij[i] = delta_t_ij;
colide[i] = j;
}
}
}
Onde foram definidos INF como um número computacionalmente grande e raio como o raio das partículas, em particular consideramos os raios de todas como iguais. Para realizar a troca de velocidades do par de partículas que colidem de forma a ser coerente com uma colisão elástica, confeccionou-se a função abaixo.
void switch_veloc(double *xx, double *yy, double *vx, double *vy, int i, int j, double *Jx, double *Jy){
double dx, dy, dvx, dvy;
double drdr, dvdv, drdv;
double deltavx, deltavy;
double sigma = 2*raio, sigma2 = pow(sigma,2), d;
double X, Y;
X = xx[i] - xx[j];
dx = fmod(X, Lx) - rint(fmod(X, Lx)/Lx)*Lx;
Y = yy[i] - yy[j];
dy = fmod(Y, Ly) - rint(fmod(Y, Ly)/Ly)*Ly;
dvx = vx[i] - vx[j];
dvy = vy[i] - vy[j];
drdv = dx*dvx + dy*dvy;
drdr = dx*dx + dy*dy;
dvdv = dvx*dvx + dvy*dvy;
Jx[i] = drdv*dx/sigma2;
Jy[i] = drdv*dy/sigma2;
deltavx = Jx[i];
deltavy = Jy[i];
//TROCA VELOCIDADES DA PARTICULA I
vx[i] -= deltavx;
vy[i] -= deltavy;
//TROCA VELOCIDADES DA PARTICULA J
vx[j] += deltavx;
vy[j] += deltavy;
}
Após alterar as velocidades basta avançar o sistema em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dt_{min}} . Segue um exemplo de função.
void pos(double *xx, double *yy, double *vx, double *vy, double dt_min){
int i;
for(i = 0; i < (NP); i++){
xx[i] = xx[i] + vx[i]*dt_min;
yy[i] = yy[i] + vy[i]*dt_min;
}
}
Seguindo o fluxograma apresentado e utilizando as funções disponíveis chega-se, por exemplo, na animação ao lado, que mostra o decorrer da simulação conforme ocorrem as colisões.
Adição do campo gravitacional
A adição de um campo gravitacional uniforme nesta simulação é bastante simples, basta definir uma nova variável, a qual aqui será chamada de g, e atribuir um valor de sua escolha a ela.
Vale lembrar que campo gravitacional aqui computado gera uma força central, ou seja, é radial em relação a cada partícula do sistema, de modo que só há força atuando na direção Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y}
, no sentido negativo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y}
.
Também é importante lembrar que aqui é desconsiderado a interação gravitacional entre quaisquer duas partículas, uma vez que assume-se que massas são pequenas e desprezíveis em frente a massa que forma o campo em que estão imersas.
Cálculo do tempo de colisão
Uma preocupação que alguém pode ter com a adição de um campo gravitacional na simulação seria de que seria necessário mudar o calculo do tempo mínimo entre as colisões. No entanto, como será mostrado a seguir, isso não é necessário e o cálculo permanece o mesmo.
Tendo em mãos a condição para que ocorra uma colisão: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |r_{i}(t+dt) - r_{j}(t+dt)| = \sigma}
, e que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_{i}(t+dt) = r_{i} + v_{i}dt + g\frac{dt^2}{2}}
e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_{j}(t+dt) = r_{j} + v_{j}dt + g\frac{dt^2}{2}}
, podemos elevar os dois lados da equação da condição ao quadrado, retirar o módulo uma vez que o resultado será sempre positivo, obtendo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (r_{i}(t+dt) - r_{j}(t+dt))^2 = \sigma^2}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_{i}^2 + v_{i}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{4} + 2r_{i}v_{i}dt + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2(r_{i} + v_{i}dt + g\frac{dt^2}{2})(r_{j} + v_{j}dt + g\frac{dt^2}{2}) + r_{j}^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{4} + 2r_{j}v_{j}dt + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_{i}^2 + v_{i}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} + 2r_{i}v_{i}dt + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2r_{i}r_{j} -2r_{i}v_{j}dt -2r_{i}g\frac{dt^2}{2} -2r_{j}v_{i}dt -2v_{i}v_{j}dt^2 -2v_{i}g\frac{dt^3}{2} -2r_{j}g\frac{dt^2}{2} -2v_{j}g\frac{dt^3}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + r_{j}^2 + v_{j}^2dt^2 + 2r_{j}v_{j}dt + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2}
Reajeitando os termos antes da simplificação final:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_{i}^2 -2r_{i}r_{j} + r_{j}^2 + v_{i}^2dt^2 -2v_{i}v_{j}dt^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} -2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} -2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2r_{i}(v_{i} - v_{j})dt -2r_{j}(v_{i} - v_{j})dt = \sigma^2}
Ao simplificar obtemos a mesma equação quadrática para se calcular o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dt_{min}}
, onde ficou definido Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta r = r_{i} - r_{j}}
e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta v = v_{i} - v_{j}}
:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (r_{i} - r_{j})^2 + (v_{i} - v_{j})^2dt^2 + 2(r_{i} - r_{j})(v_{i} - v_{j})dt -\sigma^2 = 0}
Implementação
Como este campo só atua na componente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} , basta modificar as linha de código da seção anterior para adicionar um termo de tempo quadrático à variação da posição assim a linha de código fica:
yy[i] = yy[i] + vy[i]*delta_t - g*delta_t*delta_t/2;
E também adiciona-se uma aceleração em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} nesta mesma parte do programa, de modo que haverá uma atualização na velocidade em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -g*dt_{min}} , ficando:
vy[i] -= g*delta_t
Mais abaixo é possível ver uma animação de como fica o sistema com essas mudanças feitas.
