Transição de fase em dinâmicas de avaliação

Falência Coletiva de Empresas e Transição de fase em dinâmicas de avaliação

Introdução

Existem muitos riscos na atividade bancária. Neste trabalho foi investigado uma Dinâmica usada para estudar estes riscos. Poder lidar com isso é importante para que a economia ao todo não seja afetada quando os piores cenários aconteçam. Um deles é o risco de Moratórias (Defaults). Uma moratória é definida como um estado em que um banco determina que um devedor não é mais capaz de pagar uma dívida sem com que o banco tome outras ações (p. e. estender o prazo de pagamento). Com isso em mente, um banco sempre precisa ter uma estimativa das suas perdas dado uma moratória para cada entidade capaz de gerar uma dívida . Uma dessa entidades são empresas. Porém, empresas não são entidades independentes. Elas tem relações com outras empresas e isso pode torná-las dependentes uma das outras. Baseado em o quão forte for essa dependência, uma moratória em uma empresa pode levar a uma moratória em outra. Duas empresas que dependem do produto uma outra se veem em uma situação que se caso qualquer uma delas tenha dificuldade financeira, a outra sentirá também e, no pior dos casos, pode acabar com dívidas assim como a sua parceira. Isso é chamado de moratórias em conjunto ou falência coletiva.

Dependências podem surgir de fontes diferentes e nem sempre serão positivas. Empresas podem ter uma parceria de trocas, onde uma depende do que outra produz e a que produz depende da compra da outra. Essa dependência também pode ser indireta, na forma de ambas dependerem de um mesmo recurso. Como ambas usam a mesma matéria prima, caso algo aconteça com a mesma, ambas serão afetadas. Uma competição entre empresas também é uma dependência. A diferença é que quando uma empresa for afetada de forma negativa, a outra será afetada de forma positiva e vice-versa.

Nesse trabalho foi utilizada uma dinâmica simples para identificar essas moratórias. Isso foi feito simulando essa interação entre empresas e criando uma avaliação da situação de cada uma delas. As mudanças nessas avaliações vão vir de duas fontes. A primeira será uma Dinâmica Individual de uma firma, isto é, o estado econômico da mesma e como ela age em relação a isso. A segunda fonte será uma Dinâmica Coletiva das interações entre as empresas semelhante ao Modelo de Potts. Com uma dinâmica desse tipo, veremos duas fases bem definidas no número de moratórias.

Modelo

A condição financeira de uma empresa será descrita por uma variável R com valores discretos 0, 1, …, $R_{max}$. Essa medida de avaliação financeira vai nos dizer que quando R = 0, teremos uma moratória. R é modelado pela Eq. (1).

$R(t)=R(t-1)+s(t)+\eta (R(t-1),s(t))$

Essa avaliação dependerá do seu valor anterior e em cada passo, ela só vai mudar de um em um, pois essa variável $s(t)$ vai ser -1, 0 ou 1. Ou seja, só é possível diminuir em um o R(t) de uma empresa, ou aumenta-lo em 1. O $\eta$ estará modelando as condições de fronteira, já que o espaço dos R's é limitado. A fronteira R = 0 (Moratória) é absorvente, pois uma empresa não irá se recuperar neste modelo. Já o limite superior, ou seja, $R_{max+1}$ é refletivo, pois não se pode ir além. Isto será modelado com $\eta (R,s)=-s$ se R=0, ou $\eta (R,s)=-1$ se $R=R_{max}$ e $s=1$, ou $\eta (R,s)=0$ para os outros casos.

$P(s_i|s_1,...,s_{i-1},s_{i+1},...,s_N,R_i)=\frac{1}{Z}exp(\sum _{j\ne i}{J}_{ij}\delta (s_i,s_j)+f(R_i,s_i))$

A função s(t) é semelhante aos spins de partículas para um Modelo de Potts com q = 3. Para N empresas, definiremos uma probabilidade de uma variável $s_i$ de uma empresa $i$ mudar de estado no instante t. Isto é, será uma probabilidade condicional, onde iremos supor uma transição e analisar a probabilidade disso ocorrer no tempo seguinte, baseado em como o sistema está agora e repetir isso para todas as possíveis transições, vide Eq. (2). Tudo antes da barra em (2) é em $t+1$ e tudo depois da barra é em $t$. Ou seja, assumiremos que em $t+1$, $s_i=-1$. Calculando $P(s_i=-1|s_1,s_2,...)$ teremos a probabilidade disso acontecer, analisando em especial o Delta de Kronecker. Ele só será não nulo com os $s_j$ que estão no mesmo estado, ou seja, estamos contando quantos estados são iguais ao $s_i$ que foi suposto. O termo $J_{ij}$ será uma matriz que vai modelar a interação entre as empresas, ou a dependência entre i e j. Cada valor nesta matriz é Gaussiano (Eq. 3) com média $J_0$ e desvio ${\sigma }_J$. Além disso Z será uma constante de normalização, para que $$ e $f(R_i,s_i)$ será o termo que vai modelar a dinâmica interna da empresa (Veremos o caso $f=0$ e o caso $f\ne 0$). Com isso feito, teremos a possibilidade do nodo $s_i$ ir para -1 em $t+1$. Estenderemos isso para $P(s_i=0|s_1,...)$ e $P(s_i=1|s_1,...)$ e teremos todas as possibilidades de transição de $s_i$ em $t+1$. Basta agora repetir isso para as N empresas e escolher aleatoriamente o destino de cada nodo baseado nessas probabilidades obtidas.

Os valores $J_{ij}$ podem ser tanto positivos quanto negativos. Quando $J_{ij}>0$, haverá uma interação positiva entre duas empresas, ou uma cooperação. Essa cooperação pode ser na forma de uma relação de compra e troca, ou na dependência de mesmos recursos. Se um dos nodos tiver algum problema financeiro, ele terá o seu capital afetado e logo diminuirá os lucros dos seus parceiros. Uma mudança em i causará uma mudança em j na mesma direção. Caso $J_{ij}<0$, haverá uma concorrência entre i e j. Uma mudança em i causará uma mudança em j na direção oposta.

$P(J_{ij})=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_J^2}}exp(-\frac{(J_{ij}-J_0{)}^2}{2{\sigma }_J^2})$

Definiremos também o número de moratórias $ND$ (Number of Defaults). Sabemos que há uma moratória quando $R=0$, então $ND$ será quantos $R_i$ nulos teremos nas N empresas após toda uma simulação. Mas, como $J_{ij}$ será um valor diferente de simulação para simulação e isso levará a valores diferentes de $ND$, iremos definir uma média de $ND$ como $<ND>$. Na equação abaixo, K é o número de simulações feitas e $N{D}_k$ é o $ND$ de uma específica simulação.

$<ND>=\frac{1}{K}\sum _{k=1}^{K}N{D}_k$

Trabalho 2026 : Thao CHOUILLOU e Thomas MAHIOUS

1. Introdução

Os sistemas econômicos são caracterizados por fortes interações entre os diferentes agentes. Em particular, as empresas não funcionam de forma isolada: elas dependem de seus fornecedores, de seus clientes e de recursos compartilhados. Essas interconexões podem gerar importantes efeitos coletivos, especialmente durante crises econômicas.

Um fenômeno particularmente relevante é o da inadimplência (ou falência), que corresponde à incapacidade de uma empresa de honrar seus compromissos financeiros. Quando as empresas estão fortemente interconectadas, a falência de uma delas pode provocar a falência de outras, levando a um efeito em cascata conhecido como falência coletiva.

Neste trabalho, estudamos um modelo simplificado que descreve a dinâmica da situação financeira de um conjunto de empresas em interação. Esse modelo combina uma dinâmica individual, própria de cada empresa, com uma dinâmica coletiva resultante das interações entre elas.

Do ponto de vista da física estatística, esse sistema apresenta analogias com o modelo de Potts, utilizado para descrever sistemas com múltiplos estados possíveis. Em particular, o modelo pode apresentar uma transição de fase, caracterizada por uma mudança abrupta no número de falências quando determinados parâmetros são modificados.

O objetivo deste trabalho é simular esse modelo por meio de métodos de Monte Carlo, reproduzir os resultados já conhecidos e explorar extensões que permitam compreender melhor os fenômenos coletivos associados às falências.

2. Modelo

2.1 Variável de saúde financeira

A situação financeira de cada empresa é descrita por uma variável discreta ($R_i$), que assume valores inteiros entre 0 e $(R_{\text{max}}).$ O valor ($R_i=0$) corresponde a um estado de falência, enquanto ($R_{\text{max}}$) representa uma empresa em excelente situação financeira.

2.2 Condições de contorno

O modelo impõe duas restrições importantes: Fronteira absorvente em (R = 0): a empresa é considerada falida. Esse estado é absorvente, ou seja, uma empresa que atinge essa condição não pode mais retornar a um estado financeiro positivo. Fronteira refletora em ($R=Rmax$): a empresa atingiu a melhor classificação financeira possível. Qualquer tentativa de aumento adicional é impedida, de modo a manter a variável dentro do intervalo permitido.

2.3 Evolução da saúde financeira

A evolução de ($R_i$) pode ser representada pelo parâmetro ($s_i(t)$), que segue o modelo de Potts de três estados. Nesse caso, ($s_i(t)\in -1,0,1$).

$s_i(t)=-1$: a situação da empresa se deteriora. $s_i(t)=0$: a situação da empresa permanece estável. $s_i(t)=1$: a situação da empresa melhora. A evolução temporal dessa variável é dada por:

$R_i(t)=R_i(t-1)+s_i(t)+\eta (R_i(t-1),,s_i(t))$

O estado $R_i(t)$ depende do estado anterior $R_i(t-1)$, da sua evolução $s_i(t)$ e da função de correção $\eta$, que garante o cumprimento das condições de contorno.

A função de correção $\eta$ é definida pelas seguintes regras:

Se $R_i(t-1)=R_{\text{max}}$ e $s_i(t)=1$, então $\eta =-1$, de modo que $R_i(t)$ permaneça igual a $R_{\text{max}}$.

Se $R_i(t-1)=0$ e $s_i(t)=-1$, então $\eta =1$, de modo que $R_i(t)$ permaneça igual a 0.

Se $R_i(t-1)=0$ e $s_i(t)=1$, então $\eta =-1$, de modo que $R_i(t)$ permaneça igual a 0.

Em todos os demais casos, $\eta =0$, e $R_i(t)$ depende apenas de $R_i(t-1)$ e de $s_i(t)$.

2.4 Dinâmica interna

As empresas interagem por meio de uma matriz $J_{ij}$, que modela as dependências econômicas entre elas. Os coeficientes $J_{ij}$ são sorteados de acordo com uma distribuição gaussiana de média $J_0$ e desvio-padrão ${\sigma }_J$.

$P(J_{ij})=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_J^2}}exp(-\frac{(J_{ij}-J_0{)}^2}{2{\sigma }_J^2})$

Se um coeficiente $J_{ij}$ for positivo, as duas empresas tendem a evoluir na mesma direção. Uma deterioração financeira de uma delas aumenta a probabilidade de que a outra também se deteriore. Esse tipo de interação pode representar parcerias comerciais, cadeias de suprimentos ou dependência de um recurso compartilhado.

Se um coeficiente $J_{ij}$ for negativo, as empresas encontram-se em situação de concorrência. Nesse caso, uma melhora na situação financeira de uma pode favorecer a deterioração da outra, e vice-versa.

O parâmetro $J_0$ representa a intensidade média das interações no sistema, enquanto ${\sigma }_J$ mede sua dispersão. O parâmetro $J_0$ desempenha um papel central no modelo, pois controla o grau médio de interdependência entre as empresas.

2.5 Energia

No caso do modelo de Potts, a energia H do sistema é representada pela expressão:

$H=-\sum _{i<j}{J}_{ij}\delta (s_i,s_j)$

em que $J_{ij}$ representa a correlação entre as empresas e $\delta (s_i,s_j)$ é o delta de Kronecker, que vale 0 quando $s_i\ne s_j$ e 1 quando $s_i=s_j$.

Essa energia permite modelar a estabilidade do sistema. Em física, um sistema tende naturalmente a evoluir para estados de menor energia. Assim, configurações de baixa energia são mais prováveis do que configurações de alta energia.

Por exemplo, considere duas empresas interdependentes $J_{ab}=1$ que se encontram ambas em uma situação financeira desfavorável $s_a=s_b=-1$.

Nesse caso, $\delta (s_a,s_b)=1$ e, portanto, H=-1.

Como a energia é baixa, essa configuração é favorecida. Por outro lado, se essas mesmas empresas forem concorrentes $J_{ab}=-1$, a energia passa a ser H = 1 e essa configuração deixa de ser favorecida.

Esse resultado é coerente, pois empresas concorrentes não tendem a evoluir na mesma direção.

2.6 Variável dinâmica si(t)

Toda a complexidade desse problema reside, portanto, no parâmetro $s_i(t)$, que representa a evolução instantânea de uma empresa em função da influência de suas empresas vizinhas.

Em mecânica estatística, um sistema em equilíbrio segue a distribuição de Boltzmann:

$P(\text{configuração})=\frac{1}{Z}\exp (-\beta H)$ com $\beta =\frac{1}{k_{B}T}$

Essa distribuição é fundamental e estabelece que os estados de menor energia são mais prováveis, enquanto os estados de maior energia são mais raros. Neste trabalho, substituímos $\beta$ por 1, pois a temperatura e a constante de Boltzmann não exercem influência no modelo. Também aparece Z, que corresponde à função de normalização da probabilidade $P(s_i(t))$.

$Z=\sum _{s=-1}^1\exp (\sum _{j\ne i}{J}_{ij}\delta (s,s_j)+f(R_i,s))$

Observa-se que Z depende de dois termos: a matriz J, que mede a correlação entre uma empresa e as demais, e a função f, que leva em consideração apenas as decisões individuais da empresa.

A evolução de $s_i$ é probabilística e depende do estado das demais empresas. A probabilidade de um determinado estado é dada por:

$P(s_i)\propto \exp (\sum _{j\ne i}{J}_{ij},\delta (s_i,s_j)+f(R_i,s_i)),$

em que $\delta (s_i,s_j)$ é o delta de Kronecker, que favorece estados idênticos entre empresas em interação.

3 Simulação

3.1 Vetorização

O cálculo mais custoso é a etapa 1: somar os (J[i,j]) dos vizinhos, separadamente para os 3 estados. Para evitá-lo, mantém-se uma matriz auxiliar mask ((N \times 3)) que indica o estado atual de cada empresa (uma linha ([0,1,0]) se a empresa está no estado 0, por exemplo). Com mask, o cálculo dos 3 scores para uma empresa (i) é feito em uma única operação matricial: scores = J[i] @ mask, executada em código compilado numpy em vez de um laço Python. Após cada sorteio, apenas as duas células envolvidas de mask são atualizadas (custo constante), em vez de reconstruí-la completamente. O laço sequencial sobre as N empresas a cada etapa é mantido (cada atualização influencia imediatamente a seguinte), apenas o cálculo interno é vetorizado. Resultado: uma simulação de 150 empresas por vários milhares de etapas roda em alguns segundos em vez de vários minutos.

3.3 Médidas

3.3.1 Evolução temporal da taxa de falência

Legenda: eixo horizontal = tempo em etapas Monte Carlo; eixo vertical = taxa de falência instantânea (m(t)), isto é, a proporção de empresas em (R=0). Simulação com (N=150) empresas, (J_0=0.0), (\sigma_J=0.3).

Explicação: a curva parte de quase zero, já que nenhuma empresa está em falência na inicialização, e então cresce rapidamente durante as primeiras centenas de etapas antes de se estabilizar em um platô em torno de 0.69. A progressão ocorre em degraus bem definidos em vez de de forma contínua: distinguem-se vários patamares sucessivos, separados por saltos bruscos, em particular entre (t=0) e (t=200). A curva nunca diminui, o que é esperado pois a falência é um estado do qual uma empresa não pode sair. O formato em escada sugere que as falências não ocorrem uma a uma de forma isolada, mas em pequenos grupos — provavelmente conjuntos de empresas fortemente correlacionadas entre si que entram em colapso quase simultaneamente.

3.3.2 Distribuição final da saúde financeira

Legenda: histograma do número de empresas para cada valor inteiro de (R) (de 0 a 10), medido no final da mesma simulação do gráfico anterior.

Explicação: a distribuição é nitidamente bimodal. Cerca de 103 empresas em 150 encontram-se em (R=0) (falência), e cerca de 40 encontram-se em (R=10) (saúde financeira máxima), enquanto os valores intermediários (1 a 9) estão quase vazios — apenas algumas empresas se encontram neles. As empresas, portanto, não se distribuem de forma gradual entre os dois extremos: elas terminam quase todas em um estado de falência ou em um estado de ótima saúde, com pouquíssimas posições intermediárias duráveis. Esse vale no centro da distribuição é o elemento mais marcante: ele mostra que o sistema tende a separar as empresas em dois grupos distintos em vez de produzir uma gama contínua de situações financeiras.

3.3.3 Verificação da estabilização do regime

Legenda: mesma grandeza do gráfico 1 (m(t) em função do tempo), mas em um horizonte duas vezes mais longo (4000 etapas), com uma linha vertical pontilhada marcando o meio da simulação e o desvio-padrão calculado sobre a segunda metade da curva.

Explicação: observa-se o mesmo platô do gráfico 1, que se forma em torno de t=600, mas nota-se aqui um degrau adicional e tardio em t≈3700, muito depois de o sistema já parecer estabilizado. O desvio-padrão medido na segunda metade da simulação é muito baixo (0.0025), o que confirma que o platô é globalmente plano. Esse resultado evidencia que o regime "estacionário" nunca é perfeitamente fixo: falências isoladas e raras ainda podem ocorrer muito tempo depois de o sistema parecer estável, pois sempre restam algumas empresas ativas suscetíveis a sofrerem uma transição por flutuação aleatória.

3.3.4 Taxa de falência estacionária em função de J0

Legenda: eixo horizontal = (J_0), a intensidade média das interações entre empresas; eixo vertical = taxa de falência estacionária (\langle m \rangle), média sobre 8 simulações independentes para cada valor de (J_0) ((N=100), (\sigma_J=0.3)). A linha representa a média, e a faixa sombreada representa o desvio-padrão entre as 8 simulações.

Explicação: para (J_0) negativo, a taxa média de falência permanece moderada e aumenta progressivamente, entre aproximadamente 34% e 44%, com uma faixa de incerteza estreita — as diferentes simulações produzem resultados muito próximos entre si. Observa-se um pico claro em torno de (J_0=0), onde a taxa média atinge cerca de 72%. Para além de (J_0=0), na região positiva, a curva média torna-se irregular e a faixa de incerteza se alarga consideravelmente, chegando a cobrir quase todo o intervalo entre 0 e 1. Essa explosão da variância indica que a média, por si só, não descreve mais adequadamente o que ocorre nessa região: os resultados individuais devem ser analisados com mais detalhe (ver gráfico seguinte).

3.3.5 Resultados individuais na região próxima da transição

Legenda: cada ponto vermelho corresponde ao resultado de uma única simulação (8 pontos por valor de (J_0), ligeiramente deslocados horizontalmente para evitar sobreposição). A linha azul retoma a média do gráfico anterior para fins de comparação.

Explicação: para (J_0) inferior a -0.1, todos os pontos vermelhos estão agrupados muito próximos uns dos outros, com valores intermediários entre 0.33 e 0.47: as oito simulações produzem sistematicamente resultados semelhantes para um mesmo valor de (J_0). A partir de (J_0 \approx 0.1), a situação muda radicalmente: os pontos se separam em dois grupos claramente distintos, um colado em 1.0 e outro colado em 0.0, sem nenhum ponto em valores intermediários. A curva azul da média, nessa região, não corresponde a nenhum resultado realmente observado — ela fica artificialmente entre os dois grupos de pontos, numa altura que depende apenas da proporção de simulações que caíram em um ou outro grupo. Este gráfico revela que cada simulação individual, nessa região, leva ou à sobrevivência quase total das empresas, ou à sua falência quase total, nunca a um resultado intermediário estável.