Modelo de Keller-Segel para relação população-economia

Grupo: Leonardo Barcelos, Luana Bianchi e Rubens Borrasca

O objetivo deste trabalho é implementar o modelo de Keller-Segel, que originalmente descreve chemotaxis: movimento de organismo em direção ou contra algum sinal químico, para um sistema englobando população e atividade econômica. O método computacional utilizado para resolver o problema e implementar o modelo foi o FTCS (Forward Time Centered Space) para uma dimensão e FTCS utilizando o algoritmo de Gauss-Seidel para duas dimensões.

Modelo de Keller-Segel

Proposto por Evelyn Fox Keller, física norte-americana, e Lee Aaron Segel, matemático também norte-americano, o modelo de Keller-Segel foi historicamente utilizado para descrever o movimento de bactérias. Introduzido primeiramente em 1970 para descrever a agregação de uma espécie de bolor limoso (ou slime mold) ameboide, Dictyostelium discoideum, o modelo se tornou um dos mais usados nos estudos biológicos-matemáticos. As células deste slime mold se comportam como amoebas individuais, e se alimentam de bactérias, mas quando a quantidade de comida fica pequena, elas se difundem pelo espaço e então se agregam em formato mais alongado, como o formato das lesmas, para uma migração de longa distância. Keller e Segel desenvolveram um modelo matemático para o processo de agregação, em que a chemotaxis tem papel crítico na auto-ormanização das células.

Baseados no que já era conhecido sobre esses organismos, Keller e Segel utilizaram as seguintes premissas:

• As células estão inicialmente distribuídas sobre o espaço de maneira mais ou menos homogênea, com algumas flutuações aleatótias;
• As células apresentam chemotaxis em direção ao sinal químico denominado cAMP (cyclic adenosine monophosphate);
• As células produzem moléculas cAMP;
• As células e as moléculas cAMP difundem pelo espaço;
• As células não morrem e não se dividem

De forma simplificada, ocultando alguns detalhes biológicos mais complicados a equação de Keller-Segel é a seguinte:

${\frac {\partial a}{\partial t}}=\mu \nabla ^{2}a-\chi \nabla \cdot (a\nabla c)$

${\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}c+fa-kc$

em que $a$ e $c$ são respectivamente as variáveis de estado para a concentração de células e a concentração de cMAP. $\mu$ é o parâmetro de mobilidade das células, $\chi$ é o parâmetro da chemotaxis celular, $D$ é a constante de difusão das moléculas cAMP, $f$ é a taxa de secreção de cMAP pelas células, e $k$ é a taxa de decaimento das moléculas cMAP.

Aplicação população-economia

De forma parecida com as premissas de Keller e Segel, os seguintes pontos são assumidos para modelar a relação entre a população e a atividade econômica:

• A população não cresce e não decresce ao longo do tempo;
• A economia é ativada por existir mais pessoas em uma região;
• Sem pessoas a atividade econômica diminui;
• População e atividade econômica difundem gradualmente;
• As pessoas são atraídas por regiões com maior atividade econômica

Traduzindo estes pontos em equações matemáticas, se obtêm as seguintes equações:

${\frac {\partial p}{\partial t}}=D_{p}\nabla ^{2}p-\gamma \nabla \cdot (p\nabla m)$

${\frac {\partial m}{\partial t}}=D_{m}\nabla ^{2}m+\alpha p-\beta m$

em que $p$ representa a população e $m$ a atividade econômica. $\alpha$ é a constante que determina a taxa de produção de atividade econômica per capita, $\beta$ é a constante da taxa de decaimento da atividade econômica, $D_{p}$ e $D_{m}$ são as constantes de difusão da população e da economia respectivamente, e $\gamma$ é a constante que afeta a velocidade média do movimento da população.

Comparando o sistema obtido com o problema original de Keller-Segel, percebe-se que se trocarmos células por pessoas e cMAP por atividade econômica os problemas ficam iguais, e até se poderia denominar como moneytaxis a migração das pessoas em direção a atividade econômica, como a chemotaxis descreve o movimento das células em direção ao cAMP.

Resultados

1D

Com o intuito de testar melhor a equação e suas consequências, os resultados foram divididos em várias simulações diferentes.

População e Dinheiro em pontos separados

Para esta simulação, considera-se que no tempo 0, toda a população está concentrada em 1 ponto, enquanto todo o dinheiro está em um outro ponto distante.

Os parâmetros utilizados foram:

$dx=1$

$dt=0.3$

$D_{m}=1$

$D_{p}=1$

$\gamma =1$

$\alpha =1$

$\beta =1$

Referências

Sayama

Scherrer

[1]