Modelo de agentes de distribuição de riquezas

Grupo: Bernardo Boatini, Murilo Kessler Azambuja e Natália Ferrazzo

Introdução

A física estatística, em particular a teoria cinética dos gases, fornece uma estrutura útil para descrever a complexidade das interações de mercado. Da mesma forma que um sistema físico composto de muitas partículas trocando energia via colisões binárias, os Modelos de Troca de Cinética consideram um conjunto de agentes econômicos interagentes que trocam de forma binária uma quantidade conservada chamada de riqueza.

Modelo

Para iniciar a discussão, vamos supor um sistema com $N$ agentes, onde o agente $i$ é caracterizado pela riqueza $w_{i}(t)$ e pelo fator de aversão-a-riscos $\beta _{i}$ no tempo $t$. Podemos então definir uma troca de riqueza entre os agentes $i$ e $j$ —selecionados aleatoriamente, supondo que $i$ ganha uma riqueza $\Delta w$ de $j$—, como

$w_{i}(t+1)=w_{i}(t)+\Delta w\qquad w_{j}(t+1)=w_{j}(t)-\Delta w.$

Para decidir quem ganha e quem perde riqueza durante a interação entre agentes, utiliza-se uma probabilidade de favorecer o agente mais pobre, evitando assim a condensação, i.e., o acúmulo de toda riqueza disponível em apenas um ou poucos agentes . Esta probabilidade é dada por

$p={\frac {1}{2}}+f\times {\frac {|w_{i}(t)-w_{j}(t)|}{w_{i}(t)+w_{j}(t)}},\qquad (1)$

onde $f$ é chamado de fator de proteção social, que varia de $0$ —mesma probabilidade de ganho de riqueza para ambos os agentes— até $1/2$ —máxima probabilidade de favorecer o agente mais pobre—. Desta forma, a probabilidade do agente mais pobre ganhar a quantidade $\Delta w$ em uma interação entre agentes é $p$, enquanto que a probabilidade do agente mais rico ganhar a mesma quantidade $\Delta w$ é $1-p$. Além disso, vemos na equação (1) que quanto maior a desigualdade de riqueza ($w_{i}(t)-w_{j}(t)$), maior é a atuação de $f$. Isso nos mostra que o fator de proteção social é uma forma de simular a aplicação políticas sociais que favorecem a distribuição de renda na população.

Uma vez sorteado qual agente ganha e qual perde na interação, deve-se determinar qual será a quantidade $\Delta w$ a ser trocada por ambos. Existem diversas formas de se determina-la (algumas delas encontram-se de forma detalhada em ), porém neste trabalho focaremos na regra do mínimo e na regra do perdedor, enunciadas abaixo.

Regra do Mínimo

Nesta regra, temos que a quantidade de riqueza trocada entre os agentes é definida como

$\Delta w=min[(1-\beta _{i})w_{i}(t);(1-\beta _{j})w_{j}].\qquad (2)$

Esta regra muitas vezes também é chamada de regra justa, pois a quantidade de riqueza trocada entre os agentes é a mesma, independente do ganhador, logo nenhum dos agentes é favorecido.

Regra do Perdedor

Neste caso, para tentar evitar condensações, temos que $\Delta w$ é obtido apenas pela quantia arriscada pelo perdedor, desta forma temos

$\Delta w=(1-\beta _{j})w_{j}(t),\qquad (3)$

lembrando que $j$ é o agente perdedor. Desta forma, a quantidade de riqueza a ser trocada será sempre proporcional à fortuna de $j$ (i.e., $w_{j}(t)$) e regulada por quanto o agente está disposto a arriscar ($\beta _{j}$), tornando a interação entre os agentes muito mais favorável para o perdedor.

Coeficiente de Gini

O Coeficiente de Gini é um índice frequentemente utilizado por economistas e organizações estatísticas para mensurar quantitativamente a desigualdade de distribuição de renda em uma determinada região. Ele é definido como

$G(t)={\frac {1}{2}}{\frac {\Sigma _{i,j}|w_{i}(t)-w_{j}(t)|}{N\Sigma _{i}w_{i}(t)}}.\qquad (4)$

O índice de Gini varia de 0, quando todos os agentes possuem a mesma riqueza (i.e., desigualdade mínima), até 1, quando toda riqueza está concentrada em apenas um agente (i.e, desiguladade máxima). Este coeficiente é utilizado tanto para medir a desigualdade na distribuição de renda dos agentes da simulação, quanto como uma medida de dispersão, para determinar a estabilidade da distribuição de riqueza .

Evolução temporal com fator de proteção social constante

Figura 1 - Evolução temporal para $\beta \in [0,0.9]$ utilizando a regra do perdedor sem fator de proteção social. O número de interagentes é $N=10000$ e foi realizado a média de $G$ sobre 5 ensambles.