Clusterização: mudanças entre as edições

Edição das 17h14min de 13 de outubro de 2021

PÁGINA EM CONSTRUÇÃO

Clusterização do Modelo de Ising

O modelo de Ising é definido como uma malha de tamanho L, quadrada quando em duas dimensões e cúbica quando em três dimensões, onde cada vértice apresenta um componente de spin de magnitude fixa que pode apontar para cima ou para baixo (+1 ou -1, respectivamente). O sistema pode ser descrito pelo seguinte hamiltoniano:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_{Ising} = -J \sum_{\langle ij \rangle} s_i s_j}

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} representa o valor do spin e a soma é feita sobre os pares de vértices próximas que são conectadas com um acoplamento ferromagnético de força Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J > 0} .

Para um modelo de Ising bidimensional (o tipo que consideramos) é possível calcular [1] sua temperatura crítica exata como:

$T_{c}={\frac {2J}{\log(1+{\sqrt {2}})}}\simeq 2.269J$

Acima dessa temperatura o sistema está na ‘’’fase paramagnética‘’’, onde a magnetização média é nula, e abaixo dessa temperatura o sistema está na fase ‘’’fase ferromagnética’’’, onde a maioria dos spins se alinham e a magnetização se torna não-nula. Ao estudar o modelo de Ising em geral temos maior interesse no comportamento do sistema perto de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_c} , onde o sistema forma grupos grandes de spins para cima ou para baixo. Esses grupos contribuem muito para a energia do sistema, causando muita flutuação quando invertem.

O algoritmo de Metropolis é um ótimo algoritmo para realizar simulações do modelo de Ising [1]. Porém, sua dinâmica de flip único é ineficiente especialmente quando próxima da temperatura crítica do sistema. As imprecisões estatísticas de quantidades como magnetização e energia interna do sistema aumentam quando próximo da temperatura crítica. Assim, quando esses grandes grupos de spins alinhados (clusters) invertem, há grandes imprecisões. Essa imprecisão aumenta com o tamanho das flutuações, mas diminui com o número de medidas feitas na simulação, então para se estudar a região perto de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_c} de modo mais preciso é necessário que a simulação aconteça por mais tempo. Porém, uma outra fraqueza do algoritmo de Metropolis é seu tempo de correlação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} grande ao redor da temperatura crítica. Isso significa que o número de medidas de uma simulação é pequena, então para diminuir as imprecisões estatísticas causadas pelas poucas medidas é necessário rodar o algoritmo por mais tempo.

Uma das propriedades do modelo de Ising é o fato de flutuações grandes gerarem medidas mais imprecisas. Porém, o tempo de correlação e o modo como ele se comporta próximo a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_c} é uma propriedade do algoritmo utilizado para estudar o sistema, e então é algo que pode ser otimizado.

Expoentes Críticos

Para estudar mais sobre a eficiência dos algoritmos no modelo de Ising podemos definir a temperatura reduzida como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t = \frac{T - T_c}{T_c}}

Essa grandeza indica o quão distante estamos da temperatura crítica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_c} , de modo que para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=0} estamos em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_c} . A partir disso, e sabendo que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi} indica a largura médio dos clusters, temos que a expressão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi \sim |t|^{- \nu}} demonstra a divergência da largura de correlação (largura dos clusters). Se tratando do tempo, definimos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau \sim |t|^{-z \nu}} como o tempo de correlação da simulação, medido em passos de Monte Carlo por sítio da rede. O expoente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} , chamado de expoente dinâmico, é um modo de quantificar a diferença de tempo que acontece devido à divergência. Um valor grande de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} simboliza que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} fica grande, por exemplo, fazendo uma simulação mais demorada e menos precisa quando próximo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_c} .

Combinando as duas equações vistas, podemos escrever que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau \sim \xi^z} . Essa relação indica que o tempo de correlação aumenta com o tamanho típico dos clusters. Considerando um sistema de tamanho finito porém (os tipos de sistema que simulamos), o valor máximo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi} vai ser o tamanho Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} do sistema (e.g. um sistema Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 64} xFalhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 64} tem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L=64} ). Podemos assim concluir que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau \sim L^z} .

Sabendo a temperatura crítica do sistema (para Ising 2D, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_c = 2.269J} é possível usar a relação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau \sim L^z} para medir Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} por meio de simulações onde a temperatura do sistema é igual à temperatura crítica para vários tamanhos diferentes de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} , plotando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} versus Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} em escala logarítmica. A inclinação da reta que liga todos esses pontos nos dá o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} .

Por meio desse método, temos que o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} do algoritmo de Metropolis é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = 2.1655 \pm 0.0012} [5] e o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} do algoritmo de Wolff (um algoritmo de clusterização) é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = 0.25 \pm 0.001} [6].

O motivo do tempo grande do algoritmo de Metropolis é a divergência do tamanho de correlação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi} próximo da temperatura crítica. Ao se aproximar de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_c} , grandes regiões se formam onde todos os spins estão alinhados, e é demorado para que o algoritmo inverta essas regiões, dado que ele inverte os spins sítio por sítio.

Algoritmos de cluster, como o de Wolff, fazem uso da técnica de clusterização. Com isso, os algoritmos encontram agrupam spins alinhados em clusters que apontam para a mesma direção e invertem os spins desse cluster ao mesmo tempo. Algoritmos de clusterização permitem uma exploração mais efetivo do espaço de fase próximo da temperatura crítica por serem mais eficientes e de precisarem de menos iterações para terem medidas precisas.

Balanço Detalhado

Para respeitarmos o Balanço Detalhado, precisamos que a mudança da rede de um estado $Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} para um estado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} ocorra com a mesma probabilidade da mudança de um estado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} , denotamos essa mudança por: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(\mu \to \nu) = A(\nu \to \mu)} , com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(x \to y)} sendo a razão de aceitação da mudança de um estado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} para um estado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} .

Supondo que estamos mudando de um estado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} para outro estado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} , temos que a diferença de energia entre esses dois é resultado da quebra das ligações entre pares de spins orientados na mesma direção que não foram adicionados ao cluster, já que, não há uma garantia que a ida de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu \to \mu } quebre a mesma quantidade de ligações que a volta de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu \to \nu} . A probabilidade de não adicionarmos um spin vizinho ao cluster é dada por: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 - P_{add}} ; uma vez que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{add}} é a probabilidade de incluir esse spin no cluster.

Supondo que existam Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} ligações a serem quebradas na ida de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu \to \mu} , a probabilidade desse evento é dada por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1-P_{add})^m} . Porém, o mesmo pode não valer para a volta de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu \to \nu} , em razão disso, precisamos analisar o caso em que não há o mesmo número de ligações a serem quebradas na volta e então a probabilidade será dada por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1-P_{add})^n} com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} sendo o número de ligações a serem quebradas de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu \to \nu} .

Consideramos agora que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_{\nu}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_{\mu}} sejam as energias associadas aos estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu } , respectivamente, temos que: a cada Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} ligações que são quebradas de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu \to \nu} a energia aumenta com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle +2J} e para cada Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} novas ligações geradas de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu \to \nu} a energia diminui com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -2J} . Pode-se escrever então que a diferença de energia entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} é dada por: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_{\nu} - E_{\mu} = 2mJ -2nJ = 2J(m-n)}

Seguindo a definição do Balanço Detalhado e impondo que o Processo Markoviano dessas mudanças de estados descritas acima respeite a Distribuição de Boltzmann, precisamos que: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{(1-P_{add})^m A(\mu \to \nu)}{(1-P_{add})^n A(\nu \to \mu) } = e^{-\beta(E_{\nu} - E_{\mu})} = (1-P_{add})^{m-n}\frac{A(\mu \to \nu)}{A(\nu \to \mu)}} , tal que, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{A(\mu \to \nu)}{A(\nu \to \mu)} = \big[e^{2\beta J}(1-P_{add})\big]^{n-m}\;\;\;\; \Longrightarrow P_{add} = 1-e^{-2\beta J} \Longrightarrow \frac{(1-P_{add})^m A(\mu \to \nu)}{(1-P_{add})^n A(\nu \to \mu) }=1 }

Algoritmo de Wolf

Dinâmica do Algoritmo

O algoritmo de Wolff baseia-se principalmente em 4 passos. são estes:

1 - Escolhe-se um sítio aleatório da rede;
2 - Entre seus 4 vizinhos, se o spin do vizinho for igual ao do sítio inicial, adicionamos o vizinho ao cluster com probabilidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{add} = 1-e^{2\beta J}}
3 - Para cada vizinho que foi adicionado ao cluster no passo anterior, repetimos o processo do passo 2 adicionando os vizinhos desse vizinho que possuem spin na mesma direção com a mesma probabilidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{add}} . Faz-se isso para todos os sítios que são adicionados ao cluster.
4 - Quando todos os vizinhos de todos os sítios adicionados ao cluster tiveram ao menos uma “chance” de serem adicionados ao cluster, flipamos o cluster.

Dinâmica do algoritmo.
Demonstração da dinâmica de clusterização do algoritmo na temperatura crítica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; T_c = 2.269J } .

Simulações

Animações

Animações do algoritmo de Wolff em função da Temperatura Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} .
Simulação para temperatura abaixo da temperatura crítica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_c} .	Simulação na temperatura crítica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_c} .	Simulação para tempetura acima da temperatura crítica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_c} .

Propriedades do Algoritmo de Wolff

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{add}\;= \;1 - e^{-2\beta J} }

Nas animações acima, pode-se perceber que a temperatura tem papel importante na dinâmica apresentada em decorrência da forma com a qual está relacionada a probabilidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{add}} , como podemos ver o gráfico a seguir:

Probabilidade em função da temperatura.
Gráfico da probabilidade de aceitação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{add}} em função de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T}

Neste gráfico temos a probabilidade de um spin que possui a mesma orientação que o sítio inicial escolhido ser aceito e adicionado ao cluster em função da temperatura da rede. É de se esperar que conforme a temperatura aumente a probabilidade do spin ser adicionado ao cluster diminua e para temperaturas mais baixas espera-se o contrário. Com base nisso, podemos formular a ideia do tamanho médio dos cluster (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_s} ) que é invertido durante os passos de Monte Carlo em função da temperatura e associar este tamanho com a fração representada por este na rede.

Fração do Tamanho dos Clusters (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_s} )

No gráfico abaixo podemos perceber a mesma natureza que foi observados nas animações desenvolvidas, já que a fração do tamanho dos cluster diminui conforme a temperatura aumenta, ou seja, com a temperatura alta os clusters são menores e por isso representam uma fração menor e para temperatura acima de 3J essa fração é quase zero. Já para temperaturas mais baixas, essa fração aproxima-se de 1 o que significa que grande parte da rede, ou praticamente toda a rede, está sendo invertida em cada passo; exatamente o que observamos na animação para T=1.8J.

Gráfico de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_s} .
Gráfico de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_s} em função de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T}

Códigos Fonte

Função da Dinâmica de Clusterização

def cluster_din(sitio):
    stack = []
    oldspin = s[sitio]
    newspin = (-1)*s[sitio]
    s[sitio] = newspin
    sp=1
    stack.append(sitio)
    
    while (sp):
        sp = sp-1
        atual = stack[sp]
        stack.pop()        
    
        for j in range(4):
            nn=viz[atual][j]
            if s[nn] == oldspin: #IF da orientação do vizinho
             rfloat1 = rng.random()
             if (rfloat1<prob) : #IF da inclusão no cluster
                 stack.append(nn)
                 sp = sp+1
                 s[nn] = newspin
    return

Função do Cálculo da Magnetização

def cluster_din_mag(sitio, mag):
    stack = []
    oldspin = s[sitio]
    newspin = (-1)*s[sitio]
    s[sitio] = newspin
    mag = mag +2*s[sitio]
    sp=1
    stack.append(sitio)
    
    while (sp):
        sp = sp-1
        atual = stack[sp]
        stack.pop()        
    
        for j in range(4):
            nn=viz[atual][j]
            if s[nn] == oldspin:   
             rfloat1 = rng.random()
             if (rfloat1<prob) : #IF da inclusão no buffer
                 stack.append(nn)
                 sp = sp+1
                 s[nn] = newspin
                 mag = mag +2*s[nn]
    return mag

Referências

[1] M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.

[2] Materias da disciplina disponíveis em: <https://moodle.ufrgs.br/course/view.php?id=80767>

[3] E. Luijten, “Introduction to Cluster Monte Carlo Algorithms” <http://csml.northwestern.edu/resources/Reprints/lnp_color.pdf>

[4] <https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Ising_2D>

[5] Nightingale and Blöte (1996).

[6] Coddington e Baillie (1992).

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 !colspan="1"|Probabilidade em função da temperatura.
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-|[[Arquivo:Prob.jpeg|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|Gráfico da probabilidade de aceitação <math>P_{add}</math> em função de <math>T</math>|300px]]
+|[[Arquivo:Prob.jpeg|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|Gráfico da probabilidade de aceitação <math>P_{add}</math> em função de <math>T</math>|800px]]
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@@ Linha 95: / Linha 95: @@
 !colspan="1"|Gráfico de <math>C_s</math>.
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-|[[Arquivo:FCs.jpeg|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|Gráfico de <math>C_s</math> em função de <math>T</math>|300px]]
+|[[Arquivo:FCs.jpeg|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|Gráfico de <math>C_s</math> em função de <math>T</math>|800px]]
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Clusterização: mudanças entre as edições

Edição das 17h14min de 13 de outubro de 2021

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