Modelo de Keller-Segel para relação população-economia

Grupo: Leonardo Barcelos, Luana Bianchi e Rubens Borrasca

O objetivo deste trabalho é implementar o modelo de Keller-Segel, que originalmente descreve chemotaxis: movimento de organismo em direção ou contra algum sinal químico, para um sistema englobando população e atividade econômica. O método computacional utilizado para resolver o problema e implementar o modelo foi o FTCS (Forward Time Centered Space).

Modelo de Keller-Segel

Proposto por Evelyn Fox Keller, física norte-americana, e Lee Aaron Segel, matemático também norte-americano, o modelo de Keller-Segel foi historicamente utilizado para descrever o movimento de bactérias. Introduzido primeiramente em 1970 para descrever a agregação de uma espécie de bolor limoso (ou slime mold) ameboide, Dictyostelium discoideum, o modelo se tornou um dos mais usados nos estudos biológicos-matemáticos. As células deste slime mold se comportam como amoebas individuais, e se alimentam de bactérias, mas quando a quantidade de comida fica pequena, elas se difundem pelo espaço e então se agregam em formato mais alongado, como o formato das lesmas, para uma migração de longa distância. Keller e Segel desenvolveram um modelo matemático para o processo de agregação, em que a chemotaxis tem papel crítico na auto-ormanização das células.

Baseados no que já era conhecido sobre esses organismos, Keller e Segel utilizaram as seguintes premissas:

• As células estão inicialmente distribuídas sobre o espaço de maneira mais ou menos homogênea, com algumas flutuações aleatótias;
• As células apresentam chemotaxis em direção ao sinal químico denominado cAMP (cyclic adenosine monophosphate);
• As células produzem moléculas cAMP;
• As células e as moléculas cAMP difundem pelo espaço;
• As células não morrem e não se dividem

De forma simplificada, ocultando alguns detalhes biológicos mais complicados a equação de Keller-Segel é a seguinte:

$\frac{\partial a}{\partial t}=\mu {\mathrm{\nabla }}^{2}a-\chi \mathrm{\nabla }\cdot (a\mathrm{\nabla }c)$

$\frac{\partial c}{\partial t}=D{\mathrm{\nabla }}^{2}c+fa-kc$

em que $a$ e $c$ são respectivamente as variáveis de estado para a concentração de células e a concentração de cMAP. $\mu$ é o parâmetro de mobilidade das células, $\chi$ é o parâmetro da chemotaxis celular, $D$ é a constante de difusão das moléculas cAMP, $f$ é a taxa de secreção de cMAP pelas células, e $k$ é a taxa de decaimento das moléculas cMAP.

Aplicação população-economia

De forma parecida com as premissas de Keller e Segel, os seguintes pontos são assumidos para modelar a relação entre a população e a atividade econômica:

• A população não cresce e não decresce ao longo do tempo;
• A economia é ativada por existir mais pessoas em uma região;
• Sem pessoas a atividade econômica diminui;
• População e atividade econômica difundem gradualmente;
• As pessoas são atraídas por regiões com maior atividade econômica

Traduzindo estes pontos em equações matemáticas, se obtêm as seguintes equações:

$\frac{\partial p}{\partial t}=D_p{\mathrm{\nabla }}^{2}p-\gamma \mathrm{\nabla }\cdot (p\mathrm{\nabla }m)$

$\frac{\partial m}{\partial t}=D_m{\mathrm{\nabla }}^{2}m+\alpha p-\beta m$

em que $p$ representa a população e $m$ a atividade econômica. $\alpha$ é a constante que determina a taxa de produção de atividade econômica per capita, $\beta$ é a constante da taxa de decaimento da atividade econômica, $D_p$ e $D_m$ são as constantes de difusão da população e da economia respectivamente, e $\gamma$ é a constante que afeta a velocidade média do movimento da população.

Comparando o sistema obtido com o problema original de Keller-Segel, percebe-se que se trocarmos células por pessoas e cMAP por atividade econômica os problemas ficam iguais, e até se poderia denominar como moneytaxis a migração das pessoas em direção a atividade econômica, como a chemotaxis descreve o movimento das células em direção ao cAMP.

Método FTCS

O FTCS (Forward Time Centered Space, em tradução livre significa "avançado no tempo, centrado no espaço), é um método de discretização de Equações Diferenciais Parciais(EDP). Para a derivada temporal teremos,

$\frac{\partial f}{\partial t}\to \frac{f^{n+1}-f^n}{\mathrm{\Delta }t}$

e para a parte espacial,

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial s^2}\to \frac{f_{i-1}-2f_i+f_{i+1}}{(\mathrm{\Delta }s{)}^2}$

onde $s$ é uma variável espacial qualquer $(x,y,z,...)$ e $t$ é o tempo.

Discretização do Modelo de Keller-Segel em 1D

Em 1D o sistema de equações diferenciais parciais será:

$\frac{\partial p}{\partial t}=D_p\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2}-\gamma [\frac{\partial p}{\partial x}\frac{\partial m}{\partial x}+p\frac{{\partial }^{2}m}{\partial x^2}]$

$\frac{\partial m}{\partial t}=D_m\frac{{\partial }^{2}m}{\partial x^2}+\alpha p-\beta m$

Agora utilizando a discretização FTCS teremos:

$\frac{p_i^{n+1}-p_i^n}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{D_p}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}[p_{i-1}^n-2p_i^n+p_{i+1}^n]-\frac{\gamma }{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}[(p_{i+1}^n-p_i^n)(m_{i+1}^n-m_i^n)+p_i^n(m_{i-1}^n-2m_i^n+m_{i+1}^n)]$

$\frac{m_i^{n+1}-m_i^n}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{D_m}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}[m_{i-1}^n-2m_i^n+m_{i+1}^n]+\alpha p_i^n-\beta m_i^n$

onde o sub-índice $i$ se refere à coordenada $x$; e o superíndice $n$ se refere ao tempo. Reorganizando as equações e agrupando alguns termos teremos:

$p_i^{n+1}=p_i^n[1-2K_1-K_2(m_{i-1}^n-m_i^n)]+K_1[p_{i-1}^n+p_{i+1}^n]-K_2[p_{i+1}^n(m_{i+1}^n-m_i^n)]$

$m_i^{n+1}=m_i^n[1-K_3-\lambda ]+K_3[m_{i-1}^n+m_{i+1}^n]+V{p}_i^n$

onde os termos agrupados são: $K_1=\frac{D_p\mathrm{\Delta }t}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$ , $K_2=\frac{\gamma \mathrm{\Delta }t}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$ , $K_3=\frac{D_m\mathrm{\Delta }t}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$ , $V=\alpha \mathrm{\Delta }t$ , $\lambda =\beta \mathrm{\Delta }t$

Discretização do Modelo de Keller-Segel em 2D

Em 2D o sistema de equações diferenciais parciais será:

$\frac{\partial p}{\partial t}=D_p[\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}p}{\partial y^2}]-\gamma [\frac{\partial p}{\partial x}\frac{\partial m}{\partial x}+\frac{\partial p}{\partial y}\frac{\partial m}{\partial y}+p(\frac{{\partial }^{2}m}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}m}{\partial y^2})]$

$\frac{\partial m}{\partial t}=D_m[\frac{{\partial }^{2}m}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}m}{\partial y^2}]+\alpha p-\beta m$

Agora utilizando a discretização FTCS e assumindo que $\mathrm{\Delta }x=\mathrm{\Delta }y=\mathrm{\Delta }s$ teremos:

$\frac{p_{i,j}^{n+1}-p_{i,j}^n}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{D_p}{(\mathrm{\Delta }s{)}^2}[(p_{i-1,j}^n-2p_{i,j}^n+p_{i+1,j}^n)+(p_{i,j-1}^n-2p_{i,j}^n+p_{i,j+1}^n)]-\frac{\gamma }{(\mathrm{\Delta }s{)}^2}[(p_{i+1,j}^n-p_{i,j}^n)(m_{i+1,j}^n-m_{i,j}^n)+(p_{i,j+1}^n-p_{i,j}^n)(m_{i,j+1}^n-m_{i,j}^n)+p_{i,j}^n((m_{i-1,j}^n-2m_{i,j}^n+m_{i+1,j}^n)+(m_{i,j-1}^n-2m_{i,j}^n+m_{i,j+1}^n))]$

$\frac{m_{i,j}^{n+1}-m_{i,j}^n}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{D_m}{(\mathrm{\Delta }s{)}^2}[(m_{i-1,j}^n-2m_{i,j}^n+m_{i+1,j}^n)+(m_{i,j-1}^n-2m_{i,j}^n+m_{i,j+1}^n)]+\alpha p_{i,j}^n-\beta m_{i,j}^n$

onde os sub-índices $i$ e $j$ se referem às coordenadas $x$ e $y$ respectivamente; e o superíndice $n$ se refere ao tempo. Reorganizando as equações e agrupando alguns termos teremos:

$p_{i,j}^{n+1}=p_{i,j}^n[1-4K_1-K_2(m_{i-1,j}^n-2m_{1,j}^n+m_{i,j-1}^n)]+K_1[p_{i-1,j}^n+p_{i,j-1}^n+p_{i+1,j}^n+p_{i,j+1}^n]-K_2[p_{i+1,j}^n(m_{i+1,j}^n-m_{i,j}^n)+p_{i,j+1}^n(m_{i,j+1}^n-m_{i,j}^n)]$

$m_{i,j}^{n+1}=m_{i,j}^n[1-4K_3-\lambda ]+K_3[m_{i-1,j}^n+m_{i,j-1}^n+m_{i+1,j}^n+m_{i,j+1}^n]+V{p}_{i,j}^n$

Resultados

1D

Com o intuito de testar melhor a equação e suas consequências, os resultados foram divididos em várias simulações diferentes.

População e Dinheiro em pontos separados

Para esta simulação, considera-se que no tempo 0, toda a população está concentrada em 1 ponto, enquanto todo o dinheiro está em um outro ponto distante.

Os parâmetros utilizados foram:

$dx=1$

$dt=0.3$

$D_m=1$

$D_p=1$

$\gamma =1$

$\alpha =1$

$\beta =1$

Resultados da simulação para o caso de população e dinheiro em pontos separados e distantes na malha

Na figura acima, consegue-se observar o resultado da construção do sistema desta maneira.

Com toda a população concentrada em 1 ponto ($x=20$), a atividade econômica cresce consideravelmente neste intervalo ao longo do tempo. Em contrapartida, o local que continha todo o dinheiro no começo da simulação ($x=80$), em pouco tempo tem a sua renda líquida migrada para onde tem uma densidade populacional maior. Essa tendência indica, portanto, que o sistema é construído de tal forma que a atração da população por regiões de alta renda líquida é menor que a atração do sistema monetário de seguir para pontos de alta densidade populacional.

Além disso, outra observação interessante é que nota-se para $t\to \mathrm{\infty }$ uma tendência inerente da densidade populacional em seguir uma distribuição de shape gaussiano sob a malha. Considerando que a equação que define o movimento populacional com o tempo contém um termo difusivo, e que a solução para uma difusão simples em 1 dimensão também assume um shape gaussiano, este resultado faz sentido. Mas uma coisa interessante é que, depois de se desfazer de seu formato inicial, o total de dinheiro sob a malha tende a seguir a distribuição populacional, porém com um desvio padrão maior (maior abertura na Gaussiana). Essa observação indica que, para centros econômicos (regiões com alto $m$) a tendência é que suas periferias também possuam valores altos de renda, apesar da população consideravelmente menor. Além disso, para regiões fora do contorno de centros econômicos (distância maior do que 3 vezes o desvio padrão da gaussiana) a atividade econômica é basicamente nula, assim como a densidade populacional. Este último fato descreve de forma genérica e simplista o comportamento atual observado em metrópoles nos dias de hoje: uma cidade grande possui alto número de habitantes, alta renda, seus contornos também apresentam atividade econômica forte (porém menor que o centro), mas para um raio suficientemente grande, tanto dinheiro quanto população caem exponencialmente.

2D

Os parâmetros utilizados para a simulação em 2D foram:

$L=100$

$ds=1$

$dt=0.3$

$D_m=0.5$

$D_p=0.5$

$\alpha =1.2$

$\beta =0.03$

$\gamma =1$

Erro ao criar miniatura: Arquivo com dimensões maiores que 12,5 MP

Resultados da simulação para o caso de população e dinheiro em pontos separads e distantes na malha

Referências

Sayama

Scherrer

[1]