Gás de Rede 2D

EM CONSTRUÇÃO

Gás de Rede

O Modelo do Gás de Rede 2D consiste em um sistema de $N$ partículas da forma $\sigma ={\sigma _{1},\sigma _{1},\dotsc ,\sigma _{N}}$ onde cada sítio da rede pode assumir o valor $1$, ocupado por uma partícula, ou $0$, não ocupado por uma partícula. A energia total do sistema é dada pelo Hamiltoniano do Gás de Rede, descrito pela equação

${\mathcal {H}}=-\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}$,

onde o somatório é dado entre os quatro vizinhos mais próximos e $\epsilon$ é a constante de interação entre as partículas, para $\epsilon \geq 0$ a interação é atrativa. Por se tratar de uma rede quadrada com $L^{2}=L\times L$ sítios, apenas uma parcela da rede é ocupada por partículas, ou seja, possuímos uma densidade constante $\rho$ de partículas. Podemos expressar a condição da densidade constante da forma

$\sum _{i}\sigma _{i}=\rho L^{2}$

Fazendo uma mudança de variáveis da forma $s_{i}=2\sigma _{i}-1$ saímos da situação de ocupação e não ocupação de sítios e obtemos variáveis do Modelo de Ising , spins Up e Down. A variável $s_{i}$ assume valor $+1$ (up) quando o sítio esta ocupado por uma partícula e $-1$ quando não está. Aplicando a mudança de variáveis no Hamiltoniano do Gás de Rede obtemos

${\mathcal {H}}=-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }(s_{i}+1)(s_{j}+1)$

$=-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }[s_{i}s_{j}+s_{i}+s_{j}+1]$

$=-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }s_{j}-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }1$

$\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}=\sum _{\langle i,j\rangle }s_{j}=z\sum _{i}s_{i}$

$\sum _{\langle i,j\rangle }1=zL^{2}$

${\mathcal {H}}=-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-{\frac {1}{2}}\epsilon z\sum _{i}s_{i}-{\frac {1}{4}}\epsilon zL^{2}$

[VOU CHEGAR ATÉ AQUI] $=-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-{\frac {1}{2}}z\epsilon \sum _{i}s_{i}-{\frac {1}{2}}z\epsilon L^{2}$,

onde $z$ é o número de coordenação, isto é, o número de vizinhos de cada sítio, que para a rede quadrada é 4. Vemos que este Hamiltoniano possui a forma do Hamiltoniano do modelo de Ising com aplicação de um campo magnético externo, a menos de uma constante. Entretanto, com a densidade constante, fazendo a mesma mudança de variáveis, obtemos

$\sum _{i}s_{i}=(2\rho -1)L^{2}$.

Aplicando essa relação no Hamiltoniano obtemos

${\mathcal {H}}=-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-z\epsilon L^{2}\rho$.

Como $z$, $\rho$ e $L^{2}$ são constantes, o segundo termo é constante. Definindo $J=\epsilon /4$ o Hamiltoniano se torna

${\mathcal {H}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}+{\text{constante}}$.

A constante não influencia nos valores da medida, pois ela se cancela na equação de mudança de estado . Vemos que, ao assumir a densidade constante, o modelo do Gás de Rede se torna o modelo de Ising sem a presença de um campo magnético. A condição da densidade constante é a magnetização total do modelo.

É interessante notar que podemos tratar o modelo do gás de rede de duas formas: (a) assumir a densidade constante e utilizar o primeiro Hamiltoniano apresentado, ou (b) não assumir a densidade constante, aplicar a mudança de variáveis discutida e utilizar o Hamiltoniano que possuí a forma de Ising com campo magnético.

Método de Monte Carlo

Princípios gerais

Para desenvolver a dinâmica do gás de rede, isto é, fazer com que ocorram alterações na posição das partículas, recorre-se ao método de Monte Carlo. Trata-se, em linhas gerais, de um método estatístico baseado em amostragem aleatória. É comum, ao introduzir-se o assunto, utilizar problemas de cálculo de áreas, como, por exemplo, a clássica história das crianças que desenharam, na areia, um círculo contido em um quadrado, de modo que o diâmetro do círculo seja igual ao lado do quadrado. Jogam, aleatoriamente, pedras no quadrado. Após uma grande quantidade de arremessos, compara-se o valor de pedras que estão dentro do círculo com o número total dentro do quadrado, fazendo a razão entre esses dois valores, encontra-se uma aproximação para a razão entre a área do círculo e a do quadrado, que equivale a $\pi /4$. Desse modo, pode ser encontrada uma aproximação do valor de $\pi$ através do método de Monte Carlo, que simula uma aproximação experimental. É possível propor um novo modelo, no qual o quadrado é grande e as pedras são atiradas aleatoriamente de dentro do quadrado, de modo que a posição de arremesso é atualizada para a posição da última pedra jogada. A principal alteração nesse método é a possibilidade de que uma pedra seja atirada para fora do quadrado. Nesse caso, a posição para o próximo arremesso não muda e as pedras que foram parar fora das bordas do quadrado são empilhadas naquela posição. Essas mudanças no método caracterizam a aplicação de Monte Carlo em uma cadeia de Markov, definida de modo que a configuração do próximo estado depende somente da configuração atual. Até aqui, vimos o método de Monte Carlo aplicado em situações nas quais a probabilidade de um evento ocorrer na configuração subsequente do sistema é zero ou um. Para novas distribuições de probabilidade, utiliza-se o algoritmo de Metrópolis.

Algoritmo de Metrópolis

Como mencionado, o método de Monte Carlo funciona através de atualizações em um sistema, fazendo com que ele passe de um estado para outro. Consideremos $\mu$ como sendo o estado atual do sistema. O próximo estado será chamado $\nu$. Chamamos a probabilidade do sistema passar do estado $\mu$ para o estado $\nu$ de $p(\mu \to \nu )$. A ideia do algoritmo de Metrópolis é aplicar essa probabilidade no método de Monte Carlo. Para isso, um método muito utilizado é calcular a probabilidade $p(\mu \to \nu )$ e compará-la a um número aleatório $r$, de modo que $0<r<1$. Se $p(\mu \to \nu )>r$, então o estado $\nu$ é adotado pelo sistema. Para aplicar essas ideias ao problema do gás de rede, o método mais simples é utilizando o algoritmo de Kawasaki, que faz com que dois sítios, selecionados aleatoriamente, tenham seus valores trocados. Isso implica que a magnetização do sistema será constante. Para calcular a probabilidade de aceitação dessa mudança, calcula-se a variação de energia entre os estados,$\Delta E=E_{\nu }-E_{\mu }$, e aplica-se o valor obtido na equação de probabilidade de aceitação de Metrópolis:

$p(\mu \to \nu )=\left\{{\begin{array}{rc}e^{\frac {-\Delta E}{k_{B}T}},\quad {\text{se}}\quad \Delta E>0\\1,\quad {\text{caso contrario}}\end{array}}\right.$

Para este trabalho, foram feitas algumas alterações no algoritmo de Kawasaki. Limita-se a troca de valores somente entre um sítio e seus quatro vizinhos principais (isto é, acima, abaixo, à direita e à esquerda). No estado $\mu$, seleciona-se aleatoriamente um sítio $i$. A partir dele, é sorteado um de seus vizinhos, digamos, $j$, com o qual haverá a troca de valor. Antes que ocorra a troca, são calculados os valores de dois Hamiltonianos: o que relaciona o sítio $i$ com seus vizinhos e o que relaciona $j$ com seus vizinhos. Somados, eles representam o valor de $E_{\mu }$. Após a troca, esses valores são recalculados, formando o valor de $E_{\nu }$. Com esses valores, segue-se o cálculo da probabilidade da forma usual.

Considerações práticas

Já consideramos os aspectos iniciais do método de Monte Carlo, mostrando suas aplicações. Vimos, do mesmo modo, a utilização do algoritmo de Metrópolis, dentro do qual aplicamos o algoritmo de Kawasaki (modificado) para desenvolver o sistema do gás de rede. Resta elucidar a função do parâmetro temporal, isto é, como as iterações desses algoritmos influenciam o sistema. Primeiramente, deve-se fixar um valor para o número de passos temporais que serão realizados. Em cada passo temporal, são realizadas $L^{2}$ iterações do algoritmo de Metrópolis, abordado acima, sendo $L$ o lado da rede quadrada. Chamamos de Passo de Monte Carlo (MCS) cada um desses passos temporais. Em outras palavras: em cada passo de Monte Carlo, todos os sítios tem a possibilidade de realizar uma troca.

Programas Utilizados

Programas na linguagem C. Para utilizar os programas, abra o terminal e compile da forma

$ gcc prog.c -lm

Onde prog.c é o programa que deseja utilizar. E execute da seguinte maneira

$ ./a.out TEMP

onde o segundo termo é a temperatura do banho térmico, argumento dos programas. Os programas possuem uma diretiva de compilação para visualização do sistema ao decorrer da execução. Para utilizar é necessário ter o gnuplot instalado e compilar da forma

$ gcc -DGNU prog.c -lm

e então executar da maneira

$ ./a.out TEMP | gnuplot

Entretanto com a visualização no gnuplot o programa pode demorar mais para executar, então é recomendado diminuir os tempos de transiente (TRAN) e medidas (TMAX).

Ising com Campo

Gás de Rede sem Densidade Constante

Gás de Rede com Densidade Constante