Equações de Laplace e Poisson

Grupo: Augusto M Giani e Henrique Padovani

O objetivo deste trabalho é implementar os métodos de Relaxação, Gauss-Seidel e SOR (Simultanoeus OverRelaxation) em problemas de eletroestática, resolvidos pelas equações de Laplace e Poisson. Também temos como objetivo comparar seus resultados: erro entre os métodos e a solução analítica, tempo para estabilização das soluções.

Equações de Laplace e Poisson

A Equação de Laplace descreve o Potencial Elétrico ($\Phi$) de uma determinada região num espaço que não possui nenhuma densidade de carga elétrica (corpo carregado):

$\nabla ^{2}\Phi =0$

ou na sua versão em 2 dimensões: ${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}=0$

Quando neste determinado espaço, delimitado pelas condições de contorno, existe uma densidade de carga, o campo $\Phi$ já não se iguala mais à zero, mas sim à densidade de cargas dentro daquela região, sendo descrito agora pela Equação de Poisson:

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {-\rho (x,y)}{\epsilon _{0}}}$

ou na sua versão em 2 dimensões: ${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}={\frac {-\rho (x,y)}{\epsilon _{0}}}$

Método de Relaxação

Como podemos ver ambas as equações não dependem do tempo, porém podemos usar um truque para resolver estas equações aplicando o método **FTCS** (Forward Time Central Space) em uma equação parecida, e fazer a evoluçao temporal durar tempo sufiente para a solução convergir ($t\rightarrow \infty$). Esta operação é chamada de Método de Relaxação.

O que usamos para convergir à solução da Equação de Laplace foi uma equação de difusão genérica:

${\frac {df}{dt}}=D\cdot \left({\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}f}{dy^{2}}}\right)$

Fazendo $t \rightarrow \infty$, para a equação de difusão temos a intuição que dada condição inicial estacionária, a solução não diverge e "relaxa" para uma função que não depende mais do tempo:

$$\lim_{t \rightarrow \infty}f(x,y,t) = f(x,y)$$

Com isso: $\frac{df}{dt} = 0$, e chegando assim à Equação de Laplace e possibilitando chegar na discretização da Equação de Poisson. Então basicamente utiliza-se da mesma discretização de uma equação de difusão, porém a evolução temporal só serve para convergirmos à solução da Equação de Laplace com as condições iniciais que propomos.

1. 1. 1. **Métodos Computacionais:**
         1. **Método de Jacobi, "FTCS":**

1. 1. 1. 1. 1. **Equação de Laplace $\nabla^2\Phi = 0$ :**

Para equação de Laplace partimos de: $$\frac{d\Phi}{dt} = \mu \left(\frac{d^2\Phi}{dx^2} + \frac{d^2\Phi}{dy^2} \right)$$

Discretizando, primeiro chegamos que:

$$\Phi^{n+1}_{i,j} = \Phi^{n}_{i,j} + \mu\Delta t \left(\frac{\Phi^{n}_{i-1,j} - 2\Phi^{n}_{i,j} + \Phi^{n}_{i+1,j}}{(\Delta x)^2} + \frac{\Phi^{n}_{i,j-1} - 2\Phi^{n}_{i,j} + \Phi^{n}_{i,j+1}}{(\Delta y)^2} \right)$$

Seguindo mesmo procedimento do método de FTCS, temos a mesma condição de estabilidade:

$$\frac{\mu\Delta t}{(\Delta x)^2} + \frac{\mu\Delta t}{(\Delta y)^2} \leq \frac{1}{2}$$

No nosso algoritmo ultizamos $\Delta x = \Delta y$ então obtivemos a condição de estabilidade:

$$\frac{\mu\Delta t}{(\Delta x)^2} \leq \frac{1}{4}$$.

Para o algoritmo de Jacobi (Relaxação) escolhemos o valor de $\frac{1}{4}$ e com isso resulta na equação final:

$$\Phi^{n+1}_{i,j} = \frac{1}{4} \left(\Phi^{n}_{i-1,j} + \Phi^{n}_{i+1,j} + \Phi^{n}_{i,j-1} + \Phi^{n}_{i,j+1} \right)$$

onde **n** representa o passo no tempo, **i** representa o passo em X e **j** representa o passo em Y. A constante $\mu$ somente representava uma similaridade com a equação de difusão para demonstrar que este valor não interfere na equação final, ele sequer aparece (portanto podemos desconsiderá-lo, como faremos na equação de Poisson).

1. 1. 1. 1. 1. **Equação de Poisson $\nabla^2\Phi = \frac{-\rho(x,y)}{\epsilon_0}$ :**

Partindo de:

$$\frac{d\Phi}{dt} = \frac{d^2\Phi}{dx^2} + \frac{d^2\Phi}{dy^2} + \frac{\rho(x,y)}{\epsilon_0}$$

chegamos em:

$$\Phi^{n+1}_{i,j} = \Phi^{n}_{i,j} + \Delta t \left(\frac{\Phi^{n}_{i-1,j} - 2\Phi^{n}_{i,j} + \Phi^{n}_{i+1,j}}{(\Delta x)^2} + \frac{\Phi^{n}_{i,j-1} - 2\Phi^{n}_{i,j} + \Phi^{n}_{i,j+1}}{(\Delta y)^2} \right) + \frac{\Delta t \rho_{i,j}}{\epsilon_0}$$

Para nosso problema $\Delta x = \Delta y$, então multiplicando os dois lados por $\frac{\Delta x^2}{\Delta t}$, chegamos em:

$$\Phi^{n+1}_{i,j}\frac{\Delta x^2}{\Delta t} = \frac{\Delta x^2}{\Delta t}\Phi^{n}_{i,j} - 4\Phi^{n}_{i,j} + \Phi^{n}_{i-1,j} + \Phi^{n}_{i+1,j} + \Phi^{n}_{i,j-1} + \Phi^{n}_{i,j+1} + \frac{\Delta x^2 \rho_{i,j}}{\epsilon_0}$$

E finalmente, aplicando a condição de estabilidade $\frac{\Delta t} {\Delta x^2} = \frac{1}{4}$ e cancelando os termos $\Phi^{n}_{i,j}$:

$$\Phi^{n+1}_{i,j} = \frac{1}{4}\left(\Phi^{n}_{i-1,j} + \Phi^{n}_{i+1,j} + \Phi^{n}_{i,j-1} + \Phi^{n}_{i,j+1} + \frac{\Delta x^2 \rho_{i,j}}{\epsilon_0}\right)$$

1. 1. 1. 1. 1. **Método de Gauss-Seidel**:

Como pode-se notar, o termo que distingue a Equação de Laplace para a Equação de Poisson é apenas o termo que soma $\left(\frac{1}{4}\frac{\Delta x^2 \rho_{i,j}}{\epsilon_0} \right)$ ao lado direito da equação. Para demonstrar as próximas discretizações, as deduções foram deixadas de lado pelo fato de que são irrelevantes, tendo entendido de onde vem as equações.

O Método de Gausse-Seidel adianta (no tempo) a chegada da solução estacionária, utilizando termos que já foram calculados num passo anterior de tempo para calcular o ponto atual, respectivamente para equação de Laplace e Poisson, utilizamos na nossa implementação:

$$\Phi^{n+1}_{i,j} = \frac{1}{4}\left(\Phi^{n+1}_{i-1,j} + \Phi^{n}_{i+1,j} + \Phi^{n+1}_{i,j-1} + \Phi^{n}_{i,j+1}\right)$$

e

$$\Phi^{n+1}_{i,j} = \frac{1}{4}\left(\Phi^{n+1}_{i-1,j} + \Phi^{n}_{i+1,j} + \Phi^{n+1}_{i,j-1} + \Phi^{n}_{i,j+1} + \frac{\Delta x^2 \rho_{i,j}}{\epsilon_0}\right)$$

1. 1. 1. 1. 1. **Método SOR, Simultanoeus Overrelaxation**:

Como pode-se notar nas equações (é mais intuitivo na forma discretizada da Equação de Laplace), a atualização de um ponto $\Phi^{n+1}_{i,j}$ é feita através de uma espécie de "média" dos pontos, no tempo anterior, ao seu arredor (o ponto acima, à direita, à esquerda e abaixo O método introduz no cálculo pesos

1. 1. 1. 1. 1. **Resultados:**