Probabilidade básica

Conceitos importantes:

• Experimento aleatório: experiência cujo resultado não é conhecido com certeza;

• Espaço amostral $\left(\mathrm{\Omega }\right)$: conjunto formado por todos os possíveis resultados um experimento aleatório;

• Eventos: subconjuntos do espaço amostral;

• Espaço equiprovável: espaço em que todos os pontos amostrais tem a mesma chance de ocorrer;

• Probabilidade de ocorrer um evento:

  • Definição clássica (a priori):

  $$P\left(A\right)=\frac{N\left(A\right)}{N\left(\mathrm{\Omega }\right)}=\frac{\text{número de resultados do evento A}}{\text{número de resultados exclusivos e igualmente possíveis}}$$

  • Definição frequentista (a posteriori):

  $$P\left(A\right)=\frac{r}{n}=\frac{\text{r vezes ocorreu o evento A}}{\text{experimento executado n vezes}}$$

  • Definição axiomática:

    • $0\le P\left(A\right)\le 1,\mathrm{\forall }A\in \mathrm{\Omega }$

    • $P\left(\mathrm{\Omega }\right)=1$

    • Se $A_1,\dots ,A_n$ são eventos mutuamente exclusivos, então: $P\left({\cup }_{i=1}^{n}A\right)={\sum }_{i=1}^{n}P\left(A\right)$

• Eventos exclusivos: $A\cap B=\oslash$:

  • Eventos complementares: $A\cap B=\oslash$ e $A\cup B=\mathrm{\Omega }$

• União dos eventos (A ou B):

$$P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cap B)$$

• Probabilidade condicional (probabilidade de ocorrer A, se ocorrer B):

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)}$$Para eventos independentes:

$$P(A|B)=P\left(A\right)$$

Então para eventos independentes temos que a probabilidade de ocorrer o evento A e B é:

$$P(A\cap B)=P\left(A\right)P\left(B\right)$$

Mas para um caso mais geral: $$P(A\cap B)=P(A|B)P\left(B\right)$$

Ou seja a probabilidade de ocorrer os dois é a probabilidade de ocorrer o evento B ($P\left(B\right)$) multiplicado pela probabilidade de ocorrer o evento A se ocorrer o evento B $P(A|B)$, ou o contrário. Como exemplo vamos analisar duas formas de encarar a probabilidade de uma presa morrer, para isso vamos definir algumas coisas:

• Os animais podem ser extintos por predação ${\mu }_{\alpha }$ e outros fatores naturais $e_{\alpha }$ (falta de alimento, idade, etc);
• Os parâmetros são definidos em $e_{\alpha }={\mu }_{\alpha }=0.2$ ;
• Será utilizada a interpretação à priori:
  • ${\mathrm{\Omega }}_e=\{e,s_0,s_1,s_2,s_3\}$, no evento $e$ a presa é extinta por outros fatores naturais e $s_j$ sobrevive.
  • ${\mathrm{\Omega }}_{\mu }=\{e,s_0,s_1,s_2,s_3\}$, onde $e$ a presa é predada e $s_j$ sobrevive.

O primeiro caso é computando a probabilidade total da presa ser extinta como $P={\mu }_{\alpha }+e_{\alpha }=0.4$. Ou seja é como se cada presa tem 40% de chance no total de ser extinta, onde desses 40%, 20% é devido a predação e 20% por outros fatores naturais. A probabilidade então de ser extinta, considerando que é dada pela união dos conjuntos que dizem respeito a ser predada $A$ e ser extinta por fatores naturais $B$ é:

$$P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$$

Temos $P(A\cap B)=0$. Então se ocorreu $B$, não pode ocorrer $A$, $P(A|B)=0$, ou vice-versa, são eventos mutuamente exclusivos. Ou seja, as combinações possíveis onde não ocorre extinção é:

$${\mathrm{\Omega }}_{ss}=\left\{\begin{array}{cccc}-& s_0{s}_1& s_0{s}_2& s_0{s}_3\\ s_1{s}_0& -& s_1{s}_2& s_1{s}_3\\ s_2{s}_0& s_2{s}_1& -& s_2{s}_3\\ s_3{s}_0& s_3{s}_1& s_3{s}_2& -\end{array}\right\}$$

Lembrando não podemos repetir os eventos, nem de extinção, nem de sobrevivência. Se retirarmos a extinção no primeiro evento não podemos retirar no segundo, por exemplo ${\mathrm{\Omega }}_{es}=\{e{s}_0,e{s}_1,e{s}_2,e{s}_3\}$ ou , ${\mathrm{\Omega }}_{se}=\{s_{0}e,s_{1}e,s_{2}e,s_{3}e\}$, então o espaço amostral total é:

$$\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_{ss}\cup {\mathrm{\Omega }}_{es}\cup {\mathrm{\Omega }}_{se}=\left\{\begin{array}{ccccc}-& e{s}_0& e{s}_1& e{s}_2& e{s}_3\\ s_{0}e& -& s_0{s}_1& s_0{s}_2& s_0{s}_3\\ s_{1}e& s_1{s}_0& -& s_1{s}_2& s_1{s}_3\\ s_{2}e& s_2{s}_0& s_2{s}_1& -& s_2{s}_3\\ s_{3}e& s_3{s}_0& s_3{s}_1& s_3{s}_2& -\end{array}\right\}$$

A probabilidade de ocorrer extinção é $\frac{8}{20}=0.4$. Outra forma de computar a probabilidade total de uma presa ser extinta, é tratar a probabilidade de ser extinta por causas naturais ($e_{\alpha }$), e a probabilidade de ser predada a cada encontro com predador (${\mu }_{\alpha }$) como eventos independentes. Portanto a probabilidade total da presa ser extinta neste cenário é $P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\right)P\left(B\right)$. Isto é:

$$\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_e\cup {\mathrm{\Omega }}_e=\left\{\begin{array}{ccccc}ee& e{s}_0& e{s}_1& e{s}_2& e{s}_3\\ s_{0}e& s_0{s}_0& s_0{s}_1& s_0{s}_2& s_0{s}_3\\ s_{1}e& s_1{s}_0& s_1{s}_1& s_1{s}_2& s_1{s}_3\\ s_{2}e& s_2{s}_0& s_2{s}_1& s_2{s}_2& s_2{s}_3\\ s_{3}e& s_3{s}_0& s_3{s}_1& s_3{s}_2& s_3{s}_3\end{array}\right\}$$

Agora a probabilidade é $\frac{9}{25}=0.36$. Que é o mesmo resultado se fazemos $P={\mu }_{\alpha }+e_{\alpha }-{\mu }_{\alpha }{e}_{\alpha }=0.36$

Principais materiais utilizados

1. Introdução à Teoria das Probabilidades (Victor Hugo Lachos Davila, UNICAMP)