Equação de Fitzhugh-Nagumo

Grupo: Bernardo Boatini, Murilo Kessler Azambuja e Natália Ferrazzo

O objetivo deste trabalho é implementar e estudar a dinâmica do modelo FitzHungh-Nagumo, e das equações que o compõem, para potenciais de ação em células e tecidos excitáveis. Os métodos computacionais utilizado para resolver os problemas e implementar o modelo foi o FTCS (Forward Time Centered Space) e o método de Crank-Nicolson.

Potencial de Ação em Neurônios

A células vivas são sistemas eletricamente sensíveis, ou seja, podem reagir a estímulos elétricos. Isso se dá devido ao fato de que substâncias carregadas estão naturalmente vinculadas a seus processos internos de interação com o ambiente, principalmente por intermédio de canais iônicos e proteínas transmebrana como, por exemplo, a Bomba de Sódio e Potássio(Bomba Na⁺/K⁺ ATPase)[1].

Naturalmente todas as células vivas possuem um potencial de repouso(PR) elétrico, ou seja, uma diferença de potencial elétrico, em relação ao meio(cerca de 0,1); mantida por um equilíbrio químico de concentração de íons dentro e fora da membrana plasmática.

Existem células que reagem estímulos elétricos apenas reestabelecendo o PR original por transporte passivo(sem gasto de energia) através da membrana, e estas são ditas células não-excitáveis.

Por outro lado, existem células que sob a ação do mesmo estímulo produzem um tipo de resposta bem característica: potencial de ação(PA); um pulso elétrico intenso(capaz de inverter a polarização do Potencial de Membrana) que se propaga ao longo da membrana da célula, sustentado por uma cadeia de transportes ativos(com gasto de energia) e que não decai ao longo do tempo e espaço; a esse tipo de células damos o nome de excitáveis[1].

Os Neurônios são as células excitáveis do tecido nervoso(que constituem o encéfalo e medula espinhal, gânglios e nervos do reino animal) e com já vimos são capazes de gerar PA. Um potencial de ação pode assumir diversos formatos, mas ao longo do axônio(Figura 1) de um neurônio eles tendem a uma curva como a da Figura 2.

Figura 1 -Representação de um potencial de ação(vermelho) ao longo de um axônio de neurônio, partindo do soma neural em direção a arvore dentrítica.

Figura 2 -Curva de um Potencial de Ação genérico no tempo, em um ponto do axônio de um neurônio.

Olhando para Figura 2 vemos alguns aspectos importantes:

• O potencial de ação necessita de um estímulo mínimo(limiar) para ser ativado, abaixo desse valor o estímulo decai como em uma célula não excitável;
• Acima desse limiar a célula segue o principio de "Tudo ou Nada", ou seja, assume o valor máximo possivel dentro de sua capacidade, independente do estímulo aplicado;
• A etapa de despolarização(crescimento) é brusca e varia mais rapidamente que a repolarização(decaimento);
• O período que contém a repolarização e hiperpolarização da membrana é chamado período refratário, e se caracteriza por não permitir que ocorra nenhum disparo até que a membrana atinja o potencial de repouso.

Modelo

Equação de Nagumo

Para iniciar a modelagem do sistema, devemos antes enfatizar três condições básicas que o potencial deve obedecer para que seja um PA:

• Deve existir um limiar de voltagem para que um estímulo desencadeie o PA;
• Uma vez atingido o limiar, a voltagem deve aumentar até o máximo possível;
• Caso o estímulo não atinja o limiar, ele deve desaparecer rapidamente.

Podemos então definir $\upsilon$ como a variável normalizada que fará o papel do potencial elétrico no axônio, sendo que $\upsilon =0$ é definido como o potencial de repouso, $\upsilon =1$ é o estímulo máximo e $\upsilon =\alpha$ é o limiar de voltagem $(0<\alpha <1)$. Desta forma podemos escrever as condições acima como

${\begin{cases}Se\ \upsilon >\alpha \Rightarrow \upsilon \rightarrow 1\\Se\ \upsilon <\alpha \Rightarrow \upsilon \rightarrow 0\\\end{cases}}$

Pode-se dizer que estas condições impõem que $v=0$ e $v=1$ sejam pontos de equilíbrio estável, enquanto $v=\alpha$ seja um ponto de equilíbrio instável.

Assim, a variação temporal do potencial elétrico na célula pode ser dada por

${\frac {\partial \upsilon }{\partial t}}=f(\upsilon )\qquad (1)$

Onde $f(\upsilon )$ é alguma função que faz $v$ satisfazer as condições do potencial.

No modelo de Nagumo, utiliza-se o polinômio de terceiro grau $f_{N}(\upsilon )=-v(v-\alpha )(v-1)$.

Substituindo $f_{N}(v)$ em $(1)$, é fácil notar que $v=0$, $v=\alpha$ e $v=1$ são pontos de equilíbrio de $v$. Por outro lado, como podemos ver na Figura 3, se $0<v<\alpha$, temos que ${\frac {\partial \upsilon }{\partial t}}<0,$ logo o valor de $v$ diminui até atingir o ponto de equilíbrio em $v=0$. Se $\alpha <v<1,$ ${\frac {\partial \upsilon }{\partial t}}>0,$ fazendo o potencial $v$ crescer até atingir o valor máximo em $v=1$. Desta forma, temos que $v=1$ e $v=0$ são pontos de equilíbrio estável, enquanto que $v=\alpha$ é um ponto de equilíbrio instável, assim como se esperava pelas condições do potencial.

Figura 3 — Curva de $f_{N}(v)\times v$ com $\alpha =0.4$

Em outras palavras, vemos o caráter "tudo ou nada" do potencial quando utilizamos o polinômio $f_{N}(v)$. Se o valor do estímulo inicial se encontrar entre $0$ e $\alpha$, o estímulo desaparece, porém se o estímulo inicial estiver entre $\alpha$ e $1$, o estímulo é amplificado até o valor máximo. Entretanto, neste modelo inicial o PA não é propagado por todo axônio, ele atua apenas localmente, onde ocorreu o estímulo. Além disso, uma vez estimulado o neurônio nunca volta para o seu estado de repouso, permanecendo no valor máximo de potencial.

Equação de Nagumo difusiva

Para resolver o problema do modelo

Método de Crank-Nicolson

(explicar o método --> Natália)

Equação de Nagumo Difusiva 1D

(aplicar o método na equação e testar estabilidade --> Natália)

Método FTCS

(explicar o método --> Murilo)

Equação de Recuperação 1D

(aplicar o método na equação e testar estabilidade --> Murilo))

Modelo FitzHung-Nagumo 2D

(aplicar o método na equação e testar estabilidade --> Bernardo)

O sistema de EDP's em 2 dimensões, assumindo uma difusão isotrópica, é dado por

${\frac {\partial v}{\partial t}}=D\left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right)+f_{N}(v)-w$

${\frac {\partial w}{\partial t}}=\epsilon \left(v-\gamma w\right)$

Como a equação de recuperação já foi discretizada, e não depende da dimensão do problema, precisamos apenas aplicar o FTCS na equação difusiva de naumo em 2D, assumindo $\Delta x=\Delta y$, temos

${\frac {v_{i,j}^{n+1}-v_{i,j}^{n}}{\Delta t}}={\frac {D}{(\Delta x)^{2}}}\left[(v_{i-1,j}^{n}-2v_{i,j}^{n}+v_{i+1,j}^{n})+(v_{i,j-1}^{n}-2v_{i,j}^{n}+v_{i,j+1}^{n})\right]+f_{Ni,j}^{n}-w_{i,j}^{n}$

$v_{l,j}^{n+1}=v_{l,j}^{n}+{\frac {D\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}\left[(v_{l-1,j}^{n}-2v_{l,j}^{n}+v_{l+1,j}^{n})+(v_{l,j-1}^{n}-2v_{l,j}^{n}+v_{l,j+1}^{n})\right]+\Delta tf_{Nl,j}^{n}-\Delta tw_{l,j}^{n}$

$v_{l,j}^{n+1}=v_{l,j}^{n}+{\frac {D\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}\left[v_{l-1,j}^{n}+v_{l+1,j}^{n}+v_{l,j-1}^{n}+v_{l,j+1}^{n}-4v_{l,j}^{n}\right]+\Delta tf_{Nl,j}^{n}-\Delta tw_{l,j}^{n}$

na qual os índices $i$ e $j$ se referem às coordenadas $x$ e $y$ respectivamente; e o índice $n$ referente ao tempo.

Vamos verificar as condições de estabilidade do problema por modos de Fourier:

• substituindo $v_{l,j}^{n}=A^{n}e^{i(xq_{x}+yq_{y})}=A^{n}e^{i\beta }$
• usando $k={\frac {D\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}$
• por simplicidade, como fizemos na seção 3.1, vamos linearizar $f_{Nl,j}^{n}\rightarrow -\alpha v_{l,j}^{n}=-\alpha A^{n}e^{i\beta }$
• por fim, desconsiderar $\Delta tw_{l,j}^{n}$

$A^{n+1}e^{i\beta }=A^{n}e^{i\beta }+kA^{n}\left[e^{i((x-\Delta x)q_{x}+yq_{y})}+e^{i((x+\Delta x)q_{x}+yq_{y})}+e^{i(xq_{x}+(y-\Delta y)q_{y})}+e^{i(xq_{x}+(y+\Delta y)q_{y})}-4e^{i\beta }\right]-\Delta t\alpha A^{n}e^{i\beta }$

$A^{n+1}e^{i\beta }=A^{n}e^{i\beta }+kA^{n}e^{i\beta }\left[e^{-i\Delta xq_{x}}+e^{i\Delta xq_{x}}+e^{-i\Delta yq_{y}}+e^{i\Delta yq_{y}}-4\right]-\Delta t\alpha A^{n}e^{i\beta }$

Dividindo os dois lados da equação por $A^{n}e^{i\beta }$ temos

${\frac {A^{n+1}}{A^{n}}}=1+k\left[e^{-i\Delta xq_{x}}+e^{i\Delta xq_{x}}+e^{-i\Delta yq_{y}}+e^{i\Delta yq_{y}}-4\right]-\Delta t\alpha$

Sabendo as seguintes identidades trigonométricas:

• $e^{-i\theta }+e^{i\theta }=2\cos(\theta )$
• $\cos(2\theta )=1-2\sin ^{2}(\theta )$

Aplicando consecutivamente a equação

${\frac {A^{n+1}}{A^{n}}}=1+2k\left[\cos(\Delta xq_{x})+\cos(\Delta yq_{y})-2\right]-\Delta t\alpha$

Resultados

Equação de Nagumo Difusiva 1D

(explicar os testes e os gráficos/animações --> Natália)

Modelo FitzHung-Nagumo 1D

(explicar os testes e os gráficos/animações --> Murilo)

Modelo FitzHung-Nagumo 2D

(explicar os testes e os gráficos/animações --> Bernardo)

Discussão

(Contextualizar resultados --> Bernardo)

Referências

• 1. Jorge A. Quillfeldt,"ORIGEM DOS POTENCIAIS ELÉTRICOS DAS CÉLULAS NERVOSAS"
• 2. Eugene M. Izhikevich and Richard FitzHugh, "FitzHugh-Nagumo model"
• 3. Gabriel Perry Natanni Garcia, "NUMERICAL SIMULATION OF THE NAGUMO EQUATION BY FINITE DIFFERENCEMETHOD"
• 4. Binbin Xu, Stéphane Binczak, Sabir Jacquir, Oriol Pont, Hussein Yahia "Parameters Analysis of FitzHugh-Nagumo Model for a Reliable Simulation"