Equação de Águas Rasas

Em construção Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Pedro Inocêncio Rodrigues Terra

Forma Conservativa

A partir das equações de conservação de momento e de massa, pode ser obtida as equações de águas rasas na forma conservativa. A forma conservativa da equação de águas rasas desconsidera a viscosidade do fluido e as tensões de cisalhamento aplicadas nele.

O desenvolvimento completo das equações está disponível na [1] A conservação de massa é dada por:

$\nabla \cdot v=0$

${\dfrac {\partial u}{\partial x}}+{\dfrac {\partial v}{\partial y}}+{\dfrac {\partial w}{\partial z}}=0$

Onde ${\vec {u}}$ é a velocidade na direção $x$, ${\vec {v}}$ é a velocidade na direção $y$ e ${\vec {w}}$ é a velocidade na direção $z$.

Para a conservação do momento deve ser levado em conta três premissas:

• O comprimento da onda é muito maior que as contribuições na direção ${\vec {z}}$
• A aceleração na direção da velocidade ${\vec {w}}$ é zero
• O líquido é não viscoso
• As velocidades ${\vec {u}}$ e ${\vec {v}}$ não variam em ${\vec {z}}$

Ao aproximar por diferenças finitas obtemos o sistema de equações discretizadas a seguir.

${\dfrac {h_{i,j}^{t+\Delta t}-h_{i,j}^{t}}{\Delta t}}+\left[{\dfrac {(hu)_{i+1,j}^{t}-(hu)_{i-1,j}^{t}}{2\Delta x}}\right]+\left[{\dfrac {(hv)_{i,j+1}^{t}-(hv)_{i,j-1}^{t}}{2\Delta y}}\right]=0$

${\dfrac {hu)_{i,j}^{t+\Delta t}-(hu)_{i,j}^{t}}{\Delta t}}+\left[{\dfrac {(hu^{2}+{\cfrac {1}{2}}gh^{2})_{i+1,j}^{t}-(hu^{2}+{\cfrac {1}{2}}gh^{2})_{i-1,j}^{t}}{2\Delta x}}\right]+\left[{\dfrac {(huv)_{i,j+1}^{t}-(huv)_{i,j-1}^{t}}{2\Delta y}}\right]=-gh_{i,j}^{t}b_{x.i,j}$

${\dfrac {(hv)_{i,j}^{t+\Delta t}-(hv)_{i,j}^{t}}{\Delta t}}+\left[{\dfrac {(huv)_{i+1,j}^{t}-(huv)_{i-1,j}^{t}}{2\Delta x}}\right]+\left[{\dfrac {(hv^{2}+1/2gh^{2})_{i,j+1}^{t}-(hv^{2}+1/2gh^{2})_{i,j-1}^{t}}{2\Delta y}}\right]=-gh_{i,j}^{t}b_{y.i,j}$

Resolvendo pelo método de FTCS (para frente no tempo) e ajustando aos limites de estabilidade, temos como resultado:

.... aqui gráfico ....

Para esse desenvolvimento encontramos algumas dificuldades para resolução do sistema de equações.