Modelo de Potts 2D: mudanças entre as edições
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=== Algoritmo de Banho Térmico === | === Algoritmo de Banho Térmico === | ||
O algoritmo de Metropolis-Hasting para inversão única de spins é eficaz para o modelo de Potts em baixos valores de <math>Q</math> ou temperaturas acima da temperatura crítica, entretanto para valores altos de <math>Q</math> ou baixas temperaturas o algoritmo falha em gerar estados com maiores probabilidades de transição, que são estados onde o novo valor de um spin é igual ao spin de outros spins interagentes. Considerando um caso onde <math>Q = 100</math> e um spin que possui 4 vizinhos, se todos os vizinhos do spin possuem valores diferentes uns do outro e do próprio spin, poderá levar em média <math>100/4 = 25</math> passos de Monte Carlo para sortear um | O algoritmo de Metropolis-Hasting para inversão única de spins é eficaz para o modelo de Potts em baixos valores de <math>Q</math> ou temperaturas acima da temperatura crítica, entretanto para valores altos de <math>Q</math> ou baixas temperaturas o algoritmo falha em gerar estados com maiores probabilidades de transição, que são estados onde o novo valor de um spin é igual ao spin de outros spins interagentes. | ||
Considerando um caso onde <math>Q = 100</math> e um spin que possui 4 vizinhos, se todos os vizinhos do spin possuem valores diferentes uns do outro e do próprio spin, poderá levar em média <math>100/4 = 25</math> passos de Monte Carlo para sortear um novo valor de <math>q</math> que tem a transição aceita, e dessa forma o algoritmo irá demorar mais tempo para alcançar a configuração de equilíbrio do sistema. A dificuldade de aceitar transições é maior ainda para baixas temperaturas, onde a probabilidade de transicionar para um novo estado tem um peso maior para qualquer <math>q</math> diferente dos spins da vizinhança, dessa maneira poderá demorar 96 passos para gerar um spin que seja igual a algum spin da vizinhança. Para contornar este problema podemos utilizar o algoritmo de banho térmico. | |||
Edição das 00h37min de 10 de maio de 2021
Modelo de Potts
O "modelo de Potts de Q-estados" trata de um sistema de rede com N spins interagentes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s=\{s_1,s_2,..s_i,...s_N\}} , onde um spin Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i} pode assumir valores discretos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q \in{\{0, 1, 2, ..., Q-2, Q, Q-1\}}} . Cada spin do sistema está limitado a interagir com outros spins em sua vizinhança e a energia da interação entre dois spins Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_j} é dada pelo potencial
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V(s_i,s_j) = -J\delta{(s_i,s_j)} }
onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta{(s_i,s_j)}} é a função delta de Kronecker e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J} é a constante de interação entre os spins. Dessa maneira, a interação entre dois spins vizinhos contabiliza um valor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -J} de energia ao sistema apenas se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i = s_j} . A hamiltoniana do sistema é dada pela soma entre todas as interações entre spins vizinhos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H} = -J\sum_{\langle i,j \rangle}{\delta{(s_i,s_j)}}}
Este modelo é tido como uma generalização natural do Modelo de Ising e para o caso Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q = 2} ambos modelos são equivalentes a menos de uma constante:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}_{ising} = \mathcal{H}_{potts} + \sum_{\langle i,j \rangle}\frac{J}{2} = -\frac{J}{2}\sum_{\langle i,j \rangle}[2\delta(s_i,s_j) - 1] }
Nesse caso, a interação entre dois spins Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_j} assume a mesma dinâmica do modelo de Ising a contribuição para a energia do sistema será
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V(s_i,s_j) = \begin{cases} -\frac{J}{2}, \quad \text{se } s_i = s_j \\ \frac{J}{2}, \quad \text{se } s_i \neq s_j \end{cases}}
Neste trabalho, o modelo de Potts foi estudado em uma rede quadrada 2D com vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos e condições de contorno periódicas. A quantidade de spins no modelo é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N = L\times L} com interações ferromagnéticas com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J = 1} , favorecendo vizinhanças de spins que compartilham o mesmo valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} para minimizar a energia do sistema.
Método de Monte Carlo
O método de Monte Carlo é aplicado ao modelo de Potts com o objetivo de gerar estados de equilíbrio para medir os observáveis do sistema. Neste sistema se escolhe aleatoriamente um spin Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i} e se gera um novo valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q\in Q | q \neq s_i} . A partir disso, através de algum algoritmo específico, se escolhe como os estados serão gerados e quais serão aceitos ou não para o sistema transicionar, respeitando as condições de balanço detalhado e ergodicidade. Para este trabalho foram estudados os algoritmos de Metropolis-Hasting e o algoritmo de
Algorítmo de Metropolis-Hasting
O primeiro algoritmo utilizado para gerar as configurações do sistema foi o algoritmo de Metropolis-Hasting. O algoritmo escolhe repetidamente um novo estado para o sistema Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} e aceitando ou rejeitando ele de acordo com uma probabilidade de aceitação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(\mu \rightarrow \nu)} de transitar de um estado antigo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} para o novo estado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} . O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins.
Temos que a condição de balanceamento detalhado é dada por [1]:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{A(\mu \rightarrow \nu)}{A(\nu \rightarrow \mu)} = e^{-\frac{\Delta E}{k_BT}}, \qquad (3)}
onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta E = E_\nu - E_\mu} é a diferença de energia entre o novo e o antigo estado.
Vamos supor que tenhamos os estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} e que temos a relação de energias: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_\mu < E_\nu} . Então, a maior das duas chances de aceitação é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(\nu \rightarrow \mu)} , portanto iremos igualar essa probabilidade a 1. Para que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (3)} seja respeitada, iremos definir o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(\mu \rightarrow \nu)} como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-\frac{\Delta E}{k_BT}}} . Temos, assim, o algoritmo de Metropolis-Hasting:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(\mu \rightarrow \nu) = \begin{cases} e^{-\frac{\Delta E}{k_BT}}, \qquad \text{se } \Delta E > 0\\\\ 1, \qquad \qquad \text{caso contrario}. \end{cases}}
Dessa forma, sempre que tivermos um estado cuja energia seja menor do que a do estado atual, iremos aceitar a transição, mas se a energia for maior, teremos uma pequena probabilidade de trocarmos de estado.
Algoritmo de Banho Térmico
O algoritmo de Metropolis-Hasting para inversão única de spins é eficaz para o modelo de Potts em baixos valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} ou temperaturas acima da temperatura crítica, entretanto para valores altos de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} ou baixas temperaturas o algoritmo falha em gerar estados com maiores probabilidades de transição, que são estados onde o novo valor de um spin é igual ao spin de outros spins interagentes.
Considerando um caso onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q = 100} e um spin que possui 4 vizinhos, se todos os vizinhos do spin possuem valores diferentes uns do outro e do próprio spin, poderá levar em média Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 100/4 = 25} passos de Monte Carlo para sortear um novo valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} que tem a transição aceita, e dessa forma o algoritmo irá demorar mais tempo para alcançar a configuração de equilíbrio do sistema. A dificuldade de aceitar transições é maior ainda para baixas temperaturas, onde a probabilidade de transicionar para um novo estado tem um peso maior para qualquer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} diferente dos spins da vizinhança, dessa maneira poderá demorar 96 passos para gerar um spin que seja igual a algum spin da vizinhança. Para contornar este problema podemos utilizar o algoritmo de banho térmico.
- ↑ M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.