Modelo de Keller-Segel para relação população-economia: mudanças entre as edições
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Edição das 12h17min de 28 de março de 2021
Grupo: Leonardo Barcelos, Luana Bianchi e Rubens Borrasca
O objetivo deste trabalho é implementar o modelo de Keller-Segel, que originalmente descreve chemotaxis: movimento de organismo em direção ou contra algum sinal químico, para um sistema englobando população e atividade econômica. O método computacional utilizado para resolver o problema e implementar o modelo foi o FTCS (Forward Time Centered Space) para uma dimensão e FTCS utilizando o algoritmo de Gauss-Seidel para duas dimensões.
Modelo de Keller-Segel
Proposto por Evelyn Fox Keller, física norte-americana, e Lee Aaron Segel, matemático também norte-americano, o modelo de Keller-Segel foi historicamente utilizado para descrever o movimento de bactérias. Introduzido primeiramente em 1970 para descrever a agregação de uma espécie de bolor limoso (ou slime mold) ameboide, Dictyostelium discoideum, o modelo se tornou um dos mais usados nos estudos biológicos-matemáticos. As células deste slime mold se comportam como amoebas individuais, e se alimentam de bactérias, mas quando a quantidade de comida fica pequena, elas se difundem pelo espaço e então se agregam em formato mais alongado, como o formato das lesmas, para uma migração de longa distância. Keller e Segel desenvolveram um modelo matemático para o processo de agregação, em que a chemotaxis tem papel crítico na auto-ormanização das células.
Baseados no que já era conhecido sobre esses organismos, Keller e Segel utilizaram as seguintes premissas:
- As células estão inicialmente distribuídas sobre o espaço de maneira mais ou menos homogênea, com algumas flutuações aleatótias;
- As células apresentam chemotaxis em direção ao sinal químico denominado cAMP (cyclic adenosine monophosphate);
- As células produzem moléculas cAMP;
- As células e as moléculas cAMP difundem pelo espaço;
- As células não morrem e não se dividem
De forma simplificada, ocultando alguns detalhes biológicos mais complicados a equação de Keller-Segel é a seguinte:
em que e são respectivamente as variáveis de estado para a concentração de células e a concentração de cMAP.
Aplicação população-economia
cMAP é uma substância que atrai as células e por isso acaba formando clusters de células no organismo. Daí o paralelo com o dinheiro, que "atrai" as pessoas.
Equações:
Métodos Computacionais
FTCS
FTCS Gauss-Seidel
Resultados
1D
Com o intuito de testar melhor a equação e suas consequências, os resultados foram divididos em várias simulações diferentes.
/* População e Dinheiro em pontos separados */
Para esta simulação, considera-se que no tempo 0, toda a população está concentrada em 1 ponto, enquanto todo o dinheiro está em um outro ponto distante.
Os parâmetros utilizados foram:
2D
Discussão
Programas
Referências
Sayama
Scherrer