Modelo de Potts -- 2D

Introdução

O Modelo de Potts

O modelo de Potts (Potts, 1951) pode ser descrito como uma generalização do modelo de Ising (Ising, 1925) para um sistema de N spins e Q-estados (Q > 2).

Originalmente, o problema proposto por Domb era o de compreender o modelo de Ising como um sistema de spins, em que os spins podem ser paralelos ou antiparalelos. Desse modo, a generalização seria considerar que os spins estivessem sobre um plano, em que cada spin estivesse apontando para direções diferentes, igualmente espaçadas por um ângulo $\mathrm{\Theta }$ definido por Q:

${\mathrm{\Theta }}_n=\frac{2\pi n}{Q}$, em que n = (0, 1, 2, ..., Q-1).

Representação dos spins para $Q=2$.

Representação dos spins para $Q=3$.

Representação dos spins para $Q=4$.

A energia de cada interação entre dois spins é dada pelo potencial $V(s_i,s_j)=-J\delta (s_i,s_j)$, em que $J$ é a constante de interação entre os dois spins . Esse tipo de sistema o Hamiltoniano da forma:

${\mathscr{H}}=-J\sum _{⟨i,j⟩}\delta (s_i,s_j)$

Para o caso em que o modelo de Potts é equivalente ao modelo de Ising, temos que Q = 2, então:

${\mathrm{\Theta }}_n=\pi n$, n = (0, 1, 2, ..., Q-1) </math>

$$

Objetivos

Neste trabalho, buscamos analisar o comportamento do sistema utilizando dois algoritmos diferentes: o Algoritmo de Metropolis-Hastings e o Algoritmo de Banho Térmico. A partir deles, comparamos a temperatura do sistema com a energia, em cada um dos algoritmos. Depois, com FSS, aplicamos o método de U4 para analisar o comportamento do sistema em diferentes temperaturas, para valores diferentes de L. Por fim, procuramos analisar a susceptibilidade magnética e o calor específico bruto, também com L de diferentes valores.

Metodologia

Para realizar este trabalho, utilizamos uma rede quadrada 2D de comprimento L com N=L*L spins. A rede possui condições de contorno periódicas e vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos. A constante de interação é $J=1$ e para o banho térmico $\beta =1$.

Método de Monte Carlo

No método de Monte Carlo, começamos sorteando aleatoriamente os spins da rede. Em cada passo de Monte Carlo (MCS), sorteamos spins aleatoriamente N vezes, de modo que cada spin tenha uma chance 1/N de ser sorteado. Quando sorteado, um novo valor para esse spin é escolhido aleatoriamente (diferente do anterior) e é aceito com base em critérios estabelecidos por cada algoritmo. Pela geometria da rede, todo spin tem 4 spins vizinhos, tornando possível calcular e guardar os valores de energia possíveis para 1 vizinhança e acessá-los posteriormente, o que nos poupa tempo em simulação.

Algoritmo de Metropolis-Hasting

(texto retirado de : )

O primeiro algoritmo utilizado para gerar as configurações do sistema foi o algoritmo de Metropolis-Hasting. O algoritmo escolhe repetidamente um novo estado para o sistema $\nu$ e aceitando ou rejeitando ele de acordo com uma probabilidade de aceitação $A(\mu \to \nu )$ de transitar de um estado antigo $\mu$ para o novo estado $\nu$. O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins.

Temos que a condição de balanceamento detalhado é dada por :

$\frac{A(\mu \to \nu )}{A(\nu \to \mu )}=e^{-\beta \mathrm{\Delta }E},(3)$

onde $\mathrm{\Delta }E=E_{\nu }-E_{\mu }$ é a diferença de energia entre o novo e o antigo estado.

Vamos supor que tenhamos os estados $\mu$ e $\nu$ e que temos a relação de energias: $E_{\mu }<E_{\nu }$. Então, a maior das duas chances de aceitação é $A(\nu \to \mu )$, portanto iremos igualar essa probabilidade a 1. Para que $(3)$ seja respeitada, iremos definir o valor de $A(\mu \to \nu )$ como $e^{-\beta \mathrm{\Delta }E}$. Temos, assim, o algoritmo de Metropolis-Hasting:

$A(\mu \to \nu )=\{\begin{array}{l}{e}^{-\beta \mathrm{\Delta }E},\text{se }\mathrm{\Delta }E>0\\ \\ 1,\text{caso contrario}.\end{array}$

Dessa forma, sempre que tivermos um estado cuja energia seja menor do que a do estado atual, iremos aceitar a transição, mas se a energia for maior, teremos uma pequena probabilidade de trocarmos de estado.

Algoritmo de Banho Térmico

(texto retirado de : )

O algoritmo de Metropolis-Hasting para inversão única de spins é eficaz para o modelo de Potts em baixos valores de $Q$ ou temperaturas acima da temperatura crítica, entretanto para valores altos de $Q$ ou baixas temperaturas o algoritmo falha em convergir o sistema rapidamente para o estado estacionário.

Considerando um caso onde $Q=100$ e um spin que possui 4 vizinhos, se todos os vizinhos do spin possuem valores diferentes uns do outro e do próprio spin, poderá levar em média $100/4=25$ passos de Monte Carlo para sortear um novo valor de $q$ que tem a transição aceita, e dessa forma o algoritmo irá demorar mais tempo para alcançar a configuração de equilíbrio do sistema. A dificuldade de aceitar transições é maior ainda para baixas temperaturas, onde a probabilidade de transicionar para um novo estado tem um peso maior para qualquer $q$ diferente dos spins da vizinhança, dessa maneira poderá demorar 96 passos para gerar um spin que seja igual a algum spin da vizinhança e realizar a transição. Para contornar este problema podemos utilizar o algoritmo de banho térmico.

O algoritmo de banho térmico, assim como o metropolis, é um algoritmo em que mudamos um spin por vez. O algoritmo segue as seguintes etapas: primeiro escolhemos um spin na rede ($i$), e independente do seu valor atual, escolhemos um novo valor para $s_i$. Esse novo valor será aceito, ou não, de acordo com os pesos de Boltzmann. Temos que no algoritmo de Banho Térmico nós atribuímos um valor $n$, entre 1 e $q$, ao spin com uma probabilidade

$A(\mu \to \nu )=\frac{e^{-\beta E_{\nu }}}{\sum _{m=1}^q{e}^{-\beta E_m}},$

onde $E_n$ é a energia do sistema quando $s_i=n$ e o somatório é dado em todas energias possíveis. Pelo fato desse algoritmo permitir que o spin assuma qualquer valor ele satisfaz a condição de ergodicidade. Temos que $A(\mu \to \nu )=a_{\nu }$ e $A(\nu \to \mu )=a_{\mu }$, assim, pela descrição do algoritmo temos

$\frac{A(\mu \to \nu )}{A(\nu \to \mu )}=\frac{a_{\nu }}{a_{\mu }}=\frac{e^{-\beta E_{\nu }}}{\sum _{m=1}^q{e}^{-\beta E_m}}\times \frac{\sum _{m=1}^q{e}^{-\beta E_m}}{e^{-\beta E_{\mu }}}=e^{-\beta \mathrm{\Delta }E}.$

Ou seja, o algoritmo de banho térmico respeita a condição de balanço detalhado.

Veremos que para valores pequenos de $q$ (como $q=2$, que é o modelo de Ising), o algoritmo de Metropolis é mais eficiente. Porém, para valores altos de $q$ ou altas temperaturas o algoritmo de banho térmico é mais eficiente.

Resultados

Caso Q=2 (equivalente ao Modelo ISING)

Aqui se encontram os resultado para Q=2. As simulações foram realizadas para MCS = 50000. O transiente para o banho térmico foi de 500 passos, pois a simulação atingiu o estado estacionário rapidamente, enquanto para o algoritmo de Metropolis foram necessários 10000 passos para atingir esse estado. Os valores de energia usados foram obtidos a partir da média dos valores de energia no estado estacionário.

Código

Para gerar estas simulações, foi produzido um código em Python3. Utilizamos as bibliotecas seguintes bibliotecas: Numpy, em que usamos os gerador de números aleatórios e as arrays; Numba, para otimizar as funçẽos e acelerar o código; e Matplotlib, que utilizamos para gerar os códigos.

Link: https://colab.research.google.com/drive/1V7GsP-fEIkhU29QCPvh_UcZKIXtupR7p?usp=sharing