Modelo de Potts -- 2D

Introdução

O Modelo de Potts

O modelo de Potts (Potts, 1951) pode ser descrito como uma generalização do modelo de Ising (Ising, 1925) para um sistema de N spins e Q-estados (Q > 2).

Originalmente, o problema proposto por Domb era o de compreender o modelo de Ising como um sistema de spins, em que os spins podem ser paralelos ou antiparalelos. Desse modo, a generalização seria considerar que os spins estivessem sobre um plano, em que cada spin estivesse apontando para direções diferentes, igualmente espaçadas por um ângulo $\mathrm{\Theta }$ definido por Q:

${\mathrm{\Theta }}_n=\frac{2\pi n}{Q}$, em que n = (0, 1, 2, ..., Q-1).

Representação dos spins para $Q=2$.

Representação dos spins para $Q=3$.

Representação dos spins para $Q=4$.

A energia de cada interação entre dois spins é dada pelo potencial $V(s_i,s_j)=-J\delta (s_i,s_j)$, em que $J$ é a constante de interação entre os dois spins . Esse tipo de sistema o Hamiltoniano da forma:

${\mathscr{H}}=-J\sum _{⟨i,j⟩}\delta (s_i,s_j)$

Para o caso em que o modelo de Potts é equivalente ao modelo de Ising, temos que Q = 2, então:

${\mathrm{\Theta }}_n=\pi n$, n = (0, 1, 2, ..., Q-1)

$$

Objetivos

Neste trabalho, buscamos analisar o comportamento do sistema utilizando dois algoritmos diferentes: o Algoritmo de Metropolis-Hastings e o Algoritmo de Banho Térmico. A partir deles, comparamos a temperatura do sistema com a energia, em cada um dos algoritmos. Depois, com FSS, aplicamos o método de U4 para analisar o comportamento do sistema em diferentes temperaturas, para valores diferentes de L. Por fim, procuramos analisar a susceptibilidade magnética e o calor específico bruto, também com L de diferentes valores.

Metodologia

Para realizar este trabalho, utilizamos uma rede quadrada 2D de comprimento L com N=L*L spins. A rede possui condições de contorno periódicas e vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos. A constante de interação é $J=1$ e para o banho térmico $\beta =1$.

Método de Monte Carlo

No método de Monte Carlo, começamos sorteando aleatoriamente os spins da rede. Em cada passo de Monte Carlo (MCS), sorteamos spins aleatoriamente N vezes, de modo que cada spin tenha uma chance 1/N de ser sorteado. Quando sorteado, um novo valor (diferente do anterior) para esse spin é escolhido e aceito com base em critérios estabelecidos por cada algoritmo. Esse processo acontece em 1 passo de Monte Carlo e número total de passos de Monte Carlo para cada algoritmo foi escolhido separadamente, levando em conta número de passos do estado transiente em cada algoritmo.

Algoritmo de Metropolis-Hasting

(texto retirado de : )

O primeiro algoritmo utilizado para gerar as configurações do sistema foi o algoritmo de Metropolis-Hasting. O algoritmo escolhe repetidamente um novo estado para o sistema $\nu$ e aceitando ou rejeitando ele de acordo com uma probabilidade de aceitação $A(\mu \to \nu )$ de transitar de um estado antigo $\mu$ para o novo estado $\nu$. O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins.

Temos que a condição de balanceamento detalhado é dada por :

$\frac{A(\mu \to \nu )}{A(\nu \to \mu )}=e^{-\beta \mathrm{\Delta }E},(3)$

onde $\mathrm{\Delta }E=E_{\nu }-E_{\mu }$ é a diferença de energia entre o novo e o antigo estado.

Vamos supor que tenhamos os estados $\mu$ e $\nu$ e que temos a relação de energias: $E_{\mu }<E_{\nu }$. Então, a maior das duas chances de aceitação é $A(\nu \to \mu )$, portanto iremos igualar essa probabilidade a 1. Para que $(3)$ seja respeitada, iremos definir o valor de $A(\mu \to \nu )$ como $e^{-\beta \mathrm{\Delta }E}$. Temos, assim, o algoritmo de Metropolis-Hasting:

$A(\mu \to \nu )=\{\begin{array}{l}{e}^{-\beta \mathrm{\Delta }E},\text{se }\mathrm{\Delta }E>0\\ \\ 1,\text{caso contrario}.\end{array}$

Dessa forma, sempre que tivermos um estado cuja energia seja menor do que a do estado atual, iremos aceitar a transição, mas se a energia for maior, teremos uma pequena probabilidade de trocarmos de estado.

Algoritmo de Banho Térmico

(texto retirado de : )

O algoritmo de Metropolis-Hasting para inversão única de spins é eficaz para o modelo de Potts em baixos valores de $Q$ ou temperaturas acima da temperatura crítica, entretanto para valores altos de $Q$ ou baixas temperaturas o algoritmo falha em convergir o sistema rapidamente para o estado estacionário.

Considerando um caso onde $Q=100$ e um spin que possui 4 vizinhos, se todos os vizinhos do spin possuem valores diferentes uns do outro e do próprio spin, poderá levar em média $100/4=25$ passos de Monte Carlo para sortear um novo valor de $q$ que tem a transição aceita, e dessa forma o algoritmo irá demorar mais tempo para alcançar a configuração de equilíbrio do sistema. A dificuldade de aceitar transições é maior ainda para baixas temperaturas, onde a probabilidade de transicionar para um novo estado tem um peso maior para qualquer $q$ diferente dos spins da vizinhança, dessa maneira poderá demorar 96 passos para gerar um spin que seja igual a algum spin da vizinhança e realizar a transição. Para contornar este problema podemos utilizar o algoritmo de banho térmico.

O algoritmo de banho térmico, assim como o metropolis, é um algoritmo em que mudamos um spin por vez. O algoritmo segue as seguintes etapas: primeiro escolhemos um spin na rede ($i$), e independente do seu valor atual, escolhemos um novo valor para $s_i$. Esse novo valor será aceito, ou não, de acordo com os pesos de Boltzmann. Temos que no algoritmo de Banho Térmico nós atribuímos um valor $n$, entre 1 e $q$, ao spin com uma probabilidade

$A(\mu \to \nu )=\frac{e^{-\beta E_{\nu }}}{\sum _{m=1}^q{e}^{-\beta E_m}},$

onde $E_n$ é a energia do sistema quando $s_i=n$ e o somatório é dado em todas energias possíveis. Pelo fato desse algoritmo permitir que o spin assuma qualquer valor ele satisfaz a condição de ergodicidade. Temos que $A(\mu \to \nu )=a_{\nu }$ e $A(\nu \to \mu )=a_{\mu }$, assim, pela descrição do algoritmo temos

$\frac{A(\mu \to \nu )}{A(\nu \to \mu )}=\frac{a_{\nu }}{a_{\mu }}=\frac{e^{-\beta E_{\nu }}}{\sum _{m=1}^q{e}^{-\beta E_m}}\times \frac{\sum _{m=1}^q{e}^{-\beta E_m}}{e^{-\beta E_{\mu }}}=e^{-\beta \mathrm{\Delta }E}.$

Ou seja, o algoritmo de banho térmico respeita a condição de balanço detalhado.

Veremos que para valores pequenos de $q$ (como $q=2$, que é o modelo de Ising), o algoritmo de Metropolis é mais eficiente. Porém, para valores altos de $q$ ou altas temperaturas o algoritmo de banho térmico é mais eficiente.

Resultados

Comparando os Algoritmos em Q=2

Aqui se encontram os resultado para Q=2. As simulações foram realizadas para MCS = 50.000 passos. O transiente para o banho térmico foi de 500 passos, pois a simulação atingiu o estado estacionário rapidamente, enquanto para o algoritmo de Metropolis foram necessários 10.000 passos para atingir esse estado. Os valores de energia usados foram obtidos a partir da média dos valores de energia no estado estacionário.

Aqui observamos que o modelo realmente se aproxima do modelo de ISING quando Q=2. Primeiramente, vemos que a temperatura crítica do Potts Q=2 se aproxima à temperatura crítica do modelo de ISING, que sabemos que é $T_C\approx 1.1346$. Além disso, vemos que na energia média os dois algoritmos apresentam resultados praticamente idênticos. Nos gráficos de calor específico e de susceptibilidade também vemos esse comportamento na maior parte do intervalo da temperatura, com exceção dos picos apresentados em cada gráfico que vemos que os algoritmos se diferenciam próximos à região da temperatura crítica: o Metropolis-Hastings parece chegar a valores menores que o Banho Térmico (mas julgamos necessário plotar mais pontos para afirmar isto). Por fim, na magnetização, ambos os algoritmos apresentam grandes variações num período inicial de T, mas logo após atingir a temperatura crítica, os algoritmos se tornam quase indistinguíveis e mantém valores muito próximos até T = 2.

Comparação entre os casos Q <= 4 (com Metropolis)

Aqui, colocamos a comparação dos resultados obtidos para Q = 2,3,4. Comparamos as mesmas grandezas que na seção anterior (Energia Média, Magnetização Média, Susceptibilidade Magnética e Calor Específico) utilizado apenas o algoritmo de Metropolis-Hastings para L = 64 e $0.5\le T<\le 2.0$.

Nos quatro gráficos, observamos que os pontos de transição de fase (ou pontos de temperatura crítica) são $T_C\approx 0.9$ para Q = 4, $T_C\approx 1.0$ para Q = 3 e $T_C\approx 1.1$ para Q = 2. Observamos na primeira figura que a energia do sistema (depois dos pontos de transição de fase) aumenta a sua curvatura se tornando cada vez mais acentuada, mas o comportamento geral das curvas se assemelham entre si em todo o intervalo de temperatura do sistema utilizado. Portanto, a partir das três curvas, podemos assumir que a curva da energia do sistema se aproxima de uma descontinuidade no ponto crítico a medida que Q aumenta. Na susceptibilidade magnética, vemos que o comportamento em Q = 3 se diferencia muito das curvas de Q = 2 e Q = 4. Isso indica que o algoritmo de Metropolis oscilou bastante nessa região, o que nos da indícios de um comportamento crítico/extremo nessa região. Para calor específico, notamos que nos pontos de transição de fase para Q = 3 e Q = 4 há picos que se destacam dos outros pontos da curva, enquanto que para Q = 2 esse pico não é tão extremo. Isso nos indica que a energia necessária para o sistema realinhar seus spins é muito grande nos dois primeiros casos citados, enquanto que no equivalente ao modelo de ISING essa energia não é tão grande. Por fim, na magnetização média, inicialmente notamos um ruído para valores de temperatura menores que a temperatura crítica. Depois disso, eles estabilizam em valores específicos, que são as médias dos valores de spins definidos em cada caso (ex.: em Q = 2 definimos spins 0 e 1, então a média é 0.5).

FSS

O Finite Size Scaling (FSS) é uma ferramenta computacional que nos permite pegar uma rede de tamanho finito (como L = 64) e descobrir como ela se comportaria no limite termodinâmico quando L tende a infinito. Em Q = 2, sabemos que a susceptibilidade e o calor específico deveriam ir para o infinito quando T = Tc. Contudo, como a nossa rede tem tamanho finito, observamos que em Q = 2 não é isso que acontece. Portanto, usamos essa ferramenta nas simulações a fim de verificar estes resultados já conhecidos na literatura.

U4

Esse U4 é uma ferramenta estatística que mede o 'quarto momento' das flutuações de magnetização, isso significa que ele vai dizer se o sistema está bem ordenado ou completamente caótico. Quando a temperatura é baixa (sistema perfeitamente ordenado), a medida para todos os tamanhos de rede tende a 2/3. Em temperaturas altas (sistema é um caos), a medida vai a zero.

Exatamente na transição de fase, o valor não depende do tamanho L da rede, então as curvas vão convergir.

Susceptibilidade Magnética

A susceptibilidade magnética mede o quão 'sensível' o sistema é. Se fosse aplicado um campo magnético minúsculo, o quanto o sistema responderia mudando sua magnetização? Estatisticamente, isso é calculado através das flutuações (variância) da magnetização. O que acontece é que longe da temperatura crítica, os spins estão ou muito ordenados ou muito caóticos. Em ambos os casos, as flutuações globais são pequenas, então a susceptibilidade é baixa. Perto da temperatura crítica, o sistema não está nem muito ordenado, nem muito caótico, então flutuam violentamente. Por isso, a susceptibilidade é altíssima e diverge para o infinito na temperatura crítica. Como na simulação a rede é finita, o comprimento de correlação (tamanho de domínios de spins que flutuam muito) tenta crescer, mas 'bate nas paredes' que tem tamanho finito L da rede. É por isso que o pico não vai propriamente a infinito.

A teoria diz que, muito perto do ponto crítico, a física do sistema 'esquece' os detalhes microscópicos da rede e passa a depender somente da proporção entre o tamanho do sistema e o comprimento de correlação. Nós sabemos que no ponto crítico o pico máximo da susceptibilidade deve crescer como $L^{\gamma /\nu }$. Então se nós pegarmos o eixo Y e dividirmos por $L^{\gamma /\nu }$, estamos achatando os picos na mesma proporção. Da mesma forma, estivamos o eixo X multiplicando por $L^{1/\nu }$.

Calor Específico

O calor específico mede a a variância de energia. Perto da temperatura crítica, como os spins estão virando em blocos massivos, a energia total do sistema oscila drasticamente. A variância da energia sobe, criando o pico do calor específico. A teoria nos diz que o expoente crítico que governa o calor específico é o $\alpha$. Para a imensa maioria dos modelos 3D, $\alpha$ é um número positivo, fazendo o pico crescer muito rápido com L. Mas, incrivelmente, para o modelo de Potts Q=2 (Ising) em duas dimensões, $\alpha =0$. Quando isso acontece, a divergência não é uma lei de potência normal, mas sim logarítmica. É por isso que, quando olhamos o gráfico de $C_v$ o pico da rede de 64 é maior que o da rede 16, mas ele cresce de forma mais suave, proporcional ao $\ln (L)$.

Conclusões

A partir da simulação do modelo de potts em duas dimesões foi possível validar a eficácia e as diferenças entre os algoritmos de metrópolis e Banho Térmico. A comparação evidenciou que enquanto o algoritmo de metrópolis é adequado para valores de baixo Q (como Q=2) e altas temperaturas, o Banho Térmico se mostrou mais vantajoso para contornar a baixa taxa de aceitação em regimes de alta frustração (Q elevados ou baixas temperaturas), convergindo mais rapidamente para o equilíbrio. A análise feita para $Q \le 4$ confirmou as espectativas teóricas, mostrando que o aumento do número de estados desloca a temperatura crítica para valores menores e torna as curvas de transição de fase mais abruptas. O modelo $Q = 2$ reproduziu o que esperávamos do modelo de Ising, com a temperatura crítica convergindo para o valor análitico já conhecido. Além disso, a aplicação do Finite size scaling contornou as limitações na rede finita. O cruzamento do U4 confirmou o ponto crítico independentemente de L. O colapso dos dados de susceptibilidade magnética validou a relação de escala com os expoentes críticos, enquanto a análise do calor específico para Q=2 mostrou a divergência logarítmica característica ($\alpha = 0$) ao invés de uma lei de potência padrão. De maneira geral, os métodos numéricos empregados se mostraram robustos e de acordo com o esperado pela literatura.

Código

Para gerar estas simulações, foi produzido um código em Python3. Utilizamos as bibliotecas seguintes bibliotecas: Numpy, em que usamos os gerador de números aleatórios e as arrays; Numba, para otimizar as funções e acelerar o código; e Matplotlib, que utilizamos para gerar os códigos. A análise para $Q \le 4$ confirmou as expectativas teóricas, mostrando que o aumento do número de estados desloca a temperatura crítica para valores menores e torna as curvas de transição de fase mais abruptas. O modelo $Q=2$ reproduziu com fidelidade a física do modelo de Ising, com a temperatura crítica convergindo para o valor analítico conhecido.Por fim, a aplicação das técnicas de Finite Size Scaling contornou as limitações da rede finita. O cruzamento do U4 confirmou o ponto crítico independentemente de $L$. O colapso dos dados de susceptibilidade magnética validou a relação de escala com os expoentes críticos, enquanto a análise do calor específico para $Q=2$ ilustrou a divergência logarítmica característica ($\alpha = 0$) em vez de uma lei de potência padrão. De maneira geral, os métodos numéricos utilizados se provaram robustos e consistentes com a mecânica estatística exata do modelo.

Link: https://colab.research.google.com/drive/1V7GsP-fEIkhU29QCPvh_UcZKIXtupR7p?usp=sharing