Modelo de Potts 2D: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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O algoritmo de banho térmico, assim como o metropolis, é um algoritmo em que mudamos um spin por vez. O algoritmo segue as seguintes etapas: primeiro escolhemos um spin na rede (<math>i</math>), e independente do seu valor atual, escolhemos um novo valor para <math>s_i</math>. Esse novo valor será aceito, ou não, de acordo com os pesos de Boltzmann. Temos que no algoritmo de Banho Térmico nós atribuímos um valor <math>n</math>, entre 1 e <math>q</math>, ao spin com uma probabilidade
O algoritmo de banho térmico, assim como o metropolis, é um algoritmo em que mudamos um spin por vez. O algoritmo segue as seguintes etapas: primeiro escolhemos um spin na rede (<math>i</math>), e independente do seu valor atual, escolhemos um novo valor para <math>s_i</math>. Esse novo valor será aceito, ou não, de acordo com os pesos de Boltzmann. Temos que no algoritmo de Banho Térmico nós atribuímos um valor <math>n</math>, entre 1 e <math>q</math>, ao spin com uma probabilidade


<math>A(\mu \rightarrow \nu) = \frac{e^{-\beta E_{\nu}}}{\sum_{m=1}^q e^{-\beta E_m}}  </math>,
<math>A(\mu \rightarrow \nu) = \frac{e^{-\beta E_{\nu}}}{\sum_{m=1}^q e^{-\beta E_m}}  ,</math>


onde <math>E_n</math> é a energia do sistema quando <math>s_i = n</math> e o somatório é dado em todas energias possíveis. Pelo fato desse algoritmo permitir que o spin assuma qualquer valor ele satisfaz a condição de ergodicidade. Temos que <math>A(\mu \rightarrow \nu) = a_{\nu}</math> e <math>A(\nu \rightarrow \mu) = a_{\mu}</math>, assim, pela descrição do algoritmo temos
onde <math>E_n</math> é a energia do sistema quando <math>s_i = n</math> e o somatório é dado em todas energias possíveis. Pelo fato desse algoritmo permitir que o spin assuma qualquer valor ele satisfaz a condição de ergodicidade. Temos que <math>A(\mu \rightarrow \nu) = a_{\nu}</math> e <math>A(\nu \rightarrow \mu) = a_{\mu}</math>, assim, pela descrição do algoritmo temos


<math>\frac{A(\mu \rightarrow \nu)}{A(\nu \rightarrow \mu)} = \frac{a_{\nu}}{a_{\mu}} = \frac{e^{-\beta E_{\nu}}}{\sum_{m=1}^q e^{-\beta E_m}}  \times \frac{\sum_{m=1}^q e^{-\beta E_m}}{e^{-\beta E_{\mu}}} = e^{-\beta \Delta E}</math>
<math>\frac{A(\mu \rightarrow \nu)}{A(\nu \rightarrow \mu)} = \frac{a_{\nu}}{a_{\mu}} = \frac{e^{-\beta E_{\nu}}}{\sum_{m=1}^q e^{-\beta E_m}}  \times \frac{\sum_{m=1}^q e^{-\beta E_m}}{e^{-\beta E_{\mu}}} = e^{-\beta \Delta E}.</math>


Ou seja, o algoritmo de banho térmico respeita a condição de balanço detalhado.  
Ou seja, o algoritmo de banho térmico respeita a condição de balanço detalhado.  
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=== Aplicação ===
=== Aplicação ===


Neste trabalho, o modelo de Potts foi estudado em uma rede quadrada 2D com vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos e condições de contorno periódicas. A quantidade de spins no modelo é <math>N = L\times L</math> com interações ferromagnéticas e <math>J = 1</math>, favorecendo vizinhanças de spins que compartilham o mesmo valor de <math>q</math> para minimizar a energia do sistema. Em cada passo temporal, são realizadas <math>L^2</math> iterações do algoritmo de aceitação do Metropolis ou Banho Térmico. Definimos Passo de Monte Carlo (MCS) cada um desses passos temporais. Em cada passo de Monte Carlo, todos os sítios tem a probabilidade de  tentar realizar uma troca.
Neste trabalho, o modelo de Potts foi estudado em uma rede quadrada 2D com vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos e condições de contorno periódicas. A quantidade de spins no modelo é <math>N = L\times L</math> com interações ferromagnéticas e <math>J = 1</math>, favorecendo vizinhanças de spins que compartilham o mesmo valor de <math>q</math> para minimizar a energia do sistema. Em cada passo temporal, são realizadas <math>L^2</math> iterações do algoritmo de aceitação do Metropolis ou Banho Térmico. Definimos Passo de Monte Carlo (MCS) como cada um desses passos temporais. Em cada passo de Monte Carlo, todos os sítios tem a probabilidade de  tentar realizar uma troca.


== Resultados ==
== Resultados ==
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<source lang=C>
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sitio[L*L]
int sitio[L*L];
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Uma praticidade que ganhamos com isso é que diminuímos as componentes que precisamos utilizar para diferenciar cada sítio na rede, sendo necessário apenas um número aleatório identificar o sítio. Outra sugestão é criar uma matriz de vizinhos, pois nas simulações desses sistemas geralmente precisamos saber a configuração deles. Nos vizinhos criaremos um "array" bidimensional, uma coordenada indicará o sitio que queremos e a outra indicará qual dos quatro vizinhos estamos lidando:
Uma praticidade que ganhamos com isso é que diminuímos as componentes que precisamos utilizar para diferenciar cada sítio na rede, sendo necessário apenas um número aleatório para identificar o sítio. Outra sugestão é criar uma matriz de vizinhos, pois nas simulações desses sistemas geralmente precisamos saber a configuração deles. Nos vizinhos criaremos um "array" bidimensional, uma coordenada indicará o sitio que queremos e a outra indicará qual dos quatro vizinhos estamos lidando:


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Então por lidarmos com os nossos sítios em um "array" unidimensional e condições periódicas utilizamos de fórmulas que guardarão a posição de cada vizinho nessa matriz.
Então por lidarmos com os nossos sítios em um "array" unidimensional e condições periódicas utilizamos as seguintes relações que determinam a posição de cada vizinho nessa matriz.


<source lang=C>
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=== Redução de "if"s ===
=== Redução de "if"s ===


No Modelo de Potts nós possuímos uma delta de Kronecker. Iremos subtrair <math>J</math> da nossa energia se o valor do sítio for igual ao de um vizinho. O jeito mais lógico de se pensar em simular essa parte do sistema é utilizando de condicionais "if/else", da forma
No Modelo de Potts nós possuímos uma delta de Kronecker. Iremos subtrair <math>J</math> da nossa energia se o valor do sítio for igual ao de um vizinho. A maneira mais direta de se pensar em simular essa parte do sistema é utilizando condicionais "if/else", da forma


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Assim obtemos um melhor desempenho computacional, já que não temos uma grande quantidade de "if"" no código. Também utilizamos de uma forma mais clara a delta de kronecker do nosso hamiltoniano.
Assim obtemos um melhor desempenho computacional, já que não temos uma grande quantidade de "if"" no código. Também utilizamos de forma mais clara a delta de kronecker do nosso hamiltoniano.


=== Função de Visualização ===
=== Função de Visualização ===
Linha 195: Linha 195:
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Onde a função recebe o sitio utilizando um "pipe" redirecionamos a saida diretamente para a o gnuplot. Podemos também não querer plotar sempre, assim definimos uma diretiva que responde a compilação do programa
onde a função recebe o sitio. Utilizando um "pipe" redirecionamos a saida diretamente para a o gnuplot. Podemos também não querer plotar sempre, assim definimos uma diretiva que responde a compilação do programa


<source lang=C>
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Assim, se na linha de compilação tiver a opção <source lang=sh> -DVIEW </source> o programa ira, a cada 10mcs, plotar a configuração do sistema. Essa opção as vezes se torna importante para visualizar se nosso sistema esta evoluindo da forma que estamos esperando.
Assim, se na linha de compilação tiver a opção <source lang=sh> -DVIEW </source> o programa irá, a cada <math>10 mcs</math>, plotar a configuração do sistema. Essa opção as vezes se torna importante para visualizar se nosso sistema esta evoluindo da forma que estamos esperando.




Linha 218: Linha 218:
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Onde ''prog.c'' é o programa que deseja utilizar. É necessário que o programa e a biblioteca com funções para MC estejam na mesma pasta no momento da compilação. E execute da seguinte maneira
Onde ''prog.c'' é o programa que deseja utilizar. É necessário que o programa e a biblioteca com funções para simulações de Monte Carlo estejam no mesmo diretório no momento da compilação. Execute da seguinte maneira


<source lang=sh>
<source lang=sh>
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Entretanto com a visualização no gnuplot o programa pode demorar mais para executar, então é recomendado diminuir os tempos de transiente (''TRAN'') e medidas (''TMAX'').
Entretanto com a visualização no gnuplot o programa demora mais para executar, então é recomendado diminuir os tempos de transiente (''TRAN'') e medidas (''TMAX'') caso se queira observar a simulação inteira.


O script possui alguns exemplos de execução através de diferentes estados e temperaturas do sistema. Copie o conteudo em um arquivo e então o deixar executável:
O script possui alguns exemplos de execução através de diferentes estados e temperaturas do sistema. Copie o conteudo em um arquivo e então o deixar executável:

Edição das 14h30min de 17 de maio de 2021

Modelo de Potts

O Modelo

O "modelo de Potts de Q-estados" trata de um sistema de rede com N spins interagentes , onde um spin pode assumir valores discretos . Cada spin do sistema está limitado a interagir com outros spins em sua vizinhança e a energia da interação entre dois spins e é dada pelo potencial

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V(s_i,s_j) = -J\delta{(s_i,s_j)} }

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta{(s_i,s_j)}} é a função delta de Kronecker e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J} é a constante de interação entre os spins. Dessa maneira, a interação entre dois spins vizinhos contabiliza um valor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -J} de energia ao sistema apenas se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i = s_j} . A hamiltoniana do sistema é dada pela soma entre todas as interações entre spins vizinhos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H} = -J\sum_{\langle i,j \rangle}{\delta{(s_i,s_j)}}}

Este modelo é tido como uma generalização natural do Modelo de Ising e para o caso Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q = 2} ambos modelos são equivalentes a menos de uma constante:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}_{ising} = \mathcal{H}_{potts} + \sum_{\langle i,j \rangle}\frac{J}{2} = -\frac{J}{2}\sum_{\langle i,j \rangle}[2\delta(s_i,s_j) - 1] }

Nesse caso, a interação entre dois spins Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_j} assume a mesma dinâmica do modelo de Ising a contribuição para a energia do sistema será

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V(s_i,s_j) = \begin{cases} -\frac{J}{2}, \quad \text{se } s_i = s_j \\ \frac{J}{2}, \quad \text{se } s_i \neq s_j \end{cases}}

Motivações

Método de Monte Carlo

O método de Monte Carlo é aplicado ao modelo de Potts com o objetivo de gerar estados de equilíbrio para medir os observáveis do sistema. Os Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} spins são iniciados com valores aleatórios de Q na rede e o método de Monte Carlo escolhe arbitrariamente um spin Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i} e gera um novo valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q\in Q | q \neq s_i} para o spin. A partir disso, através de algum algoritmo específico, se escolhe como os estados serão gerados e quais serão aceitos ou não para o sistema transicionar, respeitando as condições de balanço detalhado e ergodicidade das cadeias markovianas. Para este trabalho, foram estudados os algoritmos de Metropolis-Hasting e o algoritmo de banho térmico.

Algorítmo de Metropolis-Hasting

O primeiro algoritmo utilizado para gerar as configurações do sistema foi o algoritmo de Metropolis-Hasting. O algoritmo escolhe repetidamente um novo estado para o sistema Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} e aceitando ou rejeitando ele de acordo com uma probabilidade de aceitação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(\mu \rightarrow \nu)} de transitar de um estado antigo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} para o novo estado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} . O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins.

Temos que a condição de balanceamento detalhado é dada por [1]:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{A(\mu \rightarrow \nu)}{A(\nu \rightarrow \mu)} = e^{-\beta \Delta E}, \qquad (3)}

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta E = E_\nu - E_\mu} é a diferença de energia entre o novo e o antigo estado.

Vamos supor que tenhamos os estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} e que temos a relação de energias: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_\mu < E_\nu} . Então, a maior das duas chances de aceitação é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(\nu \rightarrow \mu)} , portanto iremos igualar essa probabilidade a 1. Para que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (3)} seja respeitada, iremos definir o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(\mu \rightarrow \nu)} como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-\beta \Delta E}} . Temos, assim, o algoritmo de Metropolis-Hasting:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(\mu \rightarrow \nu) = \begin{cases} e^{-\beta \Delta E}, \qquad \text{se } \Delta E > 0\\\\ 1, \qquad \qquad \text{caso contrario}. \end{cases}}

Dessa forma, sempre que tivermos um estado cuja energia seja menor do que a do estado atual, iremos aceitar a transição, mas se a energia for maior, teremos uma pequena probabilidade de trocarmos de estado.

Algoritmo de Banho Térmico

O algoritmo de Metropolis-Hasting para inversão única de spins é eficaz para o modelo de Potts em baixos valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} ou temperaturas acima da temperatura crítica, entretanto para valores altos de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} ou baixas temperaturas o algoritmo falha em convergir o sistema rapidamente para o estado estacionário.

Considerando um caso onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q = 100} e um spin que possui 4 vizinhos, se todos os vizinhos do spin possuem valores diferentes uns do outro e do próprio spin, poderá levar em média Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 100/4 = 25} passos de Monte Carlo para sortear um novo valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} que tem a transição aceita, e dessa forma o algoritmo irá demorar mais tempo para alcançar a configuração de equilíbrio do sistema. A dificuldade de aceitar transições é maior ainda para baixas temperaturas, onde a probabilidade de transicionar para um novo estado tem um peso maior para qualquer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} diferente dos spins da vizinhança, dessa maneira poderá demorar 96 passos para gerar um spin que seja igual a algum spin da vizinhança e realizar a transição. Para contornar este problema podemos utilizar o algoritmo de banho térmico.

O algoritmo de banho térmico, assim como o metropolis, é um algoritmo em que mudamos um spin por vez. O algoritmo segue as seguintes etapas: primeiro escolhemos um spin na rede (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} ), e independente do seu valor atual, escolhemos um novo valor para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i} . Esse novo valor será aceito, ou não, de acordo com os pesos de Boltzmann. Temos que no algoritmo de Banho Térmico nós atribuímos um valor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} , entre 1 e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} , ao spin com uma probabilidade

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(\mu \rightarrow \nu) = \frac{e^{-\beta E_{\nu}}}{\sum_{m=1}^q e^{-\beta E_m}} ,}

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_n} é a energia do sistema quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i = n} e o somatório é dado em todas energias possíveis. Pelo fato desse algoritmo permitir que o spin assuma qualquer valor ele satisfaz a condição de ergodicidade. Temos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(\mu \rightarrow \nu) = a_{\nu}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(\nu \rightarrow \mu) = a_{\mu}} , assim, pela descrição do algoritmo temos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{A(\mu \rightarrow \nu)}{A(\nu \rightarrow \mu)} = \frac{a_{\nu}}{a_{\mu}} = \frac{e^{-\beta E_{\nu}}}{\sum_{m=1}^q e^{-\beta E_m}} \times \frac{\sum_{m=1}^q e^{-\beta E_m}}{e^{-\beta E_{\mu}}} = e^{-\beta \Delta E}.}

Ou seja, o algoritmo de banho térmico respeita a condição de balanço detalhado.

Veremos que para valores pequenos de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} (como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q = 2} , que é o modelo de Ising), o algoritmo de Metropolis é mais eficiente. Porém, para valores altos de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} ou altas temperaturas o algoritmo de banho térmico é mais eficiente.

Aplicação

Neste trabalho, o modelo de Potts foi estudado em uma rede quadrada 2D com vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos e condições de contorno periódicas. A quantidade de spins no modelo é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N = L\times L} com interações ferromagnéticas e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J = 1} , favorecendo vizinhanças de spins que compartilham o mesmo valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} para minimizar a energia do sistema. Em cada passo temporal, são realizadas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^2} iterações do algoritmo de aceitação do Metropolis ou Banho Térmico. Definimos Passo de Monte Carlo (MCS) como cada um desses passos temporais. Em cada passo de Monte Carlo, todos os sítios tem a probabilidade de tentar realizar uma troca.

Resultados

Otimizações Computacionais

Essa seção é focada em algumas otimizações computacionais que podemos fazer ao simular sistemas de rede. Os "snippets" de códigos estão em C, mas a ideia pode ser adaptada para qualquer linguagem de programação.

Redes

Uma boa sugestão ao criar a topologia do sistema é utilizar um "array" unidimensional ao invés de bidimensional. Como estamos falando de uma rede quadrada de tamanho Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L \times L = L^2} podemos fazer 

int sitio[L*L];

no lugar de 

int sitio[L][L];

Uma praticidade que ganhamos com isso é que diminuímos as componentes que precisamos utilizar para diferenciar cada sítio na rede, sendo necessário apenas um número aleatório para identificar o sítio. Outra sugestão é criar uma matriz de vizinhos, pois nas simulações desses sistemas geralmente precisamos saber a configuração deles. Nos vizinhos criaremos um "array" bidimensional, uma coordenada indicará o sitio que queremos e a outra indicará qual dos quatro vizinhos estamos lidando: 

int viz[L*L][4];

Então por lidarmos com os nossos sítios em um "array" unidimensional e condições periódicas utilizamos as seguintes relações que determinam a posição de cada vizinho nessa matriz. 

for(i=0; i<L*L; i++)
{
        viz[i][0] = (i-L+(L*L))%(L*L);
        viz[i][1] = (i+1)%L + (i/L)*L;
        viz[i][2] = (i+L)%(L*L);
        viz[i][3] = (i-1+L)%L + (i/L)*L;
}

Assim, se necessitarmos comparar com apenas um vizinho utilizamos o numero correspondente a ele, e se precisarmos comparar com todos podemos fazer um "loop". Lembrando que esse "array" guarda a posição dos vizinhos, se quisermos, por exemplo, associar um valor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} ao vizinho 3 do sítio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} fazemos da forma 

sitio[viz[i][3]] = q;


Redução de "if"s

No Modelo de Potts nós possuímos uma delta de Kronecker. Iremos subtrair Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J} da nossa energia se o valor do sítio for igual ao de um vizinho. A maneira mais direta de se pensar em simular essa parte do sistema é utilizando condicionais "if/else", da forma 

for(int j=0; j<_Q; j++)
{
        for(int k=0; k<4; k++)
        {
                E1 = 0;
                if(j==spin[neigh[site][k]])
                {
                        E1-=J;
                }
        }
                 E2 += exp(-E1/(KB*_TEMP));
}

Entretanto, Para valores grandes de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} esses condicionais "if"s resultarão em um alto custo computacional. Como temos uma delta de Kronecker no sistema podemos utilizar dela dentro do programa. Primeiro definimos o array bidimensional como a delta de kronecker da forma 

for(i=0; i<_Q; i++)
{
        for(j=0; j<_Q; j++)
        {
                if(i==j)
                {
                        kronecker[i][j] = 1;
                }
                else
                {
                        kronecker[i][j] = 0;
                }
        }
}

Note que utilizamos "if/else", porém essa parte do código executa apenas uma vez. E então usamos esse "array" para otimizar as comparações: 

for(j=0; j<_Q; j++)
{
        E1 = 0;

        for(k=0; k<4; k++)
        {
                E1-=J*kronecker[j][spin[neigh[site][k]]];
        }

        E2 += exp(-E1/(KB*_TEMP));
}

Assim obtemos um melhor desempenho computacional, já que não temos uma grande quantidade de "if"" no código. Também utilizamos de forma mais clara a delta de kronecker do nosso hamiltoniano.

Função de Visualização

Podemos estar interessados em ver a evolução do nosso sistema. Podemos plotar diretamente do programa sem gerar os dados e plotar depois. Definimos essa função da forma 

void visualize(int *spin)
{
        int i;
        printf("unset xtics\nunset ytics\n");
        printf("set size square\n");
        printf("set xrange [0:%d]\nset yrange [0:%d]\n",L-1,L-1);
        printf("pl '-' matrix w image\n");
        for(i=L2-1; i>=0; i--)
        {
                printf("%d ", spin[i]);
                if(i%L == 0)
                {
                        printf("\n");
                }
        }

        printf("e\n\n");
}

onde a função recebe o sitio. Utilizando um "pipe" redirecionamos a saida diretamente para a o gnuplot. Podemos também não querer plotar sempre, assim definimos uma diretiva que responde a compilação do programa 

#ifdef VIEW     
        if(mcs % 10 == 0)
        {
                printf("set title 'T = %d MCS'\n", mcs);
                visualize(spin);
        }
#endif

Assim, se na linha de compilação tiver a opção 

 -DVIEW

o programa irá, a cada Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 10 mcs} , plotar a configuração do sistema. Essa opção as vezes se torna importante para visualizar se nosso sistema esta evoluindo da forma que estamos esperando.


Programas Utilizados

Programas na linguagem C. Para utilizar os programas, abra o terminal e compile da forma 

$ gcc prog.c -lm

Onde prog.c é o programa que deseja utilizar. É necessário que o programa e a biblioteca com funções para simulações de Monte Carlo estejam no mesmo diretório no momento da compilação. Execute da seguinte maneira 

$ ./a.out Q TEMP

onde o segundo termo é o estado Q do sistema e o terceiro é a temperatura do sistema. Os programas possuem uma diretiva de compilação para visualização do sistema ao decorrer da execução. Para utilizar é necessário ter o gnuplot [2] instalado e compilar da forma 

$ gcc -DVIEW prog.c -lm

e então executar da maneira 

$ ./a.out Q TEMP | gnuplot

Entretanto com a visualização no gnuplot o programa demora mais para executar, então é recomendado diminuir os tempos de transiente (TRAN) e medidas (TMAX) caso se queira observar a simulação inteira.

O script possui alguns exemplos de execução através de diferentes estados e temperaturas do sistema. Copie o conteudo em um arquivo e então o deixar executável: 

$ chmod +x script.sh

e então com o programa compilado pode executar da forma 

$ ./script.sh


Potts Metropolis

Potts Banho Térmico

Biblioteca com funções em C para simulações de Monte Carlo

Script em bash para gerar os dados

Referências

  1. ↑ M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.
  2. ↑ https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Gnuplot
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