Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

Introdução

O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

$\{\begin{array}{l}\dot{x}=x(a-by)\\ \dot{y}=y(-c+fx)\end{array}$

onde $x$ e $y$ denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e $a$, $b$, $c$ e $f$ são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:

• $a$: taxa de crescimento livre da presa;
• $b$: taxa de predação;
• $c$: taxa de mortalidade livre do predador;
• $f$: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores. Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

Método de Monte Carlo

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores. Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

a = b = 0.45 c = 0.1 f = 0.3

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  Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória

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  Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados

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  Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusteres.

Correlação de densidades

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo ${\rho }_x(t)$ a densidade global de presas e ${\rho }_y(t)$ a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é $\delta {\rho }_{\alpha }(t)={\rho }_{\alpha }(t)-⟨{\rho }_{\alpha }⟩$.

A correlação temporal estatística $C_{\alpha \beta }(\tau )$ entre as espécies $\alpha$ e $\beta$ onde $\alpha ,\beta \in \{x,y\}$ em um tempo $\tau$ então será:

$C_{\alpha \beta }(\tau )=L^2[\frac{1}{T-\tau }\sum _{t=1}^{T-\tau }\delta {\rho }_{\alpha }(t)\delta {\rho }_{\beta }(t+\tau )]$

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação em uma grid de tamanho L=100 em 2500 passos.

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

Evolução temporal das Densidades

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

Código

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

Referencias

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.