Difusão ambipolar em plasmas: mudanças entre as edições
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== Equação da difusão ambipolar == | == Equação da difusão ambipolar == | ||
A difusão é o modo como um fluido de dilui em um meio. Estudar as equações que governam esse fenômeno e as formas de resolvê-las é de extremo interesse para a física de fluidos e de plasmas, entre outras áreas. Aqui mostramos uma resolução numérica para o caso unidimensional da difusão ambipolar de um plasma (gás formado de elétrons e íons) envolto em um gás neutro, ou seja, o caso de um plasma se espalhando por um tubo. | |||
Diferentemente de um gás de átomos/moléculas neutros(as), os plasmas são menos livres ao se moverem por causa das interações eletromagnéticas envolvidas no movimento das cargas, como a força de Coulomb e a força magnética. Na difusão de plasmas em um gás neutro, os coeficientes de difusão dos elétrons e dos íons são tipicamente dados por | |||
<math> D_e = \frac{k_bT_e}{m_e\nu_e} </math> e <math> D_i = \frac{h_bT_i}{m_i\nu_i} </math> | <math> D_e = \frac{k_bT_e}{m_e\nu_e} </math> e <math> D_i = \frac{h_bT_i}{m_i\nu_i} </math> | ||
onde <math>T_e</math>, <math>T_i</math>, <math>m_e</math>, <math>m_i</math>, <math>\nu_e</math> e <math>\nu_i</math>, são as temperaturas, massas e frequências de colisão dos elétrons e íons com os | onde <math>T_e</math>, <math>T_i</math>, <math>m_e</math>, <math>m_i</math>, <math>\nu_e</math> e <math>\nu_i</math>, são as temperaturas, massas e frequências de colisão dos elétrons e íons com os átomos neutros. | ||
Devido à massa do elétron ser muito menor que a massa de um íon, <math>D_e</math> é maior que <math>D_i</math>, então quando um plasma começa a se | Devido à massa do elétron ser muito menor que a massa de um íon, <math>D_e</math> é maior que <math>D_i</math>, então quando um plasma começa a se difundir, incialmente os elétrons se espalham mais rapidamente que os íons, o que gera um campo elétrico que freia os elétron e acelera os íons. Chamamos esse processo de difusão ambipolar. | ||
[[Arquivo: Difusao_ambipolar.png|200 px]] <ref name=esquema> http://www.enigmatic-consulting.com/semiconductor_processing/CVD_Fundamentals/plasmas/ambipolar_diffusion.html </ref> | |||
Como mostrado por Shimony e Cahn<ref name=Simony+Cahn64> Z. Shimony and J. H. Cahn, "Time-dependent ambipolar diffusion waves", The Physics of Fluids 8, 1704 (1965) </ref>, esse problema é descrito por uma equação de onda amortecida | Como mostrado por Shimony e Cahn<ref name=Simony+Cahn64> Z. Shimony and J. H. Cahn, "Time-dependent ambipolar diffusion waves", The Physics of Fluids 8, 1704 (1965) </ref>, esse problema é descrito por uma equação de onda amortecida | ||
<math>\nabla^2 n(\vec r,t) = \frac{1}{u^2} \frac{\partial^2 n(\vec r,t)}{\partial t^2} + \alpha \frac{\partial n(\vec r,t)}{\partial t} \qquad (1)</math> | <math>\nabla^2 n(\vec r,t) = \frac{1}{u^2} \frac{\partial^2 n(\vec r,t)}{\partial t^2} + \alpha \frac{\partial n(\vec r,t)}{\partial t} \qquad (1)</math> | ||
onde <math>u^2 = \nu_a D_a</math> e <math>\alpha = 1/D_a</math>, sendo \nu_a a frequência de colisão ambipolar e D_a o coeficiente de difusão ambipolar, que pode ser escrito como <math>D_a = D_i(1+T_e/T_i)</math> <ref name=Da> http://uigelz.eecs.umich.edu/classes/pub/eecs517/handouts/derivation_ambipolar_diffusion_v02.pdf </ref>. | onde <math>u^2 = \nu_a D_a</math> e <math>\alpha = 1/D_a</math>, sendo <math>\nu_a</math> a frequência de colisão ambipolar e <math>D_a</math> o coeficiente de difusão ambipolar, que pode ser escrito como <math>D_a = D_i(1+T_e/T_i)</math> <ref name=Da> http://uigelz.eecs.umich.edu/classes/pub/eecs517/handouts/derivation_ambipolar_diffusion_v02.pdf </ref>. | ||
Como tratamos do caso unidimensional, a equação 1 torna-se | |||
<math>\frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial x^2} = \frac{1}{u^2} \frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial t^2} + \alpha \frac{\partial n(x,t)}{\partial t} \qquad (2)</math> | |||
== O Método == | == O Método == | ||
A resolução numérica do problema foi baseada no artigo de Najafi e Izadi <ref name=Najafi+Izadi16> H. Najafi and F. Izadi, "Comparison of two finite-difference methods for solving the | |||
damped wave equation", viXra, 2016 </ref>. Começamos com a forma mais usual de escrever a equação da onda amortecida unidimencional | |||
<math> \frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial t^2} + 2h \frac{\partial n(x,t)}{\partial t} = c^2 \frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial x^2} \qquad (3) </math> | |||
No nosso caso <math>2h = \alpha u^2 = \nu_a</math> e <math>c^2 = u^2</math>. | |||
Discretizando as variáveis do problema, temos que | |||
<math>x_i = i\Delta x \qquad i = 0,1,2,...,I</math> | |||
<math>t_k = k\Delta t \qquad k = 0,1,2,...,K</math> | |||
Substituindo as derivadas que aparecem na equação por diferenças finitas, obtemos | |||
<math> \frac{\partial^2 n}{\partial t^2} |_i^k = \frac{n_i^{k+1} - 2n_i^k + n_i^{k-1}}{\Delta t^2} - \frac{\Delta t^2}{12}\frac{\partial^2 n}{\partial t^4}|_i^k + O(\Delta t^4) </math> | |||
<math> \frac{\partial n}{\partial t} |_i^k = \frac{n_i^{k+1} -n_i^{k-1}}{2\Delta t} - \frac{\Delta t^2}{6}\frac{\partial^3 n}{\partial t^3}|_i^k + O(\Delta t^4) </math> | |||
<math> \frac{\partial^2 n}{\partial x^2} |_i^k = \frac{n_{i+1}^k - 2n_i^k + n_{i-1}^k}{\Delta x^2} - \frac{\Delta x^2}{12}\frac{\partial^2 n}{\partial x^4}|_i^k + O(\Delta x^4) </math> | |||
Substituindo essas relações na equação 3, obtemos | |||
<math> \left[ \frac{n_i^{k+1} - 2n_i^k + n_i^{k-1}}{\Delta t^2} - \frac{\Delta t^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial t^4}|_i^k + O(\Delta t^4)\right] + 2h\left[ \frac{n_i^{k+1} -n_i^{k-1}}{2\Delta t} - \frac{\Delta t^2}{6}\frac{\partial^3 n}{\partial t^3}|_i^k + O(\Delta t^4)\right] = c^2\left[ \frac{n_{i+1}^k - 2n_i^k + n_{i-1}^k}{\Delta x^2} - \frac{\Delta x^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial x^4}|_i^k + O(\Delta x^4)\right] </math> | |||
Omitindo todos os temos de ordem <math>O{\Delta t^2,\Delta x^2}</math> e isolando <math>u_i^{k_1}</math>, obtemos | |||
<math> u_i^{k+1} = \frac{1}{1 + h\Delta t}[2(1-s)n_i^k - (1 - h\Delta t)n_i^{k-1} + s(n_{i+1}^k + n_{i-1}^k)] \qquad (4) </math> | |||
sendo <math> s = (c^2\Delta t^2/\Delta x^2) </math>. | |||
Essa é a equação para resolver o problema para <math>k \geq 1</math>, mas nessecitamos ainda de uma maneira de determinar <math>u_i^1</math> a paritr de <math>u_i^0</math>. Para isso assumimos que a função é inicialmente estacionária e fazemos | |||
<math>n_t(x,0) = 0 \Rightarrow \frac{n_i^1 - n_i^{-1}}{\Delta t} = 0 \Rightarrow n_i^1 = n_i^{-1}</math> | |||
Substituindo na equação 4 para <math>k = 0</math> obtemos | |||
<math> n_i^1 = \frac{1}{2}[2(1-s)n_i^0 + s(n_{i+1}^0 + n_{i-1}^0)] \qquad (5) </math> | |||
Com as equações 4 e 5, e tomando as devidas condições de contorno nas bordas, podemos calcular a evolução temporal da função de densidade. Esse método é estável para <math>0 \leq s \leq 1</math> e seu erro é | |||
<math> E\{n_i^k\} = - \frac{\Delta t^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial t^4}|_i^k - \frac{h\Delta t^2}{3}\frac{\partial^3 n}{\partial t^3}|_i^k + c^2\frac{\Delta x^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial x^4}|_i^k + O\{\Delta t^4, \Delta x^4\} </math> | |||
== Resultados e Discussão== | == Resultados e Discussão== | ||
Edição das 22h56min de 31 de março de 2021
Equação da difusão ambipolar
A difusão é o modo como um fluido de dilui em um meio. Estudar as equações que governam esse fenômeno e as formas de resolvê-las é de extremo interesse para a física de fluidos e de plasmas, entre outras áreas. Aqui mostramos uma resolução numérica para o caso unidimensional da difusão ambipolar de um plasma (gás formado de elétrons e íons) envolto em um gás neutro, ou seja, o caso de um plasma se espalhando por um tubo.
Diferentemente de um gás de átomos/moléculas neutros(as), os plasmas são menos livres ao se moverem por causa das interações eletromagnéticas envolvidas no movimento das cargas, como a força de Coulomb e a força magnética. Na difusão de plasmas em um gás neutro, os coeficientes de difusão dos elétrons e dos íons são tipicamente dados por
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_e = \frac{k_bT_e}{m_e\nu_e} } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_i = \frac{h_bT_i}{m_i\nu_i} }
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Como mostrado por Shimony e Cahn[2], esse problema é descrito por uma equação de onda amortecida
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2 n(\vec r,t) = \frac{1}{u^2} \frac{\partial^2 n(\vec r,t)}{\partial t^2} + \alpha \frac{\partial n(\vec r,t)}{\partial t} \qquad (1)}
onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u^2 = \nu_a D_a} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = 1/D_a} , sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu_a} a frequência de colisão ambipolar e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_a} o coeficiente de difusão ambipolar, que pode ser escrito como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_a = D_i(1+T_e/T_i)} [3].
Como tratamos do caso unidimensional, a equação 1 torna-se
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial x^2} = \frac{1}{u^2} \frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial t^2} + \alpha \frac{\partial n(x,t)}{\partial t} \qquad (2)}
O Método
A resolução numérica do problema foi baseada no artigo de Najafi e Izadi [4]. Começamos com a forma mais usual de escrever a equação da onda amortecida unidimencional
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial t^2} + 2h \frac{\partial n(x,t)}{\partial t} = c^2 \frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial x^2} \qquad (3) }
No nosso caso Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2h = \alpha u^2 = \nu_a}
e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c^2 = u^2}
.
Discretizando as variáveis do problema, temos que
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Substituindo as derivadas que aparecem na equação por diferenças finitas, obtemos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 n}{\partial t^2} |_i^k = \frac{n_i^{k+1} - 2n_i^k + n_i^{k-1}}{\Delta t^2} - \frac{\Delta t^2}{12}\frac{\partial^2 n}{\partial t^4}|_i^k + O(\Delta t^4) }
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Substituindo essas relações na equação 3, obtemos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[ \frac{n_i^{k+1} - 2n_i^k + n_i^{k-1}}{\Delta t^2} - \frac{\Delta t^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial t^4}|_i^k + O(\Delta t^4)\right] + 2h\left[ \frac{n_i^{k+1} -n_i^{k-1}}{2\Delta t} - \frac{\Delta t^2}{6}\frac{\partial^3 n}{\partial t^3}|_i^k + O(\Delta t^4)\right] = c^2\left[ \frac{n_{i+1}^k - 2n_i^k + n_{i-1}^k}{\Delta x^2} - \frac{\Delta x^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial x^4}|_i^k + O(\Delta x^4)\right] }
Omitindo todos os temos de ordem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O{\Delta t^2,\Delta x^2}} e isolando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i^{k_1}} , obtemos
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sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = (c^2\Delta t^2/\Delta x^2) } .
Essa é a equação para resolver o problema para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k \geq 1} , mas nessecitamos ainda de uma maneira de determinar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i^1} a paritr de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i^0} . Para isso assumimos que a função é inicialmente estacionária e fazemos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_t(x,0) = 0 \Rightarrow \frac{n_i^1 - n_i^{-1}}{\Delta t} = 0 \Rightarrow n_i^1 = n_i^{-1}}
Substituindo na equação 4 para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k = 0} obtemos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_i^1 = \frac{1}{2}[2(1-s)n_i^0 + s(n_{i+1}^0 + n_{i-1}^0)] \qquad (5) }
Com as equações 4 e 5, e tomando as devidas condições de contorno nas bordas, podemos calcular a evolução temporal da função de densidade. Esse método é estável para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 \leq s \leq 1} e seu erro é
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E\{n_i^k\} = - \frac{\Delta t^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial t^4}|_i^k - \frac{h\Delta t^2}{3}\frac{\partial^3 n}{\partial t^3}|_i^k + c^2\frac{\Delta x^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial x^4}|_i^k + O\{\Delta t^4, \Delta x^4\} }
Resultados e Discussão
Programas Utilizados
Referências
- ↑ http://www.enigmatic-consulting.com/semiconductor_processing/CVD_Fundamentals/plasmas/ambipolar_diffusion.html
- ↑ Z. Shimony and J. H. Cahn, "Time-dependent ambipolar diffusion waves", The Physics of Fluids 8, 1704 (1965)
- ↑ http://uigelz.eecs.umich.edu/classes/pub/eecs517/handouts/derivation_ambipolar_diffusion_v02.pdf
- ↑ H. Najafi and F. Izadi, "Comparison of two finite-difference methods for solving the damped wave equation", viXra, 2016