Modelo de Potts 2D

Modelo de Potts

O "modelo de Potts de Q-estados" trata de um sistema de rede com N spins interagentes $s=\{s_{1},s_{2},..s_{i},...s_{N}\}$, onde um spin $s_{i}$ pode assumir valores discretos $q\in {\{0,1,2,...,Q-2,Q,Q-1\}}$. Cada spin do sistema está limitado a interagir com outros spins em sua vizinhança e a energia da interação entre dois spins $s_{i}$ e $s_{j}$ é dada pelo potencial

$V(s_{i},s_{j})=-J\delta {(s_{i},s_{j})}$

onde $\delta {(s_{i},s_{j})}$ é a função delta de Kronecker e $J$ é a constante de interação entre os spins. Dessa maneira, a interação entre dois spins vizinhos contabiliza um valor $-J$ de energia ao sistema apenas se $s_{i}=s_{j}$. A hamiltoniana do sistema é dada pela soma entre todas as interações entre spins vizinhos:

${\mathcal {H}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\delta {(s_{i},s_{j})}}$

Este modelo é tido como uma generalização natural do Modelo de Ising e para o caso $Q=2$ ambos modelos são equivalentes a menos de uma constante:

${\mathcal {H}}_{ising}={\mathcal {H}}_{potts}+\sum _{\langle i,j\rangle }{\frac {J}{2}}=-{\frac {J}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }[2\delta (s_{i},s_{j})-1]$

Nesse caso, a interação entre dois spins $s_{i}$ e $s_{j}$ assume a mesma dinâmica do modelo de Ising a contribuição para a energia do sistema será

$V(s_{i},s_{j})={\begin{cases}-{\frac {J}{2}},\quad {\text{se }}s_{i}=s_{j}\\{\frac {J}{2}},\quad {\text{se }}s_{i}\neq s_{j}\end{cases}}$

Neste trabalho, o modelo de Potts foi estudado em uma rede quadrada 2D com vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos e condições de contorno periódicas. A quantidade de spins no modelo é $N=L\times L$ com interações ferromagnéticas e $J=1$, favorecendo vizinhanças de spins que compartilham o mesmo valor de $q$ para minimizar a energia do sistema.

Método de Monte Carlo

O método de Monte Carlo é aplicado ao modelo de Potts com o objetivo de gerar estados de equilíbrio para medir os observáveis do sistema. Os $N$ spins são iniciados com valores aleatórios de Q na rede e o método de Monte Carlo escolhe arbitrariamente um spin $s_{i}$ e gera um novo valor de $q\in Q|q\neq s_{i}$ para o spin. A partir disso, através de algum algoritmo específico, se escolhe como os estados serão gerados e quais serão aceitos ou não para o sistema transicionar, respeitando as condições de balanço detalhado e ergodicidade das cadeiras markovianas. Para este trabalho, foram estudados os algoritmos de Metropolis-Hasting e o algoritmo de banho térmico.

Algorítmo de Metropolis-Hasting

O primeiro algoritmo utilizado para gerar as configurações do sistema foi o algoritmo de Metropolis-Hasting. O algoritmo escolhe repetidamente um novo estado para o sistema $\nu$ e aceitando ou rejeitando ele de acordo com uma probabilidade de aceitação $A(\mu \rightarrow \nu )$ de transitar de um estado antigo $\mu$ para o novo estado $\nu$. O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins.

Temos que a condição de balanceamento detalhado é dada por :

${\frac {A(\mu \rightarrow \nu )}{A(\nu \rightarrow \mu )}}=e^{-{\frac {\Delta E}{k_{B}T}}},\qquad (3)$

onde $\Delta E=E_{\nu }-E_{\mu }$ é a diferença de energia entre o novo e o antigo estado.

Vamos supor que tenhamos os estados $\mu$ e $\nu$ e que temos a relação de energias: $E_{\mu }<E_{\nu }$. Então, a maior das duas chances de aceitação é $A(\nu \rightarrow \mu )$, portanto iremos igualar essa probabilidade a 1. Para que $(3)$ seja respeitada, iremos definir o valor de $A(\mu \rightarrow \nu )$ como $e^{-{\frac {\Delta E}{k_{B}T}}}$. Temos, assim, o algoritmo de Metropolis-Hasting:

$A(\mu \rightarrow \nu )={\begin{cases}e^{-{\frac {\Delta E}{k_{B}T}}},\qquad {\text{se }}\Delta E>0\\\\1,\qquad \qquad {\text{caso contrario}}.\end{cases}}$

Dessa forma, sempre que tivermos um estado cuja energia seja menor do que a do estado atual, iremos aceitar a transição, mas se a energia for maior, teremos uma pequena probabilidade de trocarmos de estado.

Algoritmo de Banho Térmico

O algoritmo de Metropolis-Hasting para inversão única de spins é eficaz para o modelo de Potts em baixos valores de $Q$ ou temperaturas acima da temperatura crítica, entretanto para valores altos de $Q$ ou baixas temperaturas o algoritmo falha convergir o sistema rapidamente para a situação de equilíbrio.

Considerando um caso onde $Q=100$ e um spin que possui 4 vizinhos, se todos os vizinhos do spin possuem valores diferentes uns do outro e do próprio spin, poderá levar em média $100/4=25$ passos de Monte Carlo para sortear um novo valor de $q$ que tem a transição aceita, e dessa forma o algoritmo irá demorar mais tempo para alcançar a configuração de equilíbrio do sistema. A dificuldade de aceitar transições é maior ainda para baixas temperaturas, onde a probabilidade de transicionar para um novo estado tem um peso maior para qualquer $q$ diferente dos spins da vizinhança, dessa maneira poderá demorar 96 passos para gerar um spin que seja igual a algum spin da vizinhança e realizar a transição. Para contornar este problema podemos utilizar o algoritmo de banho térmico.

O algoritmo de banho térmico, assim como o metropolis, é um algoritmo que mudaremos um spin por vez. O algoritmo segue as seguintes etapas: primeiro escolhemos um spin na rede ($i$), e independente do seu valor atual, escolhemos um novo valor para $s_{i}$. Esse novo valor será aceito, ou não, de acordo com a proporção dos pesos de Boltzmann. Temos que no algoritmo de Banho Térmico nós atribuímos um valor $n$, entre 1 e $q$, ao spin com uma probabilidade

$A(\mu \rightarrow \nu )={\frac {e^{-\beta E_{\nu }}}{\sum _{m=1}^{q}e^{-\beta E_{m}}}}$

Onde $E_{n}$ é a energia do sistema quando $s_{i}=n$ e o somatório é dado em todas energias possíveis. Como com esse algoritmo pode fazer que o spin assuma qualquer valor ele satisfaz a condição de ergodicidade. Temos que $A(\mu \rightarrow \nu )=a_{\nu }$ e $A(\nu \rightarrow \mu )=a_{\mu }$, assim, pela descrição do algoritmo temos

${\frac {A(\mu \rightarrow \nu )}{A(\nu \rightarrow \mu )}}={\frac {a_{\nu }}{a_{\mu }}}={\frac {e^{-\beta E_{\nu }}}{\sum _{m=1}^{q}e^{-\beta E_{m}}}}\times {\frac {\sum _{m=1}^{q}e^{-\beta E_{m}}}{e^{-\beta E_{\mu }}}}=e^{-\beta (E_{\nu }-E_{\mu })}$

Ou seja, o algoritmo de banho térmico respeita a condição de balanço detalhado.