Dedução Leapfrog

Queremos resolver as equações que temos para $k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1}$:

$k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1}=v\frac{U_{i+1}^{n+1}-U_i^{n+1}}{\mathrm{\Delta }x}$

Sabendo que

$k_{i+\frac{1}{2}}^n=v\frac{U_{i+1}^n-U_i^n}{\mathrm{\Delta }x},$

e

$s_i^{n+\frac{1}{2}}=\frac{U_i^{n+1}-U_i^n}{\mathrm{\Delta }t},$

podemos escrever equações para $U_{i+1}^{n+1}$, $U_i^{n+1}$ e $U_{i+1}^n$:

$U_{i+1}^{n+1}=s_{i+1}^{n+\frac{1}{2}}\mathrm{\Delta }t+U_{i+1}^n,(1)$

$U_i^{n+1}=s_i^{n+\frac{1}{2}}\mathrm{\Delta }t+U_i^n(2)$

e

$U_{i+1}^n=\frac{\mathrm{\Delta }x}{v}{k}_{i+\frac{1}{2}}^n+U_i^n.(3)$

Substituindo as equações (1) e (2) na equação para $k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1}$, obtemos:

$\frac{\mathrm{\Delta }x}{v}{k}_{i+\frac{1}{2}}^{n+1}=(s_{i+1}^{n+\frac{1}{2}}\mathrm{\Delta }t+U_{i+1}^n)-(s_i^{n+\frac{1}{2}}\mathrm{\Delta }t+U_i^n).$

Ao substituirmos a equação (3) nessa última equação obtida, obtemos a equação citada no desenvolvimento do Método de Leapfrog, dada por

$\frac{\mathrm{\Delta }x}{v}{k}_{i+\frac{1}{2}}^{n+1}=s_{i+1}^{n+\frac{1}{2}}\mathrm{\Delta }t+\frac{\mathrm{\Delta }x}{v}{k}_{i+\frac{1}{2}}^n+U_i^n-(s_i^{n+\frac{1}{2}}\mathrm{\Delta }t+U_i^n).$

E, por fim, dela obtemos a equação para $k$:

$k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1}=k_{i+\frac{1}{2}}^n+r(s_{i+1}^{n+\frac{1}{2}}-s_i^{n+\frac{1}{2}}),$

onde $r=\frac{v\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }x}$.