Gás de Rede 2D

EM CONSTRUÇÃO

Este trabalho tem o intuito de apresentar uma descrição do modelo do Gás de Rede bidimensional e traçar paralelos com o modelo de Ising, discutindo a relação entre seus Hamiltonianos.

Gás de Rede

O Modelo do Gás de Rede 2D consiste em um sistema de $N$ partículas da forma $\sigma ={\sigma _{1},\sigma _{1},\dotsc ,\sigma _{N}}$ onde cada sítio da rede pode assumir o valor $1$, ocupado por uma partícula, ou $0$, não ocupado por uma partícula. A energia total do sistema é dada pelo Hamiltoniano do Gás de Rede, descrito pela equação

${\mathcal {H}}=-\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}$,

onde o somatório é dado entre os quatro vizinhos mais próximos e $\epsilon$ é a constante de interação entre as partículas, para $\epsilon \geq 0$ a interação é atrativa. Por se tratar de uma rede quadrada com $L^{2}=L\times L$ sítios, apenas uma parcela da rede é ocupada por partículas, ou seja, possuímos uma densidade constante $\rho$ de partículas. Podemos expressar a condição da densidade constante da forma

$\sum _{i}\sigma _{i}=\rho L^{2}$

Fazendo uma mudança de variáveis da forma $s_{i}=2\sigma _{i}-1$ saímos da situação de ocupação e não ocupação de sítios e obtemos variáveis do Modelo de Ising , spins Up e Down. A variável $s_{i}$ assume valor $+1$ (up) quando o sítio esta ocupado por uma partícula e $-1$ quando não está. Aplicando a mudança de variáveis no Hamiltoniano do Gás de Rede obtemos

${\mathcal {H}}=-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }(s_{i}+1)(s_{j}+1)$

$=-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }[s_{i}s_{j}+s_{i}+s_{j}+1]$

$=-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }s_{j}-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }1$.

Abrindo os termos dos três últimos somatórios se encontra que

$\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}=\sum _{\langle i,j\rangle }s_{j}=z\sum _{i}s_{i}$, e

$\sum _{\langle i,j\rangle }1=zL^{2}$,

o que simplifica a expressão para

${\mathcal {H}}=-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-{\frac {1}{2}}\epsilon z\sum _{i}s_{i}-{\frac {1}{4}}\epsilon zL^{2}$,

onde $z$ é o número de coordenação, isto é, o número de vizinhos de cada sítio, que para a rede quadrada é 4. Note a mudança no índice do somatório de $s_{i}$. Vemos que este Hamiltoniano possui a forma do Hamiltoniano do modelo de Ising com aplicação de um campo magnético externo, a menos de uma constante. Entretanto, com a densidade constante, fazendo a mesma mudança de variáveis, obtemos

$\sum _{i}s_{i}=(2\rho -1)L^{2}$.

Aplicando essa relação no Hamiltoniano obtemos

${\mathcal {H}}=-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-z\epsilon L^{2}\rho$.

Como $z$, $\rho$ e $L^{2}$ são constantes, o segundo termo é constante. Definindo $J=\epsilon /4$ o Hamiltoniano se torna

${\mathcal {H}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}+{\text{constante}}$.

A constante não influencia nos valores da medida, pois ela se cancela na equação de mudança de estado . Vemos que, ao assumir a densidade constante, o modelo do Gás de Rede se torna o modelo de Ising sem a presença de um campo magnético. A condição da densidade constante é a magnetização total do modelo.

É interessante notar que podemos tratar o modelo do gás de rede de duas formas: (a) assumir a densidade constante e utilizar o primeiro Hamiltoniano apresentado, ou (b) não assumir a densidade constante, aplicar a mudança de variáveis discutida e utilizar o Hamiltoniano que possuí a forma de Ising com campo magnético.

Método de Monte Carlo

Princípios gerais

Para desenvolver a dinâmica do gás de rede, isto é, fazer com que ocorram alterações na posição das partículas, recorre-se ao método de Monte Carlo. Trata-se, em linhas gerais, de um método estatístico baseado em amostragem aleatória. É comum, ao introduzir-se o assunto, utilizar problemas de cálculo de áreas, como, por exemplo, a clássica história das crianças que desenharam, na areia, um círculo contido em um quadrado, de modo que o diâmetro do círculo seja igual ao lado do quadrado. Jogam, aleatoriamente, pedras no quadrado. Após uma grande quantidade de arremessos, compara-se o valor de pedras que estão dentro do círculo com o número total dentro do quadrado, fazendo a razão entre esses dois valores, encontra-se uma aproximação para a razão entre a área do círculo e a do quadrado, que equivale a $\pi /4$. Desse modo, pode ser encontrada uma aproximação do valor de $\pi$ através do método de Monte Carlo, que simula uma aproximação experimental. É possível propor um novo modelo, no qual o quadrado é grande e as pedras são atiradas aleatoriamente de dentro do quadrado, de modo que a posição de arremesso é atualizada para a posição da última pedra jogada. A principal alteração nesse método é a possibilidade de que uma pedra seja atirada para fora do quadrado. Nesse caso, a posição para o próximo arremesso não muda e as pedras que foram parar fora das bordas do quadrado são empilhadas naquela posição. Essas mudanças no método caracterizam a aplicação de Monte Carlo em uma cadeia de Markov, definida de modo que a configuração do próximo estado depende somente da configuração atual. Até aqui, vimos o método de Monte Carlo aplicado em situações nas quais a probabilidade de um evento ocorrer na configuração subsequente do sistema é zero ou um. Para novas distribuições de probabilidade, utiliza-se o algoritmo de Metrópolis.

Algoritmo de Metrópolis

Como mencionado, o método de Monte Carlo funciona através de atualizações em um sistema, fazendo com que ele passe de um estado para outro. Consideremos $\mu$ como sendo o estado atual do sistema. O próximo estado será chamado $\nu$. Chamamos a probabilidade do sistema passar do estado $\mu$ para o estado $\nu$ de $p(\mu \to \nu )$. A ideia do algoritmo de Metrópolis é aplicar essa probabilidade no método de Monte Carlo. Para isso, um método muito utilizado é calcular a probabilidade $p(\mu \to \nu )$ e compará-la a um número aleatório $r$, de modo que $0<r<1$. Se $p(\mu \to \nu )>r$, então o estado $\nu$ é adotado pelo sistema. Para aplicar essas ideias ao problema do gás de rede, o método mais simples é utilizando o algoritmo de Kawasaki, que faz com que dois sítios, selecionados aleatoriamente, tenham seus valores trocados. Isso implica que a magnetização do sistema será constante. Para calcular a probabilidade de aceitação dessa mudança, calcula-se a variação de energia entre os estados,$\Delta E=E_{\nu }-E_{\mu }$, e aplica-se o valor obtido na equação de probabilidade de aceitação de Metrópolis:

$p(\mu \to \nu )=\left\{{\begin{array}{rc}e^{\frac {-\Delta E}{k_{B}T}},\quad {\text{se}}\quad \Delta E>0\\1,\quad {\text{caso contrario}}\end{array}}\right.$

Para este trabalho, inicialmente foram feitas algumas alterações no algoritmo de Kawasaki. Limita-se a troca de valores somente entre um sítio e seus quatro vizinhos principais (isto é, acima, abaixo, à direita e à esquerda). Isso porque se tinha a intenção de recriar o comportamento difusivo de um gás no modelo do gás de rede em duas dimensões, porém, essa escolha para a dinâmica das simulações limita em muito a facilidade do sistema equilibrar, como será mostrado na parte de resultados. O algoritmo inicial consiste na seguinte ideia: No estado $\mu$, seleciona-se aleatoriamente um sítio $i$. A partir dele, é sorteado um de seus vizinhos, digamos, $j$, com o qual haverá a troca de valor. Antes que ocorra a troca, são calculados os valores de dois Hamiltonianos: o que relaciona o sítio $i$ com seus vizinhos e o que relaciona $j$ com seus vizinhos. Somados, eles representam o valor de $E_{\mu }$. Após a troca, esses valores são recalculados, formando o valor de $E_{\nu }$. Com esses valores, segue-se o cálculo da probabilidade da forma usual.

Após verificar que a dinâmica inicialmente escolhida não era apropriada, optou-se por usar o algoritmo de Kawasaki tradicional, fazendo uso de uma listagem de quais eram os estados dos sítios e escolhendo os pares a serem trocados sempre como sítios de estados diferentes. Isso faz com que a aceitação do algoritmo de Monte Carlo seja muito mais elevada que ao do nosso algoritmo inicial, pois no caso em que grandes clusters são formados as trocas eram sempre rejeitadas de acordo com a dinâmica inicial.

Considerações práticas

Já consideramos os aspectos iniciais do método de Monte Carlo, mostrando suas aplicações. Vimos, do mesmo modo, a utilização do algoritmo de Metrópolis, dentro do qual aplicamos o algoritmo de Kawasaki (modificado) para desenvolver o sistema do gás de rede. Resta elucidar a função do parâmetro temporal, isto é, como as iterações desses algoritmos influenciam o sistema. Primeiramente, deve-se fixar um valor para o número de passos temporais que serão realizados. Em cada passo temporal, são realizadas $L^{2}$ iterações do algoritmo de Metrópolis, abordado acima, sendo $L$ o lado da rede quadrada. Chamamos de Passo de Monte Carlo (MCS) cada um desses passos temporais. Em outras palavras: em cada passo de Monte Carlo, todos os sítios tem a possibilidade de realizar uma troca.

Resultados

Como mencionado acima, a primeira dinâmica escolhida foi a que restringe os sítios a trocarem de estado para apenas aqueles que são vizinhos próximos (os 4 acima, abaixo, a direita e a esquerda). Se verificou ao analisar os dados das simulações que na verdade essa dinâmica não era apropriada, pois a aceitação do algoritmo é muito baixa e com a amostragem escolhida ($10^{6}MCS$) o sistema ainda não estaria equilibrado. Isso pode ser percebido mais facilmente observando os histogramas das simulações. Sabe-se que a distribuição das grandezas macroscópicas de um sistema termodinâmico é a distribuição de Boltzmann , então se espera para o sistema analisado que a energia tenha uma distribuição normal de frequências. Observe a diferença entre as distribuições para a energia do sistema no caso da dinâmica local inicialmente escolhida e no caso do algoritmo tradicional de Kawasaki:

Distribuição da energia para a dinâmica local após $10^{6}MCS$.

Distribuição da energia para a dinâmica do algoritmo de Kawasaki após $10^{6}MCS$.

Programas Utilizados

Programas na linguagem C. Para utilizar os programas, abra o terminal e compile da forma

$ gcc prog.c -lm

Onde prog.c é o programa que deseja utilizar. E execute da seguinte maneira

$ ./a.out TEMP

onde o segundo termo é a temperatura do banho térmico, argumento dos programas. Os programas possuem uma diretiva de compilação para visualização do sistema ao decorrer da execução. Para utilizar é necessário ter o gnuplot instalado e compilar da forma

$ gcc -DGNU prog.c -lm

e então executar da maneira

$ ./a.out TEMP | gnuplot

Entretanto com a visualização no gnuplot o programa pode demorar mais para executar, então é recomendado diminuir os tempos de transiente (TRAN) e medidas (TMAX).

Ising com Campo

Gás de Rede sem Densidade Constante

Gás de Rede com Densidade Constante