Grupo - Modelo de Potts

Originalmente descrito por Renfrey Potts em 1951 na sua tese de doutorado, esse modelo é uma generalização do modelo de Ising para a interação entre spins em uma rede cristalina.

Descrição do modelo

No modelo de Potts a $q$ estados são considerados $N$ spins $s_i$ dispostos em uma rede, geralmente bidimensional retangular, cada spin podendo estar em um dos $q$ estados possíveis.

O Hamiltoniano desse sistema é

$H_p=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_i,s_j)$

onde $J$ é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação, $\delta (s_i,s_j)$ é a função delta de Kronecker que retorna $1$ se $s_i=s_j$ e retorna $0$ para todos os outros casos, e o somatório considera somente os pares $(i,j)$ de spins vizinhos.

No caso ferromagnético, $J>0$, o nível fundamental de energia possui uma degenerescência igual a $q$, correspondendo aos valores possíveis para todos os spins alinhados.

Relação com o modelo de Ising

É importante notar que para $q=2$ o modelo de Potts é equivalente ao modelo de Ising com constante de acoplamento $\frac{J}{2}$ a menos de uma constante aditiva $\sum _{(i,j)}\frac{J}{2}$ no Hamiltoniano.

$H_I=H_p+\sum _{(i,j)}\frac{J}{2}=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_i,s_j)+\sum _{(i,j)}\frac{J}{2}=-\frac{J}{2}\sum _{(i,j)}(2\delta (s_i,s_j)-1)$

nesse caso os spins $s_i$ e $s_j$ têm apenas dois valores possíveis e

$2\delta (s_i,s_j)-1=\{\begin{array}{l}1,\text{se }{s}_i=s_j\\ -1,\text{se }{s}_i\ne s_j\end{array}$

logo considerando como valores possíveis para os spins $\{s_i,s_j\}$ como $-1$ ou $1$ encontramos

$H_I=H_p+\sum _{(i,j)}\frac{J}{2}=-\frac{J}{2}\sum _{(i,j)}{s}_i{s}_j$

Simulação Monte Carlo

A abordagem utilizada para simular por Monte Carlo um sistema seguindo o modelo de Potts com $q$ pequeno é, naturalmente, similar àquela utilizada para o modelo de Ising: seguindo o algoritmo de Metropolis. Entretanto para valores mais elevados de $q$ esse algoritmo se torna ineficiente e o sistema demora um tempo muito longo para entrar em equilíbrio térmico.

Eficiência do algoritmo de Metropolis

Para entender porque o algoritmo de Metropolis não é otimo para uma simulação Monte Carlo de um sistema seguindo o modelo de Potts, devemos relembrar como ele resolve o problema de amostragem por importância.

As condições necessárias para a amostragem por importância são:

• Ergodicidade: a garantia de que qualquer estado do sistema é acessível à partir de qualquer outro estado dado um comprimento suficientemente grande da cadeia de Markov.
• Balanço detalhado: a garantia de que a cadeia de Markov de matriz estocástica $P(\mu \to \nu )$ vai convergir, quando o sistema atingir o equilíbrio térmico, para uma dada distribuição $p_{\mu }$.

$p_{\mu }P(\mu \to \nu )=p_{\nu }P(\nu \to \mu )$

No caso do ensemble canônico essa distribuição é a distribuição de Boltzmann

$p_{\mu }=\frac{1}{Z}{e}^{-\beta E_{\mu }}$

onde $Z$ é a função de partição e $\beta =\frac{1}{k_{B}T}$ é o inverso da temperatura.

Considerando a probabilidade de transição de estado $P(\mu \to \nu )$ como o produto de uma probabilidade de seleção de um novo estado $g(\mu \to \nu )$ (a probabilidade de considerar $\nu$ como o próximo estado na cadeia dado o estado atual $\mu$) e uma probabilidade de aceitação de transição $A(\mu \to \nu )$

$P(\mu \to \nu )=g(\mu \to \nu )A(\mu \to \nu )$

o algoritmo de Metropolis atribui um valor fixo e uniforme para a probabilidade de seleção

$g(\mu \to \nu )=\frac{1}{N},\mathrm{\forall }\mu ,\nu$

que claramente garante a ergodicidade, restando apenas uma condição sobre os valores das probabilidades de aceitação:

$\frac{A(\mu \to \nu )}{A(\nu \to \mu )}=\frac{p_{\nu }}{p_{\mu }}=e^{\beta (E_{\nu }-E_{\mu })}$

que é satisfeita com a seguinte lei de seleção:

$A(\mu \to \nu )=\{\begin{array}{l}{e}^{-\beta (E_{\nu }-E_{\mu })},\text{se }{E}_{\nu }>E_{\mu }\\ 1,\text{caso contrario}\end{array}$

Exemplo: rede bidimensional retangular com $q=100$. Um spin cercado por vizinhos de valores diferentes, a probabilidade de o sistema trocar para um estado de menor energia é $4/100=4\mathrm{\%}$, logo teremos que esperar em média $25$ passos para a simulação avançar.

O problema desse algoritmo para um modelo como o de Potts, que admite um número elevado de estados possíveis para o spin, é evidenciado quando consideramos um sistema a baixas temperaturas. Para altas temperaturas, a probabilidade de aceitação é unitária ou suficientemente alta por conta de um $\beta$ pequeno tornando o algoritmo eficiente. Entretanto a baixas temperaturas, os spins tendem a se alinhar com seus vizinhos constituindo o fenômeno do ferromagnetismo. Se imaginarmos um spin no estado $s_i$ cercado por vizinhos de valores diferentes, seguindo o algoritmo de Metropolis, seja qual for o valor ${s_i}^{\prime }$ selecionado uniformemente para o novo estado desse spin a probabilidade de aceitação é $A(\mu \to \nu )=1$ pois essa troca de spin vai diminuir a energia do sistema (quando ${s_i}^{\prime }$ for estado de um spin vizinho) ou, no máximo, manter constante a energia do sistema (${s_i}^{\prime }$ continua sendo diferente de todos os spins vizinhos). Com isso, temos uma probabilidade $\frac{z}{q}$ de o sistema trocar para um estado de menor energia, onde $z$ é número de coordenação da rede, aumentando muito o tempo necessário para o sistema entrar em equilíbrio.

De maneira similar, se um spin tem o mesmo estado de um de seus vizinhos, teremos $z$ novos estados $\nu$ com taxa de aceitação unitária enquanto todos outros $q-z$ estados terão uma taxa de aceitação muito baixa (dependendo da temperatura) resultando em uma probabilidade de transição pouco maior que $z/q$, novamente atrasando a simulação.

Algoritmo do banho térmico

Uma solução possível para o problema apresentado é utilizar o algoritmo de banho térmico, que também troca o estado de um spin por vez mas utiliza uma técnica diferente para satisfazer a condição do balanço detalhado. Diferentemente do algoritmo de Metropolis, onde a probabilidade de seleção $g(\mu \to \nu )$ é uniforme e a probabilidade de aceitação $A(\mu \to \nu )$ obedece uma dada lei resultando em uma probabilidade de transição $P(\mu \to \nu )$ que respeita a condição, no algoritmo do banho térmico a taxa de aceitação é unitária

$A(\mu \to \nu )=1,\mathrm{\forall }\mu ,\nu$

e a taxa de seleção é baseada nos pesos de Boltzmann (peso não nulo inclusive para o estado atual do sistema)

$g(\mu \to \nu )\propto e^{-\beta E_{\nu }}\propto p_{\nu },\mathrm{\forall }\mu ,\nu$

resultando automaticamente numa probabilidade de transição que respeita o balanço detalhado.

Esse algoritmo é muito mais eficiente para sistemas com alto grau de degenerescência, como o modelo de Potts com grau $q$ elevado.

Testes numéricos

$q=2$, rede retangular $64\times 64$ com condições de contorno periódicas a uma temperatura $T=2.5\text{J}$ ($k_B=1$)

Simulação Monte Carlo com $q=2$ (Ising): Energia em função do tempo

Simulação Monte Carlo com $q=2$ (Ising): Magnetização em função do tempo

Para o modelo de Ising a altas temperaturas, o algoritmo de Metropolis tem uma pequena vantagem, mas para ambos os casos o sistema acaba termalizando em aproximadamente $20\text{ MCSweeps}$ (para uma rede com $N$ spins, $1\text{ MCSweep}$ é equivalente a $N$ passos Monte Carlo, isto é, evolução suficiente para dar a todos os spins uma chance de trocar de estado).

$q=2$, rede retangular $64\times 64$ com condições de contorno periódicas a uma temperatura $T=0.8\text{J}$ ($k_B=1$)

Simulação Monte Carlo com $q=2$ (Ising): Energia em função do tempo

Simulação Monte Carlo com $q=2$ (Ising): Magnetização em função do tempo

Códigos utilizados

Modelo de Potts

Referências

Potts, Renfrey B. (1952). "Some Generalized Order-Disorder Transformations". Mathematical Proceedings.

M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.