Grupo - Ising 2D

Grupo: Ânderson Rosa, Caetano Pires e Lucas Doria.

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Introdução

A denominação "modelo de Ising" é utilizada para tratar um sistema de spins de Ising $s={s_{1},s_{2},..s_{i},...s_{N}}$ que podem assumir valor $1$ e $-1$, respectivamente "up" e "down", onde $N$ é a quantidade máxima de spins, ao qual se acopla uma dinâmica que lhe proporciona relaxamento para um estado de equilíbrio. A evolução desse sistema de spins é descrito por uma dinâmica que possui as propriedades do processo de Markov de balanceamento detalhado e ergocidade, garantindo ao sistema que sua evolução o leva a estados estacionários de equilibrio descritos pela distribuição de Gibbs relacionada à hamiltoniada de Ising.

O modelo de Ising 2D tratado neste trabalho possui seus spins organizados em uma rede quadrada bidimensional de tamanho $N=LxL$ com vizinhança de Von Newmann. A energia desse sistema é descrita pela equação

$E=-J\sum _{<ij>}s_{i}s_{j}-\mu H\sum _{i}s_{i},$

onde $J$ é a taxa de transição, $H$ representa o campo magnético externo e $\mu$ o momento magnético associado com cada spin. O primeiro somatório é sobre todas as vizinhanças de spins e o segundo sobre todos os spins. Neste trabalho, particularmente, escolhemos $J=1$ para favorecer menores energias em spins apontados para cima ($s=1$, $\mu =1$ e valores iguais ou maior que zero para o campo magnético.

A magnetização desse sistema é dada pela soma de todos os valores de spins:

$M=\sum _{i=1}^{N}s_{i}$.

Utilizando a abordagem da mecânica estatística, conforme descrito por Gibbs (1902), podemos estimar valores médios de propriedades macroscópicas de um sistema termodinâmico, como energia ou magnetização, a partir de uma amostragem de Boltzmann relativa ao valor da propriedade sobre todos os estados do sistema. Sendo assim, podemos estimar o valor energia do nosso sistema em estado de equilibro termodinâmico como sendo

$<E>={\frac {1}{Z}}\sum _{\nu }E_{\nu }e^{-E{\nu }/kT}$

onde Z é a função partição $Z=\sum _{\mu }e^{-E{\mu }/kT}$, $E_{\nu }$ é a energia do sistema no estado $\nu$, $T$ é a temperatura de um reservatório em contato com o sistema e $k$ é a constante de Boltzmann, escolhida nesse trabalho como tendo valor unitário. O mesmo serve para a magnetização:

$<M>={\frac {1}{Z}}\sum _{\nu }M_{\nu }e^{-E{\nu }/kT}$, onde $M_{\nu }$ é a magnetização no estado $\nu$.

A partir dos valores médios da magnetização e da energia, podemos também estimar grandezas como o calor específico $C=k\beta ^{2}(<E^{2}>-<E>^{2})$ e a susceptibilidade magnética $\chi ={\frac {\beta }{N}}(<M^{2}>-<M>^{2})$, onde $<M^{2}>$ e $<E^{2}>$ são as médias sobre os quadrados da magnetização e da energia e $\beta ={\frac {1}{kT}}$.

Como nosso sistema possui muitos estados e é computacionalmente impossível visitar todos, utilizamos o método de amostragem por importância para calcular as médias da propriedades. Desta forma podemos visitar apenas os estados mais importantes de forma aleatória utilizando o método de Monte Carlo:

$<E>={\frac {1}{MCS}}\sum _{i=1}^{MCS}E_{i}$

$<M>={\frac {1}{MCS}}\sum _{i=1}^{MCS}M_{i}$

onde $MCS$ é a quantidade de passos de Monte Carlo dadas.

O Modelo de Ising

A denominação "modelo de Ising" é utilizada para tratar um sistema de psins de Ising ao qual se acopla uma dinâmica que lhe proporciona relaxamento para um estado de equilíbrio. Esse sistema de spins é descrito por uma dinâmica que possui balanceamento detalhado e que o leva a estados estacionários de equilibrio, descritos pela distribuição de Gibbs relacionada à hamiltoniada de Ising.

O modelo de Ising é construido a partir de uma rede de $N$ spins de Ising com interações entre primeiros vizinhos. Os spins de Ising apontam apenas na direção $+z$ ou $-z$. Assim, o $i$-ésimo spin do sistema pode assumir dois valores, que por conveniência são assumidos $s_{i}=\pm 1.$ Cada um desses "Ising spins" interage com outros spins do sistema.

Em um material magnético real, a interação é maior entre spins mais próximos. Com essa motivação, uma forma de representar a interação entre os spins do sistema é levar em conta a interação apenas entre um spin e seus vizinhos mais próximos da cadeia de spins. A energia de tal sistema pode ser expressa por

$E=-J\sum _{<ij>}s_{i}s_{j}-H\sum _{i}s_{i},\qquad (1)$

onde a soma se dá sobre todos os pares de spins mais próximos entre si, $J$ é a constante de correlação, que assumimos positiva e $H$ é um campo magnético externo que atua sobre os spins.

Uma análise qualitativa da expressão para a energia do microestado acima, inicialmente desconsiderando o campo magnético $H$, já mostra, por exemplo, que se dois spins são paralelos entre si, a energia de interação entre eles é $-J$. Se os spins são antiparalelos, então o produto dentro da soma é negativo, de forma que $E=J.$ Portanto, as interações favorecem um alinhamento paralelo entre spins vizinhos, buscando um estado de menor energia.

Embora a energia do sistema seja menor quando todos os spins são paralelos entre si, é preciso considerar o efeito da temperatura sobre o sistema. No modelo estudado em questão, é considerado que o sistema se encontra em equilíbrio com uma fonte de temperatura $T$, de forma que o comportamento do sistema pode ser estudado a partir do ensemble canônico.[1]

Para um sistema que se encontra em equilíbrio com uma fonte em temperatura $T$, a probabilidade de encontrar o sistema em um estado particular é proporcional ao fator de Boltzmann

$P_{\alpha }\propto e^{-E_{\alpha }/k_{b}T}\qquad (2)$

onde $E_{\alpha }$ é a energia do estado $\alpha$ correspondente e $k_{b}$ a constante de Boltzmann. Cada um desses estados é uma configuração particular do conjunto de spins, chamados microestados do sistema. Portanto, se temos uma cadeia com $N$ Ising spins, o sistema possui $2^{N}$ microestados possíveis. Essa interação do sistema com uma fonte à temperatura $T$ faz com que o sistema passe por transições de um microestado para outro, fazendo com que spins individuais alternem entre +1 e -1 enquanto ganham ou perdem energia devido a fonte.

Uma medida macroscópica do momento magnético total do sistema é chamada de magnetização, e é uma média dos diversos microestados que o sistema visita durante uma medida. O momento magnético de um microestado $M_{\alpha }$ é a soma dos valores dos spins daquele estado em particular. Assim, a magnetização medida é dada por

$M=\sum _{\alpha }M_{\alpha }P_{\alpha },$

Teoria do Campo Médio: Uma abordagem aproximada

O método do campo médio pode ser utilizado para introduzir algumas propriedades de um sistema de spins, assim como uma primeira análise de transições de fase. Porém seus resultados não são quantitativamente exatos, sendo necessária uma abordagem diferente ao problema para fins de resultados melhores (ver seção sobre o método Monte Carlo).

A magnetização do sistema está relacionada ao alinhamento de spin médio $<s_{i}>$. A magnetização total a uma temperatura $T$ para um sistema de $N$ spins é dada por

$M=\sum _{i}<s_{i}>=N<s_{i}>,$

Se adicionarmos um campo magnético ao problema, a função de energia do sistema se torna

$E=-J\sum _{<ij>}s_{i}s_{j}-\mu H\sum _{i}s_{i},$

onde $H$ representa o campo magnético e $\mu$ o momento magnético associado com cada spin. Este campo faz com que os spins tendam a se orientar paralelamente a $H$, visto que isso diminui a energia. Para obter a aproximação de campo médio, consideramos que o sistema é constituído de um único spin $s_{i}$, de tal forma que a única energia envolvida é a energia de campo. As probabilidades de encontrar o sistema de um único spin nos seus dois possíveis estados são dadas por

${\begin{cases}P_{+}=Ce^{+\mu H/k_{b}T},\\P_{-}=Ce^{-\mu H/k_{b}T},\end{cases}}$

onde $C$ é um coeficiente que pode ser determinado tomando a condição de que as duas probabilidades se somem a 1. Portanto,

$C={\frac {1}{e^{+\mu H/k_{b}T}+e^{-\mu H/k_{b}T}}},$

A média de $s_{i}$ pode ser calculada por

$<s_{i}>=\sum _{s_{i}=\pm 1}s_{i}P_{\pm }=P_{+}-P_{-}=\tanh(\mu H/k_{b}T).$

O Método de Monte Carlo

Método de Metropolis

Para o método de Monte Carlo responsável por gerar configurações de acordo com a probabilidade $(2)$ (ver seção "O Modelo de Ising"), utilizaremos o algoritmo de dinâmica estocástica chamado método de Metropolis. Nesse método, utilizamos um conjunto de probabilidades $g(\mu \rightarrow \nu )$, uma para cada conjunto de transições de estados, e então escolhemos um conjunto de probabilidades de aceitação $A(\mu \rightarrow \nu )$. O algoritmo funcionará escolhendo repetidamente um novo $\nu$ e aceitando ou rejeitando o estado de acordo com nossa probabilidade de aceitação. O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins, onde apenas um spin será invertido aleatoriamente para termos um novo estado a ser testado. É válido notar que a dinâmica de inversão única de spins não é o que caracteriza o método de Metropolis, pois ainda poderíamos ter esse método ao utilizarmos uma dinâmica com mais spins sendo invertidos simultaneamente.

Utilizando a equação $(2)$, temos que a condição de balanceamento detalhado é dada por:

${\frac {P(\mu \rightarrow \nu )}{P(\nu \rightarrow \mu )}}={\frac {g(\mu \rightarrow \nu )A(\mu \rightarrow \nu )}{g(\nu \rightarrow \mu )A(\nu \rightarrow \mu )}}={\frac {A(\mu \rightarrow \nu )}{A(\nu \rightarrow \mu )}}=e^{-{\frac {\Delta E}{k_{B}T}}},\qquad (3)$

onde $\Delta E=E_{\nu }-E_{\mu }$.

Vamos supor que tenhamos os estados $\mu$ e $\nu$ e que temos a relação de energias: $E_{\mu }<E_{\nu }$. Então, a maior das duas chances de aceitação é $A(\nu \rightarrow \mu )$, portanto iremos igualar essa probabilidade a 1. Para que $(3)$ seja respeitada, iremos definir o valor de $A(\mu \rightarrow \nu )$ como $e^{-{\frac {\Delta E}{k_{B}T}}}$. Temos, assim, o algoritmo de Metropolis:

$A(\mu \rightarrow \nu )={\begin{cases}e^{-{\frac {\Delta E}{k_{B}T}}},\qquad {\text{se }}\Delta E>0\\\\1,\qquad \qquad {\text{caso contrario}}.\end{cases}}$

Dessa forma, sempre que tivermos um estado cuja energia seja menor do que a do estado atual, iremos aceitar a transição, mas se a energia for maior, teremos uma pequena probabilidade de trocarmos de estado.

Implementação

Para a implementação do método, utilizaremos uma matriz $L\times L$ com condições de contorno periódicas, i.e., faremos com que os vizinhos de uma fronteira da matriz sejam os spins na outra fronteira correspondente. Isso irá garantir que todos os spins tenham o mesmo número de vizinhos e a mesma geometria local. Cada spin da matriz poderá assumir apenas os valores de +1 e -1, representando a magnetização desse spin.

Para o estado inicial do sistema, podemos escolher entre duas opções muito utilizadas: ou determinamos $T=0$ e todos os spins, portanto, estarão alinhados na mesma direção, ou assumimos $T=\infty$, o que fará com que tenhamos uma configuração aproximadamente aleatória, garantido uma magnetização média do sistema de aproximadamente 0.

Uma boa estratégia para otimizarmos a simulação é calcular a energia total do sistema no estado inicial utilizando a equação $(1)$ e durante a dinâmica da simulação calcularmos apenas $\Delta E$, atualizando a nova energia do sistema com $E_{\nu }=E_{\mu }+\Delta E$. Para obtermos um novo estado, escolhemos aleatoriamente um spin e calculamos a variação de energia ao invertemos ele. Da equação $(1)$, temos que só um spin $(s_{k})$ irá mudar de estado; logo, apenas seus vizinhos serão afetados. Temos que, para qualquer valor de $s_{k}$, $s_{k}^{\nu }-s_{k}^{\mu }=-2s_{k}^{\mu }$. Utilizando isso e fazendo a diferença entre as energias, podemos escrever

$\Delta E=2s_{k}^{\mu }(J\displaystyle \sum _{j}s_{j}+H),$

onde o somatório se dá nos vizinhos de $s_{k}$ e, como os vizinhos de $s_{k}$ não mudam de estado, $s_{j}^{\mu }=s_{j}^{\nu }$ para qualquer $j$.

Durante todo o processo de simulação que fizemos, utilizamos medidas de temperatura em unidades de energia. Dessa forma, temos $k_{B}=1$. Além disso, também utilizamos $J=1$. É interessante ressaltar que, durante a simulação, escolhemos medir o tempo de simulação em passos de Monte Carlo (Monte Carlo steps, ou apenas MCS), que representa o fato de que todos os spins do sistema receberam a chance de inverterem de estado. Em outras palavras, em um sistema com N spins, já ocorreram N seleções aleatórias de spins para tentar a mudança de estado.

Medição

Temos algumas medidas relevantes a serem feitas nessa simulação. Uma delas é a medida da magnetização do sistema que é dada pela soma dos estados de todos os spins, ou seja

$M_{\mu }=\displaystyle \sum _{i}s_{i}^{\mu }.$

De forma similar ao que foi feito para a energia, uma boa estratégia de otimização para a medida da magnetização é calcular a magnetização total do sistema no estado inicial e então somar $\Delta M$ sempre que o sistema aceitar a mudança de estado. Sendo que para qualquer $s_{k}$ temos $\Delta M=s_{k}^{\nu }-s_{k}^{\mu }=2s_{k}^{\nu }$, temos que

$M_{\nu }=M_{\mu }+2s_{k}^{\nu }.$

Outra medida relevante é a suscetibilidade magnética do sistema, dada por

$\chi ={\frac {<M^{2}>-<M>^{2}}{Nk_{B}T}},$

onde $N$ é o número total de spins ($L^{2}$), $<M^{2}>$ e $<M>$ são, respectivamente, a média quadrática da magnetização e média da magnetização durante a simulação. Por fim, temos a medida do calor específico do sistema, dada por

$c={\frac {<E^{2}>-<E>^{2}}{Nk_{B}^{2}T^{2}}},$

onde $<E^{2}>$ e $<E>$ são, respectivamente, a média quadrática da energia do sistema e média da energia durante a simulação. Antes de começar o registro das medidas de magnetização e energia do sistema, assim como os cálculos da suscetibilidade magnética e do calor específico, é interessante dar um tempo de equilíbrio para o sistema, ou seja, deixar a simulação ocorrer durante um determinado tempo para eliminar problemas transientes do sistema.

Resultados

Para analisarmos os resultados obtidos pelo método de Metropolis, realizamos diversas medidas em sistemas com dimensões $20\times 20$, $36\times 36$ e $48\times 48$. Utilizamos para todas as medidas um tempo de equilíbrio de $10^{5}$ Monte Carlo Steps e fizemos $10^{6}$ medidas.

Primeiramente, fizemos medidas para sistemas sem campo magnético, ou seja, $H=0$. Com isso, montamos histogramas da magnetização por spins e da energia por spins do sistema para cada um dos 3 casos em três diferentes temperaturas:

Imediatamente é possível notar que, para todas as temperaturas, quanto maior o número de spins, menor é a variância da energia, com as larguras das gaussianas ficando menores. Para a magnetização, para temperaturas menores que a temperatura crítica $T_{c}\approx 2.269$ e tempos de simulação suficientemente longos, era esperado que tivéssemos duas gaussianas simétricas e de mesma altura, já que os spins estão livres para assumirem valores de +1 e -1. Esse resultado é facilmente observado para $T=2.2$ no sistema 20x20, mas para os sistemas 36x36 e 48x48 as gaussianas possuem alturas diferentes. Esses resultados são indicativos do efeito de redes maiores, onde temos que quanto maior a rede, menor a probabilidade de haver mudança de magnetização do sistema, exigindo tempos de simulação cada vez maiores. Esse efeito pode ser observado ao compararmos as séries temporais da magnetização dos três sistemas:

Séries temporais da magnetização para os sistemas 20x20 (esquerda), 36x36 (centro) e 48x48 (direita).

Como podemos ver pelas séries temporais, no mesmo período de tempo, o sistema 20x20 troca de estado diversas vezes, enquanto o sistema 36x36 troca apenas uma vez para o estado -1 e o sistema 48x48 não troca nenhuma vez para o estado -1. Além disso, pelos histogramas, é possível notar que quanto maior a temperatura em relação à temperatura crítica, mais a magnetização do sistema tende a zero, ou seja, as duas gaussianas vão se somando em $M=0$, resultado da transição de fase do ferromagnetismo para o paramagnetismo.

Energia (esquerda) e magnetização (direita) em função da temperatura para diferentes tamanhos de rede. $T_{c}\approx 2.269$.

Fazendo um gráfico para a energia em função da temperatura e da magnetização em função da temperatura para cada um dos sistemas, podemos ver que a energia aumenta com o aumento da temperatura, enquanto a magnetização decresce com o aumento da temperatura. Também é possível notar que em ambos os gráficos os resultados para os três tamanhos de sistemas são aproximadamente iguais até a a temperatura aproximar-se da temperatura crítica. Conforme a temperatura se aproxima da transição de fase, os resultados deixam de ser aproximadamente iguais, pois a energia passa a ser maior para redes maiores e voltam a tornarem-se similares após $T=2.5$. Para a magnetização, ao se aproximar da transição de fase, a magnetização decresce muito mais rapidamente em redes maiores, com os resultados tendendo a zero com o aumento da temperatura.

Calor específico em função da temperatura para diferentes tamanhos de rede. À esquerda um gráfico para uma faixa grande de temperaturas e à direita um gráfico detalhado próximo da temperatura crítica. $T_{c}\approx 2.269$.

Suscetibilidade magnética em função da temperatura para diferentes tamanhos de rede. À esquerda um gráfico para uma faixa grande de temperaturas e à direita um gráfico detalhado próximo da temperatura crítica. $T_{c}\approx 2.269$.

Analisando os gráficos da suscetibilidade magnética e do calor específico em função da temperatura, podemos perceber que tanto a suscetibilidade magnética quanto o calor específico aumentam quando a temperatura se aproxima da temperatura crítica, com ambos os gráficos possuindo curvas que se tornam mais estreitas próximo de $T_{c}$, com os gráficos sendo mais estreitos em redes maiores. Também podemos ver que ambos os gráficos começam a decair um pouco após a temperatura crítica. Isso significa que as variâncias da energia e da magnetização aumentam consideravelmente com a transição de fase do sistema, implicando no aumento da suscetibilidade magnética e do calor específico ao redor da temperatura crítica. É possível perceber que esse efeito é maior em redes maiores, onde há uma grande diferença entre os valores das redes de diferentes tamanhos. No gráfico com a faixa de temperatura maior, podemos ver que para temperaturas menores que T = 2.1 e maiores que T = 2.8 tanto a suscetibilidade magnética quanto o calor específico possuem valores aproximadamente iguais para todos os tamanhos de rede.

Um resultado de redes grandes

Algo que pode resultar de simulações com redes grandes é o aparecimento de blocos de spins. Em uma rede suficientemente grande, pode ocorrer o aparecimento de aglomerados (clusters) de spins de determinada magnetização e esses aglomerados podem acabar crescendo até que se formem blocos de spins com uma direção que dão um resultado não tão esperado para o sistema. Um exemplo pode ser visto ao simularmos um sistema $100\times 100$ com temperatura $T=2.0$. Nessas condições, o sistema tende a ficar aproximadamente estável com magnetização aproximadamente +1 ou -1. Contudo, eventualmente pode ocorrer de uma simulação acabar com uma magnetização variando próximo de zero, como é possível ver na série temporal:

Série temporal da magnetização. É possível notar que regularmente a série converge rapidamente para um estado com magnetização +1 (note que poderia também convergir para -1), mas há a possibilidade de ficar oscilando próximo de $M=0$.

Ao olharmos um snapshot do estado de ambos os sistemas conseguimos entender o que está acontecendo:

Snapshot de uma simulação ordinária (esquerda) de um sistema 100x100 a uma temperatura de T=2.0 que convergiu para M = +1 e snapshot de um sistema (direita) onde ocorreu o aparecimento de blocos de spins. Pontos pretos são spins com magnetização +1 e pontos brancos são spins com magnetização -1. Ambas snapshots tiradas após $10^{4}$ Monte Carlo steps.

No snapshot da simulação ordinária conseguimos ver que a maior parte dos spins estão com magnetização +1, o que está de acordo com a série temporal. Já no outro snapshot, temos a formação de um bloco de spins com magnetização -1 ocupando uma faixa vertical completa do sistema. Esse estado da rede faz com que spins que sejam invertidos dentro de um dos blocos influenciem muito pouco a magnetização do sistema e os spins das fronteiras entre os blocos que forem invertidos acabam apenas sendo invertidos novamente, fazendo com que a magnetização total do sistema oscile, mas se mantenha sempre próxima do mesmo valor. Para ilustrarmos esse efeito, temos uma animação para cada uma das evoluções: sem a formação de blocos e com formação de blocos.

Animação do sistema convergindo para magnetização +1 correspondente à série temporal "Simulação ordinária" no gráfico das séries temporais. Animação feita até $3\times 10^{3}$ Monte Carlo steps. Pontos pretos são spins com magnetização +1 e pontos brancos são spins com magnetização -1.

Animação do sistema com formação de um bloco vertical de spins com magnetização +1. Animação feita até $3\times 10^{3}$ Monte Carlo steps. Pontos pretos são spins com magnetização +1 e pontos brancos são spins com magnetização -1.

Simulação com campo magnético

Para fazermos a simulação do modelo de Ising com campo magnético não nulo e termos resultados interessantes de serem observados, precisamos de duas características: primeiro, precisamos que o campo magnético seja pequeno para que possamos fazer observações, pois para campos magnéticos grandes os spins irão se alinhar rapidamente à direção do campo e, portanto, será pouco provável a mudança de estado do sistema. A segunda característica que precisamos é a de que a rede seja pequena, pois quanto maior a rede, menos provável é o sistema mudar de estado em tempos de simulação viáveis, assim como foi visto nos resultados sem campo magnético. Utilizando uma rede 20x20, fizemos histogramas para diferentes temperaturas para dois diferentes campos magnéticos:

Histogramas da magnetização de uma rede 20x20 sob efeito de um campo magnético. À esquerda temos um campo magnético atuante $H=-0.005$ e à direita temos um campo magnético $H=0.005$.

Podemos observar que para a temperatura inferior a $T_{c}$, temos a formação de uma gaussiana muito maior do que a outra, com a maior gaussiana sendo a que tem a magnetização alinhada com a direção do campo magnético exercendo influencia na rede. Ao utilizarmos temperaturas maiores que a temperatura crítica, vemos a magnetização aumentar ao redor de M = 0, até que em T = 3.0 temos apenas uma gaussiana centrada em M = 0, o que está de acordo com a transição de fase do sistema. Caso não tivéssemos respeitado uma das duas características citadas anteriormente para a simulação de Ising com campo magnético, a maior diferença estaria no sistema com temperatura inferior à temperatura crítica, pois teríamos a formação de apenas uma gaussiana e ela estaria alinhada à direção do campo magnético aplicado ao sistema.

Conclusões e Observações

O modelo de Ising estudado neste trabalho é um modelo de spin extremamente simples. Outros modelos podem ser estudados. Por exemplo, podemos considerar os spins como sendo vetores de comprimento constante mas que tenham movimento de rotação em um plano[2], ou até mesmo considerar vetores em três dimensões[3]. Além disso, o alcance das interações entre os spins do sistema pode ser incrementada para os segundos, terceiros ou até mais distantes vizinhos mais próximos de um spin. Todos esses modelos têm sido estudados extensivamente. Apesar disso, o modelo simples em 2D com spins +1 e -1 estudado ainda representa bem as propriedades do sistema, principalmente o fenômeno de transição de fase.

Bibliografias

N. J. Giordano, "Computational Physics". Department of Physics, Purdue University. Upper Saddle River, New Jersey. Prentice-Hall, 1997.

M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.

Tânia Tomé, Mário J. de Oliveira, "Stochastic Dynamics and Irreversibility". Universidade de São Paulo, São Paulo, Brasil. 2015.