Modelo de Potts 2D

Modelo de Potts

O "modelo de Potts de Q-estados" trata de um sistema de rede com N spins interagentes $s=\{s_{1},s_{2},..s_{i},...s_{N}\}$, onde um spin $s_{i}$ pode assumir valores discretos $q\in {\{0,1,2,...,Q-2,Q,Q-1\}}$. Cada spin do sistema está limitado a interagir com outros spins em sua vizinhança e a energia da interação entre dois spins $s_{i}$ e $s_{j}$ é dada pelo potencial

$V(s_{i},s_{j})=-J\delta {(s_{i},s_{j})}$

onde $\delta {(s_{i},s_{j})}$ é a função delta de Kronecker e $J$ é a constante de interação entre os spins. Dessa maneira, a interação entre dois spins vizinhos contabiliza um valor $-J$ de energia ao sistema apenas se $s_{i}=s_{j}$. A hamiltoniana do sistema é dada pela soma entre todas as interações entre spins vizinhos:

${\mathcal {H}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\delta {(s_{i},s_{j})}}$

Este modelo é tido como uma generalização natural do Modelo de Ising e para o caso $Q=2$ ambos modelos são equivalentes a menos de uma constante:

${\mathcal {H}}_{ising}={\mathcal {H}}_{potts}+\sum _{\langle i,j\rangle }{\frac {J}{2}}=-{\frac {J}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }(2\delta (s_{i},s_{j})-1)$

Nesse caso, a interação entre dois spins $s_{i}$ e $s_{j}$ assume a mesma dinâmica do modelo de Ising a contribuição para a energia do sistema será

$V(s_{i},s_{j})={\begin{cases}-{\frac {J}{2}},\quad {\text{se }}s_{i}=s_{j}\\{\frac {J}{2}},\quad {\text{se }}s_{i}\neq s_{j}\end{cases}}$

Neste trabalho, o modelo de Potts foi estudado em uma rede quadrada 2D com vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos. A quantidade de spins no modelo é $N=L\times L$ com interações ferromagnéticas com $J=1$, favorecendo vizinhanças de spins que compartilham o mesmo valor de $q$ para minimizar a energia do sistema.

Método de Monte Carlo

Algorítmo de Metrópolis

Para o método de Monte Carlo responsável por gerar configurações do sistema, utilizaremos o Algorítmo de Metropolis. O algoritmo funcionará escolhendo repetidamente um novo estado $\nu$ e aceitando ou rejeitando o estado de acordo com uma probabilidade de aceitação $A(\mu \rightarrow \nu )$ de transitar de um estado antigo $\mu$ para o novo estado $\nu$. O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins, onde apenas um spin será invertido aleatoriamente para termos um novo estado a ser testado. É válido notar que a dinâmica de inversão única de spins não é o que caracteriza o método de Metropolis, pois ainda poderíamos ter esse método ao utilizarmos uma dinâmica com mais spins sendo invertidos simultaneamente.

Temos que a condição de balanceamento detalhado é dada por :

${\frac {A(\mu \rightarrow \nu )}{A(\nu \rightarrow \mu )}}=e^{-{\frac {\Delta E}{k_{B}T}}},\qquad (3)$

onde $\Delta E=E_{\nu }-E_{\mu }$.

Vamos supor que tenhamos os estados $\mu$ e $\nu$ e que temos a relação de energias: $E_{\mu }<E_{\nu }$. Então, a maior das duas chances de aceitação é $A(\nu \rightarrow \mu )$, portanto iremos igualar essa probabilidade a 1. Para que $(3)$ seja respeitada, iremos definir o valor de $A(\mu \rightarrow \nu )$ como $e^{-{\frac {\Delta E}{k_{B}T}}}$. Temos, assim, o algoritmo de Metropolis:

$A(\mu \rightarrow \nu )={\begin{cases}e^{-{\frac {\Delta E}{k_{B}T}}},\qquad {\text{se }}\Delta E>0\\\\1,\qquad \qquad {\text{caso contrario}}.\end{cases}}$

Dessa forma, sempre que tivermos um estado cuja energia seja menor do que a do estado atual, iremos aceitar a transição, mas se a energia for maior, teremos uma pequena probabilidade de trocarmos de estado.